微分幾何第一章曲線論第一節(jié)向量函數(shù)第5小節(jié)ppt課件

1、2022-2-81 向量函數(shù)1.1.向量函數(shù)的極限；向量函數(shù)的極限；2.2.向量函數(shù)的連續(xù)；向量函數(shù)的連續(xù)；3.3.向量函數(shù)的微商；向量函數(shù)的微商；4.4.向量函數(shù)的積分向量函數(shù)的積分. .復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)命題命題1.1.，設(shè)設(shè))(),(),()(tztytxtr ，,321aaaa 則則atrtt )(lim0.)(lim)(lim)(lim321000 atzatyatxtttttt極限極限極限的分量等于分量的極限的分量等于分量的即即連續(xù)連續(xù))(),(),()(tztytxtr .)(),(),(均連續(xù)均連續(xù)tztytx命題命題2.2.可可微微)(),(),()(tztytxtr .)(),(),

2、(均均可可微微tztytx.)(),(),()(且且tztytxtr 微微商商微微商商的的分分量量等等于于分分量量的的即即命題命題3.3.定義定義的的二二階階微微商商；稱稱為為)()(trtr )(類函數(shù)類函數(shù)kC的的三三階階微微商商；稱稱為為)()(trtr .)( 的的高高階階微微商商叫叫二二階階及及二二階階以以上上的的微微商商tr.,21類函數(shù)類函數(shù)階連續(xù)微商的函數(shù)稱為階連續(xù)微商的函數(shù)稱為上有直至上有直至在區(qū)間在區(qū)間kCktt.0類函數(shù)類函數(shù)連續(xù)函數(shù)稱為連續(xù)函數(shù)稱為C.類函數(shù)類函數(shù)無限可微的函數(shù)稱為無限可微的函數(shù)稱為 C.類函數(shù)類函數(shù)解析函數(shù)稱為解析函數(shù)稱為 C命題命題4 4,)(),(

3、),()(21ttCtztytxtrk .,)(),(),(21ttCtztytxk 證：證：,)()()()(321etzetyetxtr ,)()(1etrtx ,)(21ttCtrk 為常向量，為常向量，1e;,)(21ttCtxk .,)(),(21ttCtztyk 同同理理定義定義),(vurr 對(duì)對(duì)于于二二元元向向量量函函數(shù)數(shù)uvurvuurruu ),(),(lim0.ur vvurvvurrvv ),(),(lim0.vr 注注,),(),(),(),(若若vuzvuyvuxvur ,則則uuuuzyxr .,vvvvzyxr 定義定義上上的的二二元元函函數(shù)數(shù)，是是定定義義在在

4、平平面面區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)Dvuzvuyvuxvur),(),(),(),( 上可微，上可微，在在若若Dvuzvuyvux),(),(),(上可微，上可微，在在則稱則稱Dvur),(.),(的的全全微微分分為為且且稱稱vurrdvrdurrdvu 對(duì)于二元向量函數(shù)，對(duì)于二元向量函數(shù)，.分分等等概概念念也也可可定定義義偏偏微微商商、全全微微1.4 向量函數(shù)的泰勒公式向量函數(shù)的泰勒公式定理定理,)(001tttCtrn 設(shè)設(shè)公式：公式：則有以下則有以下Taylor),()()!1()()(!)()(! 2)()()()(00)1(10)(02000tttrnttrnttrttr ttrttrnnnn .

5、 0),(,00 ttt 時(shí)時(shí)其中其中特別地，特別地，,)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) Ctr )(!)()(! 2)()()()(0)(02000trnttrttr ttrttrnn.上述級(jí)數(shù)是收斂的上述級(jí)數(shù)是收斂的,)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) Ctr 1.5 向量函數(shù)的積分向量函數(shù)的積分定義定義)(不定積分不定積分,),()(battrtR 若若.)()(的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為則則稱稱trtRR .)()(的的不不定定積積分分做做的的所所有有原原函函數(shù)數(shù)的的集集合合叫叫trtr.)( dttr記作記作易易知知，trtR的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)為為若若)()(.)()(CtRdttr 則則命題命題),(),(),()

6、(tztytxtr 若若),(ts都連續(xù)，都連續(xù)，)(tf ;)(,)(,)()(1 dttzdttydttxdttr）（ dttrdttr)()(2 ）（；為為常常數(shù)數(shù))( ;)()()()(3 dttsdttrdttstr）（ dttrmdttrm)()(4）（；為常向量為常向量)(m.)()()()(5 dttsdttrdttstr）（定義定義)(定積分定積分 badttr)( niiiTltr10)()(lim 注注可積可積)(),(),()()1(tztytxtr .)(),(),(可可積積tztytx可可積積，若若)(),(),()()2(tztytxtr .)(,)(,)()(則

7、則 babababadttzdttydttxdttr積分積分積分的分量等于分量的積分的分量等于分量的即即命題命題5 5上上可可積積，在在上上連連續(xù)續(xù)，則則在在若若,)(,)(batrbatrr bccabadttrdttrdttr)()()(1）（；為常數(shù)為常數(shù))(m；為常向量為常向量)(m而且而且 babadttrmdttrm)()(2）（ babadttrmdttrm)()(3）（ babadttrmdttrm)()(；為常向量為常向量)(m).()(4xrdttrdxdxa ）（注注.分分析析中中來來所所有有結(jié)結(jié)果果都都平平移移到到向向量量并并不不能能把把數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)分分析析中中的的.),(

8、)()()(:一般不成立一般不成立微分中值定理微分中值定理例如例如baabrarbr ),(,0 ,sin,cos)(: ttttr設(shè)設(shè)向向量量函函數(shù)數(shù)如如，取取)2, 0(,000 ttatb則則,0 ,sin2 , 0)()()()(000ttrtrarbr ，則應(yīng)有，則應(yīng)有假如微分中值定理成立假如微分中值定理成立),()()()(baabrarbr ,20 ,cos,sin0 ,sin2 , 000tt 即有：即有：,cossin0sin00 tt 且且,sin000tt 且且 這是不可能的，這是不可能的，.值定理一般不成立值定理一般不成立故對(duì)向量函數(shù)，微分中故對(duì)向量函數(shù)，微分中兩個(gè)重要命題兩個(gè)重要命題命題命題6 6有有固固定定長(zhǎng)長(zhǎng)向向量量函函數(shù)數(shù))(tr.)()(垂垂直直與與trtr ., 0)()(battrtr 即即證：證：有有固固定定長(zhǎng)長(zhǎng))(tr常數(shù)常數(shù) )(tr常數(shù)常數(shù) 2)(tr常數(shù)常數(shù) 2)(tr0)()(2 trtr).()(trtr 定義定義)(旋轉(zhuǎn)速度旋轉(zhuǎn)速度)(trO)(ttr tt 0lim.)(的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速速度度關(guān)關(guān)于于叫叫做做向向量量函函數(shù)數(shù)ttrt .叫叫做做平平均均旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速速度度命題命題7 7.)(微微商商的的模模的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速速度度等