年新人教A版本數(shù)學(xué)必修一 對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)基礎(chǔ)知識講解

1、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標】1.理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類很重要的函數(shù)模型； 2.探索對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會進行同底對數(shù)和不同底對數(shù)大小的比較；3了解反函數(shù)的概念，知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)【要點梳理】要點一、對數(shù)函數(shù)的概念1函數(shù)y=logax(a>0，a1)叫做對數(shù)函數(shù).其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域為2判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量要點詮釋：（1）只有形如y=logax(a>0，a1)的函數(shù)才叫做對數(shù)函數(shù)，像等函數(shù)，它們是由對數(shù)

2、函數(shù)變化得到的，都不是對數(shù)函數(shù)。（2）求對數(shù)函數(shù)的定義域時應(yīng)注意：對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求大于零，底數(shù)大于零且不等于1；對含有字母的式子要注意分類討論。要點二、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a00a1圖象性質(zhì)定義域：（0，+）值域：R過定點（1，0），即x=1時，y=0在（0，+）上增函數(shù)在（0，+）上是減函數(shù)當0x1時，y0，當x1時，y0當0x1時，y0，當x1時，y0要點詮釋：關(guān)于對數(shù)式logaN的符號問題，既受a的制約又受N的制約，兩種因素交織在一起，應(yīng)用時經(jīng)常出錯.下面介紹一種簡單記憶方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考.以1為分界點，當a，N同側(cè)時，logaN>0；當a，N異側(cè)時，logaN<0.

3、要點三、底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響1底數(shù)制約著圖象的升降如圖要點詮釋：由于底數(shù)的取值范圍制約著對數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題時，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略2底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標系內(nèi)，當a>1時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當0<a<1時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠離x軸.(見下圖)要點四、反函數(shù)1反函數(shù)的定義設(shè)分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個函數(shù)（即對任意的一個，都有唯一的與之對應(yīng)），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成（）的形式函數(shù)（）與函

4、數(shù)（）為同一函數(shù)，因為自變量的取值范圍即定義域都是B，對應(yīng)法則都為由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域要點詮釋： 并不是每個函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒有反函數(shù)，如一般說來，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)2反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱（2）若函數(shù)圖象上有一點，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上【典型例題】類型一、對數(shù)函數(shù)的概念例1.下列函數(shù)中，哪些是對數(shù)函數(shù)？（1）；（2）（3）；（4）；（5）【答案】（5）【解析】（1）中真數(shù)不是自變量，不是對數(shù)函數(shù)（2）中對數(shù)式后加2，所以不是對數(shù)函數(shù)（3）中真

5、數(shù)為，不是，系數(shù)不為1，故不是對數(shù)函數(shù)（4）中底數(shù)是自變量，二非常數(shù)，所以不是對數(shù)函數(shù)（5）中底數(shù)是6，真數(shù)為，符合對數(shù)函數(shù)的定義，故是對數(shù)函數(shù)【總結(jié)升華】已知所給函數(shù)中有些形似對數(shù)函數(shù)，解答本題需根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義尋找滿足的條件 類型二、對數(shù)函數(shù)的定義域求含有對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，其方法與一般函數(shù)的定義域、值域的求法類似，但要注意對數(shù)函數(shù)本身的性質(zhì)（如定義域、值域及單調(diào)性）在解題中的重要作用.例2. 求下列函數(shù)的定義域：(1)； (2).【答案】（1）；（2）【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義知：，解出不等式就可求出定義域.(1)因為，即，所以函數(shù)；(2)因為，即，所以函數(shù).【總結(jié)升華】與

6、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域：求定義域時，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時需要保證各個方面都有意義一般地，判斷類似于的定義域時，應(yīng)首先保證舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域.(1) (2).【答案】（1）(1，)(，2)；（2）【解析】(1)因為， 所以，所以函數(shù)的定義域為(1，)(，2).（2）由得故所求定義域為類型三、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用利用函數(shù)的單調(diào)性可以：比較大??；解不等式；判斷單調(diào)性；求單調(diào)區(qū)間；求值域和最值.要求同學(xué)們：一是牢固掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；二是理解和掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律；三是樹立定義域

7、優(yōu)先的觀念.例3. 比較下列各組數(shù)中的兩個值大?。?1)；(2)；(3)與；(4) 與(5)（）【思路點撥】利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小?！敬鸢浮?1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略【解析】由數(shù)形結(jié)合的方法或利用函數(shù)的單調(diào)性來完成.(1)解法1：畫出對數(shù)函數(shù)的圖象，橫坐標為3.6的點在橫坐標為8.9的點的下方，所以，；解法2：由函數(shù)在R+上是單調(diào)增函數(shù)，且3.6<8.9，所以； (2)與第(1)小題類似，在R+上是單調(diào)減函數(shù)，且1.9<3.5，所以；(3)函數(shù)和的圖象如圖所示當時，的圖象在的圖象上方，這里，(4) (5) 注：底數(shù)是常

8、數(shù)，但要分類討論a的范圍，再由函數(shù)單調(diào)性判斷大小.解法1：當時，在(0，+)上是增函數(shù)，且5.1<5.9，所以，當時，y=logax在(0，+)上是減函數(shù)，且4.2<4.8，所以，解法2：轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，令，則，令，則當時，在R上是增函數(shù)，且4.2<4.8，所以，b1<b2，即當時，在R上是減函數(shù)，且4.2<4.8所以，b1>b2，即.【總結(jié)升華】比較兩個對數(shù)值的大小的基本方法是：（1）比較同底的兩個對數(shù)值的大小，常利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（2）比較同真數(shù)的兩個對數(shù)值的大小，常有兩種方法：先利用對數(shù)換底公式化為同底的對數(shù)，再利用對數(shù)

9、函數(shù)的單調(diào)性和倒數(shù)關(guān)系比較大?。焕脤?shù)函數(shù)圖象的互相位置關(guān)系比較大?。?）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則通過一個恰當?shù)闹虚g量來比較大小【高清課堂：對數(shù)函數(shù)369070 例1】例4利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較、的大小【答案】【解析】，只需比較與的大小即可【總結(jié)升華】本題也可以使用一個常用的結(jié)論：類似于的一個結(jié)論，得出三個數(shù)的大小舉一反三：【變式1】 已知則（ ）ABCD【答案】 C【解析】另，在同一坐標系下作出三個函數(shù)圖像，由圖像可得 又為單調(diào)遞增函數(shù)， 故選C.例5求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間.【思路點撥】先解不等式，保證原式有意義，然后再在定義域范圍內(nèi)求內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外

10、函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”來求解【答案】-1，+；增區(qū)間為；減區(qū)間為【解析】設(shè)，則. y=為減函數(shù)，且， ，即函數(shù)的值域為-1，+.再由：函數(shù)的定義域為，即. 在上遞增而在上遞減，而y=為減函數(shù). 函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【總結(jié)升華】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可分為兩類：一類是對數(shù)函數(shù)為外函數(shù)，即型；另一類是內(nèi)函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，即型對于型的函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性，當時相同，當時相反研究型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一般用復(fù)合法來判定即可復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”研究對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意先研究函數(shù)的定義域，也就是要堅持“定義域優(yōu)先”的原則舉一反

11、三：【變式1】求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間【答案】；減區(qū)間為，增區(qū)間為【解析】設(shè)，則， y=為增函數(shù)，的值域為再由：的定義域為在上是遞增而在上遞減，而為增函數(shù) 函數(shù)y=的減區(qū)間為，增區(qū)間為.類型四、函數(shù)的奇偶性例6. 判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1) (2).【思路點撥】判斷函數(shù)奇偶性的步驟是：（1）先求函數(shù)的定義域，如果定義域關(guān)于原點對稱，則進行（2），如果定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。（2）求，如果，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果，則函數(shù)是奇函數(shù)。【答案】（1）奇函數(shù)；（2）奇函數(shù)【解析】首先要注意定義域的考查，然后嚴格按照證明奇偶性基本步驟進行.(1)由所以函數(shù)的定義域為：(-2，2)關(guān)于原點

12、對稱又所以函數(shù)是奇函數(shù)；【總結(jié)升華】此題確定定義域即解簡單分式不等式，函數(shù)解析式恒等變形需利用對數(shù)的運算性質(zhì).說明判斷對數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性，不能輕易直接下結(jié)論，而應(yīng)注意對數(shù)式的恒等變形.(2)由所以函數(shù)的定義域為R關(guān)于原點對稱又即f(-x)=-f(x)；所以函數(shù).【總結(jié)升華】此題定義域的確定可能稍有困難，函數(shù)解析式的變形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.類型五、反函數(shù)例7求出下列函數(shù)的反函數(shù)（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）對數(shù)函數(shù)，它的底數(shù)為，所以它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；（2）指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)?！究偨Y(jié)升華】反函數(shù)的定義域都由原函數(shù)的值域來確定的，特別是當反函數(shù)的

13、定義域與由反函數(shù)解析式有意義所確定的自變量的取值范圍不一致時，一定要注明反函數(shù)的定義域舉一反三：【高清課堂：對數(shù)函數(shù)369070 例5】【變式1】 若函數(shù)是函數(shù)且a1)的反函數(shù)，且，則（ ）(A) (B) (C) (D)2 【答案】 A【解析】解法1：函數(shù)是函數(shù)且a1)的反函數(shù) ，又 ， 故選A 解法2：函數(shù)是函數(shù)且a1)的反函數(shù)，且 點（1，2）在函數(shù)的圖象上， 故選A類型六、利用函數(shù)圖象解不等式例8若不等式，當時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【思路點撥】畫出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，然后借助圖象去求借?！敬鸢浮俊窘馕觥?要使不等式在時恒成立，即函數(shù)的圖在內(nèi)恒在函數(shù)圖象的上方，而圖象過點由右圖可知

14、，顯然這里0a1，函數(shù)遞減又，即所求的a的取值范圍為【總結(jié)升華】“數(shù)”是數(shù)學(xué)的特征，它精確、量化，最有說服力；而“形”則形象、直觀，能簡化思維過程，降低題目的難度，簡化解題過程，把它們的優(yōu)點集中在一起就是最佳組合本例中，利用圖形的形象直觀快速地得到答案，簡化了解題過程正因為如此，數(shù)形結(jié)合成為中學(xué)數(shù)學(xué)的四個最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，因此我們必須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運用它來分析和解決問題在涉及方程與不等式的問題時，往往構(gòu)造兩個函數(shù)與，則=的實數(shù)解等價于兩個函數(shù)與的圖象的交點的橫坐標；而的的解等價于函數(shù)的圖象在的圖象下方的點的橫坐標的取值范圍利用圖象的形象性、直觀性，可使問題得到順利地

15、解決，而且分散了問題解決的難度、簡化了思維過程因此，我們要善于用數(shù)形結(jié)合的方法來解決方程與不等式的問題舉一反三：【變式1】 當x（1，2）時，不等式恒成立，求a的取值范圍【答案】1a2【解析】設(shè)，要使當x（1，2）時，不等式恒成立，只需在（1，2）上的圖象在的下方即可當0a1時，由圖象知顯然不成立當a1時，如圖2-2-5所示，要使在（1，2）上，的圖象在的下方，只需，即，1a2類型七、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例9（1）已知函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍；（3）的定義域為，求實數(shù)的取值范圍【思路點撥】與求函數(shù)定義域、值域的常規(guī)問題相比，本題屬非常規(guī)問題，

16、關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成常規(guī)問題.的定義域為R，即關(guān)于的不等式的解集為R，這是不等式中的常規(guī)問題.的值域為R與恒為正值是不等價的，因為這里要求取遍一切實數(shù)，即要求取遍一切正數(shù)，考察此函數(shù)的圖象的各種情況，如圖，我們會發(fā)現(xiàn)，使能取遍一切正數(shù)的條件是.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】與求函數(shù)定義域、值域的常規(guī)問題相比，本題屬非常規(guī)問題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成常規(guī)問題.的定義域為R，即關(guān)于的不等式的解集為R，這是不等式中的常規(guī)問題.的值域為R與恒為正值是不等價的，因為這里要求取遍一切實數(shù)，即要求取遍一切正數(shù)，考察此函數(shù)的圖象的各種情況，我們會發(fā)現(xiàn)，使能取遍一切正數(shù)的條件是.（1）的定義域為R，恒成立，（2）的值域為R，取遍一切正數(shù)，（3）由題意，問題可等價轉(zhuǎn)化為不等式的解集為，記作圖形，如圖所示，只需過點，即滿足，且即可，解得【總結(jié)升華】如果函數(shù)的定義域為某個區(qū)間D，則函數(shù)在這個區(qū)