彈性力學(xué)習(xí)題新講解

1、1-3 五個基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時有什么用途？答：1、連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時就可以用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2、完全彈性假定：引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應(yīng)力成正比的含義，亦即二者成線性的關(guān)系，符合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3、均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比等）就不隨位置坐標而變化。4、各向同性假定：所謂“各向同性”是指物體的物理性質(zhì)在各個方向上都是相同的。進一

2、步地說，就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化。5、小變形假定：我們研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的改變而仍然按照原來的尺寸和形狀進行計算。同時，在研究物體的變形和位移時，可以將他們的二次冪或乘積略去不計，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為線性微分方程。在上述假定下，彈性力學(xué)問題都化為線性問題，從而可以應(yīng)用疊加原理。2-1 已知薄板有下列形變關(guān)系：式中A,B,C,D皆為常數(shù)，試檢查在形變過程中是否符合連續(xù)條件，若滿足并列出應(yīng)力分量表達式。解：1、 相容條件：將形變分量帶入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）其中 所以滿足相容方程，符合連續(xù)性條件。2、 在平面應(yīng)力問題中，用形變分量表示的應(yīng)力分量為3

3、、平衡微分方程其中 若滿足平衡微分方程，必須有分析：用形變分量表示的應(yīng)力分量，滿足了相容方程和平衡微分方程條件，若要求出常數(shù)A,B,C,D還需應(yīng)力邊界條件。例2-2 如圖所示為一矩形截面水壩，其右側(cè)面受靜水壓力（水的密度為），頂部受集中力P作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。解：根據(jù)在邊界上應(yīng)力與面力的關(guān)系左側(cè)面：右側(cè)面：上下端面為小邊界面，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。上端面額面力向截面形心O簡化，得到面力的主矢量和主矩分別為 y=0坐標面，應(yīng)力主矢量符號與面力主矢量符號相反；應(yīng)力主矩與面力主矩的轉(zhuǎn)向相反。所以下端面的面力向截面形心D簡化，得到主矢量和主矩為y=l坐標面，應(yīng)力主矢

4、量、主矩的符號與面力主矢量、主矩的符號相同。所以分析：1、與坐標軸平行的主要邊界只能建立兩個等式，而且與邊界平行的應(yīng)力分量不會出現(xiàn)。如在左、右側(cè)面，不要加入或。2、在大邊界上必須精確滿足應(yīng)力邊界條件，當在小邊界（次要邊界）上無法精確滿足時，可以應(yīng)用圣維南原理使應(yīng)力邊界條件近似滿足，使問題的求解大為簡化。應(yīng)力合成的主矢（主矩）符號的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判斷，二者方向一致時去正號，反之取負號。2-8試列出題2-8圖（a），題2-8圖（b）所示問題的全部邊界條件。在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。解： 圖（a） 圖（b）1、 對于圖（a）的問題在主要邊界上，應(yīng)精確

5、滿足下列邊界條件：在小邊界（次要邊界）上，能精確滿足下列邊界條件：在小邊界（次要邊界）上，有位移邊界條件：這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當板厚時，2、 對于圖（b）所示問題在主要邊界上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件： 在次要邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件，當板厚時，在小邊界（次要邊界）上，有位移邊界條件：這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替，2-17 設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F,如題2-17所示，體力可以不計。根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力x和切應(yīng)力xy的表達式，并取擠壓應(yīng)力y=0，然后證明

6、，這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明，這些表達式是否就表示正確的解答。解：1、 矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的玩具方程為，橫截面對z軸(中性軸)的慣性矩為，根據(jù)材料力學(xué)公式，彎應(yīng)力；該截面上的剪力為,剪應(yīng)力；并取擠壓應(yīng)力。2、 經(jīng)驗證，上述表達式能滿足平衡微分方衡也能滿足相容方程再考察邊界條件：在的主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件：能滿足。在次要邊界上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：滿足應(yīng)力邊界條件。在次要邊界上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：滿足應(yīng)力條件。因此，它們是該問題的正確解答。例3-1 如圖所示矩形截面簡支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)求簡支梁的應(yīng)力分量（體力不

7、計）。解：1、相容條件：代入應(yīng)力函數(shù)，得：由此得于是應(yīng)力函數(shù)可改寫為2、應(yīng)力分量表達式3、考察邊界條件：確定應(yīng)力分量中的各系數(shù)聯(lián)立求解以上各式，得再根據(jù)簡支梁的端面條件確定常數(shù)D,F。由圣維南原理得可得再帶入式（f）得4、應(yīng)力分量表達式例3-2 圖示懸臂梁，梁的橫截面為矩形，其寬度取為1，右端固定、左端自由，荷載分布在自右端上，其合力為P（不計體力），求梁的應(yīng)力分量。解：這是一個平面應(yīng)力問題，采用半逆解法求解。（1）選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學(xué)可知，懸臂梁任一截面上的彎矩方程M（x）與截面位置坐標x成正比，而該截面上某點處的正應(yīng)力又與該點的坐標y成正比，因此可設(shè) (a)式中的為待定常數(shù)。將式（a）

8、對y積分兩次，得 (b)式中的，為x的待定函數(shù)，可由相容方程確定。將式（b）代入相容方程，得 上式是y的一次方程，梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿足它，可見它的系數(shù)和自由項都必須為零，即，積分上二式，得式中為待定的積分常數(shù)。將，代入式（b），得應(yīng)力函數(shù)為. (c)(2)應(yīng)力分量的表達式 (3)考察應(yīng)力邊界條件：以確定各系數(shù)，自由端無水平力；上、下部無荷載；自由端的剪力之和為P，得邊界條件 ,自然滿足； ,得;上式對x的任何值均應(yīng)滿足，因此得，即，得X取任何值均應(yīng)滿足，因此得.將式（e）代入上式積分，得計算得 ,其中,橫截面對Z軸的慣性矩。最后得應(yīng)力分量為3-3 試考察應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分

9、量(不計體力),畫出題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分布(在次要邊界上表示出面力的主矢量和主矩)，指出該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。解 （1）相容條件：將代入相容方程,顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達式(3)邊界條件：在主要邊界上，應(yīng)精確定滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界x=o, x=l上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件 (a) (b) (c)對于如圖所示矩形板和坐標系，當板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，由應(yīng)力邊界條件式（a）(b)、(c)可知上邊、下邊無面力；而左邊界上受有鉛直力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶，和鉛直面力。所以，能解決懸臂在自由端受集中力作用的問題。3-6 如題3-6圖所示

10、的墻，高度為h,寬度為b,h>>b,在兩側(cè)上受到均布剪力q的作用，試用函數(shù)求解應(yīng)力分量。解：（1）相容條件將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程，其中，。很顯然滿足相容方程。（2）應(yīng)力分量表達式(3)考察邊界條件，在主要邊界上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件，即在次要邊界y=0上，而的條件不可能精確滿足（否則只有A=B=0），可用積分的應(yīng)力邊界條件代替.(4)把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得應(yīng)力分量為3-7 設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計，l>>h 如題3-7圖所示，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。解（1）相容條件將代入相容方程，顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達式(3) 考

11、察邊界條件，在主要邊界上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件得 (a)在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替。注意x=0是負x面，由此得 (b)由式（a）(b)解出最后一個次要邊界條件（x=l上）,在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。代入應(yīng)力公式，得 3-9 設(shè)題3-9圖中的簡支梁只受重力作用，而梁的密度為，試用教材§3-4中的應(yīng)力函數(shù)(e)求解應(yīng)力分量，并畫出截面上的應(yīng)力分布圖。解 （1）應(yīng)力函數(shù)為(2)應(yīng)力分量的表達式這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能夠選擇適當?shù)某?shù)A,B

12、,，K,使所有的邊界條件都滿足，則應(yīng)力分量式（b）,(c),(d)就是正確的解答。（3）考慮對稱性。因為yz面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當對稱于yz面。這樣是是x的偶函數(shù)，而是x的奇函數(shù)，于是由式（b）和（d）可見（4）考察邊界條件：在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件將應(yīng)力分量式（c）和（d）代入，并注意到前面已有，可見這些邊界條件要求聯(lián)立求解得到將以上已確定的常數(shù)代入式（b）,式（c）和（d），得考慮左右兩邊的次要邊界條件。由于問題的對稱性，只需考慮其中的一邊，例如右邊。梁的右邊沒有水平面力，x=l時，不論y取任何值，都有。由式（f）可見，這是不可能滿足的，除非是均為零。因此，用多

13、項式求解，只能要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，也就是要求將式（f）代入式（i）,得積分以后得將式（f）代入式（j），得積分以后得將K，H的值代入式（f）,得另一方面，梁右邊的切應(yīng)力應(yīng)當合成為反力積分以后，可見這一條件是滿足的。將式（g）,(h),(k)略加整理，得應(yīng)力分量的最后解答 注意梁截面的寬度取為一個單位，可見慣性矩是，靜矩是。根據(jù)材料力學(xué)應(yīng)用截面法求橫截面的內(nèi)力，可求得梁任意截面上的彎矩方程和剪力方程分別為。式（l）可以寫成3-10 如題3-10圖所示的懸臂梁，長度為l，高度為h, l>>h,在上邊界受均布荷載q，試檢驗應(yīng)力函數(shù)能否成為此問題的解？如可以，試求出

14、應(yīng)力分量。解 （1）相容條件將代入相容方程，得，若滿足相容方程，有(2)應(yīng)力分量表達式(3)考察邊界條件;主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界上x=0上，主矢和主矩為零，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替 (e) 聯(lián)立求解式（a）,(b),(c),(d)和（e），得將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達式，得3-12 為什么在主要邊界（占邊界絕大部分）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件，教材中式（2-15），而在次要邊界（占邊界很小部分）上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替教材中式（2-15），將會發(fā)生什么問題

15、？解：彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要邊界條件完全得到滿足，往往遇到很大的困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對遠處的應(yīng)力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個應(yīng)力邊界條件來代替精確的邊界條件。教材中式（2-15），就會影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會使問題的解答具有的近似性。3-15 試分析簡支梁受均布荷載時，平面截面假設(shè)是否成立？解：彈性力學(xué)解答和材料力學(xué)解答的差別，是由于各自解法不同。簡言之，彈性力學(xué)的解法，是嚴格考慮區(qū)域內(nèi)的平

16、衡微分方程，幾何方程和物理方程，以及邊界上的邊界條件而求解的，因而得出的解答是比較精確的。而在材料力學(xué)中沒有嚴格考慮上述條件，因而得出的是近似解答。例如，材料力學(xué)中引用了平面假設(shè)而簡化了幾何關(guān)系，但這個假設(shè)對一般的梁是近似的。所以，嚴格來說，不成立。例4-2 如圖所示楔形體右側(cè)面受均布荷載q作用，試求應(yīng)力分量?！窘狻浚?）楔形體內(nèi)任一點的應(yīng)力分量決定于q、，其中q的量綱為NL-2，與應(yīng)力的量綱相同。因此，各應(yīng)力分量的表達式只可能取Kq的形式，而K是以，表示的無量綱函數(shù)，亦即應(yīng)力表達式中不能出現(xiàn)，再由知，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)是的函數(shù)乘以，可設(shè) （a）將式（a）代入雙調(diào)和方程，得 ，=0，上式的通解為 ，將

17、上式代入式（a），得應(yīng)力函數(shù)為。 （b）(2)應(yīng)力表達式為 (c)(3)應(yīng)力邊界條件 ，得2（A+D）=q ; (d) ,得Acos2+B sin2+C+D=0, (e),得2BC=0, (f),2Asin22Bcos2=0 。 (g)聯(lián)立求解式(d)(g)，得各系數(shù) ，。將系數(shù)代入(c)，得應(yīng)力分量 （h） 分析：應(yīng)力函數(shù)表達式（a）中不出現(xiàn)，這是因為f()中包含了角（在應(yīng)用應(yīng)力邊界條件時， 處，中體現(xiàn)）。4-3 在軸對稱位移問題中，試導(dǎo)出按位移求解的基本方程，并證明可以滿足此基本方程?！窘狻浚?）設(shè)代入幾何方程，教材中式（4-2）得形變分量 （a）將式（a）代入物理方程，教材中式（4-3）

18、得用位移表示的應(yīng)力分量 （b）將式（b）代入平衡微分方程，教材中式（4-1），在軸對稱問題中，平衡方程為 （c）式（c）中的第二式自然滿足，第一式為 （d）上式即為求的基本方程。（2）將將代入式（d），很顯然滿足方程。4-7 實心圓盤在的周界上受有均布壓力q的作用，試導(dǎo)出其解答。【解】實心圓盤是軸對稱的，可引用軸對稱應(yīng)力解答，教材中式（4-11），即 （a）首先，在圓盤的周界（）上，有邊界條件，由此得， （b）其次，在圓盤的圓心，當時式（a）中的第一、第二項均趨于無限大，這是不可能的。按照有限值條件（即，除了應(yīng)力集中點以外，彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值。），當時，必須有A=B=0。把上述條件代入（

19、b）式中，得所以，得應(yīng)力的解答為4-9半平面體表面上受有均布水平力q，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量，如題4-9圖所示?！窘狻?1)相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程，顯然滿足。(2)由求應(yīng)力分量表達式（3）考慮邊界條件：注意本題有兩個面，即，分別為面，在面上，應(yīng)力符號以正面正向、負面負向為正。因此，有將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達式，得4-12 楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q,如題4-12圖所示，試求其應(yīng)力分量?！窘狻浚?）應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)，進行求解。由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量（2）考察邊界條件：根據(jù)對稱性，得 （a） (b) (c) (d)同式（a）得 (e)同式（b）得 (f)同式（c）得 (g)同式（d）得

20、(h)式(e) 、(f) 、(g)、 (h)聯(lián)立求解，得將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分量，得4-14 設(shè)有一剛體，具有半徑為R的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置外半徑為R而內(nèi)半徑為r的圓筒，圓筒受內(nèi)壓力為q，試求圓筒的應(yīng)力?！窘狻勘绢}為軸對稱問題，故環(huán)向位移，另外還要考慮位移的單值條件。（1）應(yīng)力分量引用軸對稱應(yīng)力解答，教材中式（4-11），取圓筒解答中的系數(shù)為A，B，C，剛體解答中的系數(shù)為A，B，C由多連體中的位移單值條件，有B=0， （a）B=0 (b)現(xiàn)在，取圓筒的應(yīng)力表達式為 （c）剛體的應(yīng)力表達式 (d)考慮邊界條件和接觸條件來求解常數(shù)A,A,C,C和相應(yīng)的位移解答。首先，在圓筒的內(nèi)面，有邊界條件，由此得 （e）其次，在遠離圓孔處，應(yīng)當幾乎沒有應(yīng)力，于是有，由此得2C=0（f）再次，圓筒和剛體的接觸面上，應(yīng)當有于是有式（c）及式(d)得 （g）(2)平面應(yīng)變問題的位移分量應(yīng)用教材中式（4-12）的第一式，稍加簡化可以寫出圓筒和剛體的徑向位移表達式， （h） （i）剛體的徑向位移為零，在接觸面上，