2013年華約自主招生數(shù)學(xué)試題解析

1、2013年華約自主招生數(shù)學(xué)試題解析1.設(shè)，且中元素滿足：任意一個元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相同；任意一個元素的任意兩個數(shù)位的數(shù)字之和不等于9；（1）求中的兩位數(shù)和三位數(shù)的個數(shù)；（2）是否存在五位數(shù)，六位數(shù)？（3）若從小到大排列中元素，求第1081個元素.解析：（配對法）將0，1，9這10個數(shù)字按照和為9進(jìn)行配對:（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）.中元素的每個數(shù)位只能從上面五對數(shù)中每對至多取一個數(shù)構(gòu)成.（1）兩位數(shù)有個；三位數(shù)有個；（2）存在五位數(shù)，只需從上述五個數(shù)對中每對取一個數(shù)即可構(gòu)成符合條件的五位數(shù)；不存在六位數(shù)，由抽屜原理易知，若存在，則至少要從一個數(shù)對中取出兩個數(shù)

2、，則該兩個數(shù)字之和為9，與中任意一個元素的任意兩個數(shù)位的數(shù)字之和不等于9矛盾，因此不存在六位數(shù).（3）四位數(shù)共有個，因此第1081個元素是四位數(shù)，且是第577個四位數(shù)，我們考慮千位，千位1，2，3的四位數(shù)有個，因此第1081個元素是4012.2.已知，求.解析：由，平方相加得，另一方面由得，由得，除以得，因此.3.點在上，點在上，其中，且在軸同側(cè).（1）求中點的軌跡；（2）曲線與拋物線相切，求證：切點分別在兩條定直線上，并求切線方程.解析：（1）設(shè)，則，由得，即，又，于是的軌跡方程為，于是中點的軌跡的焦點為，實軸長為2的雙曲線.（2）將與聯(lián)立得，曲線與拋物線相切，故，又因為，所以，且，因此兩切

3、點分別在定直線上，兩切點為，于是在處的切線方程分別為，即，在處的切線方程分別為，即.4.7個紅球，8個黑球，一次取出4個.（1）求恰有一個紅球的概率；（2）取出黑球的個數(shù)為，求的分布列和期望；（3）取出4個球同色，求全為黑色的概率.解析：（1）恰有一個紅球的概率為；（2）的所有可能取值為0，1，2，3，4，即的分別列為01234所以.（事實上由超幾何分布期望公式可以直接得出期望為，無需繁雜計算）（3）取出4個球色，全為黑色的概率為.5.數(shù)列各項均為正數(shù)，且對任意滿足.（1）求證：對任意正數(shù)，存在，當(dāng)時有；（2）設(shè)是前項和，求證：對任意，存在，當(dāng)時有.（1）證明：因為對任意滿足，所以，又因為，所以，所以，故對任意正數(shù)，存在，當(dāng)時有.（2）由得所以，所以，。由（1）有得 。由得。所以對任意，存在，當(dāng)時有.6.已知是互不相等的正整數(shù)，求.解析：本題等價于求使為整數(shù)的正整數(shù)，由于是互不相等的正整數(shù)，因此，不失一般性不妨設(shè)，則于是，結(jié)合為正整數(shù)，從而.當(dāng)時，即于是，所以，但另一方面，是正整數(shù)且，矛盾，不合題意.當(dāng)，此時，所以，即，所以，。代入得，又，經(jīng)檢驗僅有符合題意.因此所求為。7.已知；（1）求證：當(dāng)時；（2）數(shù)列滿足，求證：數(shù)列遞減且.證明：（1）當(dāng)時在遞減，所以.（2）由，因為，所以即，所以數(shù)列遞減，下列證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明，設(shè)，則，由（1）知當(dāng)時，所以，所以在遞增，由歸納