第八章矢量算法與場論初步張量算法與黎曼幾何初步SECTION4.

1、4張量算法一、張量概念 張量的一般定義 若一個量有 nN 個分量，而每個分量在n 維空間 Rn 中的坐標(biāo)變換x ixi x1 , xn(i= 1 , ,n)之下，按下面的規(guī)律變化：T j1 jlx j1x jlxi1x imTj1 jli1 imxj1xjlxi1ximi1 im式中 Ti1j1 jl 是 xi 的函數(shù)，T j1 j l 是 x i的函數(shù)，則量 T j1jl (共有 nN 個分量 )稱為 l 階逆變 (或抗變 )mi mi1 i mi1 i m階協(xié)變的 N(=l m)階混合張量 (或稱為 (lm)型混合張量 ).張量概念是矢量和矩陣概念的推廣，標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量，矩

2、陣(方陣 )是二階張量，而三階張量 (例如 Tjki )好比“立體矩陣” (圖 8.18 右).更高階的張量不能用圖形表達(dá).下面列出 n=2 時的張量示意圖： 張量舉例 1 可乘張量 設(shè)由逆變分量和協(xié)變分量所給定的兩個矢量 a , b 是已知的，則由等式T ikai bk , Ta b ,T iai bk,Tiakbiiki k.kk確定的都是二階張量，稱為可乘張量.2克羅內(nèi)克爾符號克羅內(nèi)克爾符號ij 是一階逆變一階協(xié)變的二階混合張量，這是因?yàn)閺膞ixiixix jj可得ixixixix jijxix jx ix jj 二階對稱張量與反對稱張量若張量滿足等式TikTki , T ikT ki

3、, TkiTi k則分別稱為二階對稱協(xié)變張量、二階對稱逆變張量和二階對稱混合張量.若張量滿足等式TikTki ,T ikT ki ,TkiTi k則分別稱為二階反對稱協(xié)變張量、二階反對稱逆變張量和二階反對稱混合張量.張量的逆變 (協(xié)變 )指標(biāo)的對稱性質(zhì)在坐標(biāo)變換下是不變的.在三維空間中，二階反對稱張量與矢量等價.二、張量代數(shù) 指標(biāo)的置換 指標(biāo)置換是張量代數(shù)的最簡單運(yùn)算，利用它可作出新的張量.例如，通過指標(biāo)置換，可由張量T ki 得到新的張量 T ik ，它的矩陣是張量 T ki 的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣 . 加(減 )法同類型的若干個張量的對應(yīng)分量相加(或相減 )就得到一個新的同類型張量的分量，這種運(yùn)

4、算稱為張量的加法(或減法 ).任何二階張量可分解為對稱張量與反對稱張量兩部分.例如Tik1 Tik Tki1TikTki22 張量的乘法 把兩個張量的分量按各種可能情形相乘起來，就會得到一個新張量的分量.這個張量的逆變與協(xié)變的階數(shù)分別等于原來兩個張量的逆變與協(xié)變的階數(shù)之和.這種運(yùn)算稱為張量的乘法 .例如T r1rl s1skT r1rlT s1skp1p mt1 thp1p mt 1 t h這是一個 l k 階逆變 mh 階協(xié)變的混合張量，它的階數(shù)為l mk h.注意，張量乘法的次序是不可交換的 . 張量的縮并 對一個給定的混合張量，把它的一個逆變指標(biāo)與一個協(xié)變指標(biāo)相等的相加起來，得出階數(shù)較低

5、 (逆變和協(xié)變各低一階 )的張量，這種運(yùn)算稱為張量的縮并 .例如T s2slT s1s2slq2qms q2qm1是一個 l 1 階逆變 m1 階協(xié)變的混合張量 . 指標(biāo)的升降 在應(yīng)用中經(jīng)常用二階逆變張量 a ijdet a ij0 的相乘與縮并來“升高”張量的協(xié)變指標(biāo)，用二階協(xié)變張量aijdet aij0相乘與縮并來“降低”張量的逆變指標(biāo).這種運(yùn)算稱為指標(biāo)的升降 .例如 Tijk 就可由 aij 和 aij 升降：ail TijkT jkl,a jl TijkTikl ,a klTijkTijlail a jm TijkTklm , a il a kmTijkTjlm ,ail a jm a

6、kp Tijk T lmpTl jkail T ijk,Tlmkail a jmT ijk,Tlmpail a jm akpT ijk 張量的商律 i1i li1ili和 xii與i及設(shè) Tj1j m和 Tj j 各為一組 x的函數(shù)，如果對任意逆變矢量1m任一指標(biāo) j k， j k 使i1i ljk 與 T i1T j1j kj miljkj1j k jmii成為張量，則 Tj11jlm 必為張量 .這種判別張量的法則稱為張量的商律 .例如 Tklmij 與 Tki ljm 各為 x i ， xi的函數(shù)，而且Ti jlTijl xix jx kxmklmk l mxix jxkx m則T i

7、jlT ijlxlxix jxkxmk l mklmx lxix jx kxm即i jijx ix jx kxlxmlTk l mTklmx jxk x lxm0xi對所有的l 都成立，所以上式括號中的表達(dá)式等于零，因此Tklmij 是張量 .以任意協(xié)變矢量代替逆變矢量可得相仿的結(jié)果 . 張量密度 按下面規(guī)律變化的量T l kxlxkxa wT lkxlxkx a稱為張量密度， 式中 w 為一常數(shù)，稱為張量密度的權(quán) .張量就是權(quán)為零的張量密度.根據(jù)張量的階數(shù)，還可以定義標(biāo)量密度和矢量密度.兩個指標(biāo)的數(shù)目相同，且權(quán)相同的張量密度之和是一個同類型的張量密度.兩個張量相乘時，權(quán)相加 .三、張量分析上

8、述張量都假定它的分量是空間Rn 中點(diǎn) M(xi )的函數(shù)：Tji1jilTji1 ijlxi1m1m當(dāng)點(diǎn) M(xi)在空間 Rn 中某一區(qū)域 D 中變動時，則稱 Tji1ijl 是區(qū)域 D 中的一個張量場 .上面所建1m立的張量代數(shù)的各種運(yùn)算，都可以應(yīng)用到張量場上來 .對于張量場還有一個不變的運(yùn)算 絕對微分 (也稱為協(xié)變微分 )，這就是張量分析要討論的內(nèi)容 .一個標(biāo)量場的普通導(dǎo)數(shù)是一個協(xié)變矢量場(梯度場 )的分量 .但是，一般說來，一個張量場的普通導(dǎo)數(shù)并不構(gòu)成新的張量場. 仿射聯(lián)絡(luò)空間若對空間Rn 中的每一坐標(biāo)系(xi)，在一已知點(diǎn)M 給定了一組(n3 個)數(shù)ijk ，并在坐標(biāo)變換xixixi

9、下，它們按下列規(guī)律變化2 xkxkxix jx kk(1)ki jx kxix jx kijxi x j則稱在點(diǎn) M 給定了一個聯(lián)絡(luò)對象 (或聯(lián)絡(luò)系數(shù) )，其中偏導(dǎo)數(shù)是在點(diǎn)M 取值的 .假定在空間 Rn 中給定了聯(lián)絡(luò)對象場ijk Mijk x1 , xn而且這些函數(shù)是連續(xù)可微的，則稱Rn 為仿射聯(lián)絡(luò)空間，記作Ln.一般說來，kkijji 撓率張量 (1)式中ijk 的變換規(guī)律包括兩項(xiàng)：第一項(xiàng)不依賴于舊坐標(biāo)系中的ijk ；第二項(xiàng)依賴于ijk ，并和張量的變換規(guī)律的形式完全相同.由于第一項(xiàng)對兩個下標(biāo)i , j 是對稱的，k它一般不等于零，所以ij不是一個張量 .但是kkkTijijji構(gòu)成一個張量

10、，稱為仿射聯(lián)絡(luò)空間Ln 的撓率張量 .如果撓率張量ijk 等于零，即kkijji則稱所給定的空間是無撓率的仿射聯(lián)絡(luò)空間，記作Ln0 . 矢量的絕對微分與平行移動若在空間 Ln 中給定一個逆變矢量ai，則在坐標(biāo)變換下有aixiai(2)x iM這構(gòu)成矢量 a i在點(diǎn) M 的變換規(guī)律 .如果從點(diǎn) M( x i )移到點(diǎn) N(xi dxi)，則有aidaixi2 xidx ja idaix iMxix jM式中 dai 表示矢量a i從 M 移到 N 時的改變量的分量 .在上式中只取一次項(xiàng)就得到daixida i2 xiai dx j(3)xiMx i x jM若變換的二階偏導(dǎo)數(shù)在M 不等于零，則一

11、個矢量的改變量決不是一個矢量的分量.n如果 R 為仿射聯(lián)絡(luò)空間，可由 (1)， (2)，(3)式得到da iji k a j dx kxidaijki a j dx kxiM這表明Da ida ijki a j dxk是一個逆變無窮小矢量 .稱 Dai 為矢量 a i在點(diǎn) M 處關(guān)于分量為 dxi 的位移 MN 的絕對微分 .如果聯(lián)絡(luò)對象i0 ，則絕對微分與普通微分一致 .jk M若矢量 Da i等于零，即Da idaijki a j dx k =0就稱矢量 ai關(guān)于聯(lián)絡(luò)ijk從點(diǎn) M 平行地移動到點(diǎn) N.當(dāng)ijk M0 ，分量 ai 保持不變 (dai = 0)時，矢量從點(diǎn) M 平行移動到點(diǎn)

12、 N，就相當(dāng)于歐氏空間中的平行移動.如果給定一條曲線 Cx i = x i( t )和一個逆變矢量ai ，沿這條曲線 C 可以作伴隨于ai 的矢量Da idaiiaj dxkdtdtjkdt稱它為沿曲線 C 的導(dǎo)矢量 .如果 a i的導(dǎo)矢量為零，即daijki a j dxk0(4)dtdt則矢量 ai 自身沿曲線 C 平行地移動， (4)式與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，就是說，矢量沿曲線的平行移動在坐標(biāo)變換下是不變的.同樣地可以考慮協(xié)變矢量a i 的絕對微分與平行移動 .稱Da jda jjkiai dxk為協(xié)變矢量 a i 關(guān)于位移 dxi的絕對微分 .平行移動的條件為dajia dxk0jk i或

13、沿曲線 C 平行移動的條件為da jiadx kdt0jk idt 協(xié)變導(dǎo)數(shù) 從逆變矢量與協(xié)變矢量的絕對微分的定義公式可以得到量ia jiajkia j 和xkxkjk ai它們是關(guān)于指標(biāo) k 協(xié)變的二階張量，分別稱為矢量a i和 a j的協(xié)變導(dǎo)數(shù)，分別記作 a i ; k 和a j ;k 或 k a i 和 k a j . 張量的絕對微分與平行移動及其協(xié)變微分法由乘積的微分公式和張量的定義可以推出張量的平行移動規(guī)律.例如，三階張量的平行移動規(guī)律為dTiklisr TrklksrTirlrslTikr dx s四階張量的平行移動規(guī)律為dTijlkisr Trjlkjsr TirlkrslTij

14、rkrskTijlr dx s可以看出 ,張量平行移動規(guī)律中所包含的項(xiàng)數(shù)與張量的階數(shù)是相同的, 對于張量的逆變指標(biāo) ,類似于逆變矢量平行移動的規(guī)律; 對于張量的協(xié)變指標(biāo) , 類似于協(xié)變矢量平行移動的規(guī)律.記DTijlkdTijlkisr Trjlkjsr TirlkrslTijrkrskTijlr dxs則稱 DTijlk 為張量 Tijlk 的絕對微分 . 張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算法則T lkT lkTijlkrT lkrT lklT rkkT lrij ; ss ijx sisrjjsirrsijrs ij稱為張量 Tijlk 的協(xié)變導(dǎo)數(shù)，它是一個五階張量的分量.在普通導(dǎo)數(shù)中，對于已微分的張量的每個指標(biāo)再加上一項(xiàng)就可以構(gòu)成任意張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)，對于逆變指標(biāo)，這項(xiàng)的形式是T i;srsiT r對于協(xié)變指標(biāo)是T k ;sksrT r協(xié)變導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則如下：1 若干個同樣結(jié)構(gòu)的張量之和的協(xié)變導(dǎo)數(shù)等于各個張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)之和，即i 1 i li1ili1 ili 1ils Tj1j mU j1 jmsTj1jmsU j1jm2 滿足積的微分法則，即sABCs A BCAs B CABsC 自平行曲線 在仿射聯(lián)絡(luò)空間中， 如果切于曲線上一點(diǎn)M0 的每個矢量ai0 沿這曲線平行移動時是切于這曲線的，則稱這曲線為自平行曲線.i設(shè)曲