第三章 第三節(jié) 韓信點(diǎn)兵與中國(guó)剩余定理.ppt

1、1第三章第三章 若干數(shù)學(xué)典故中的數(shù)學(xué)文化若干數(shù)學(xué)典故中的數(shù)學(xué)文化第三節(jié)韓信點(diǎn)兵與中國(guó)剩余定理第三節(jié)韓信點(diǎn)兵與中國(guó)剩余定理2一、一、“韓信點(diǎn)兵韓信點(diǎn)兵”的故事和兩個(gè)有趣的的題目的故事和兩個(gè)有趣的的題目1.“韓信點(diǎn)兵韓信點(diǎn)兵”的故事的故事韓信閱兵時(shí)，讓一隊(duì)士兵韓信閱兵時(shí)，讓一隊(duì)士兵5人一行排隊(duì)從他面前走過，人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（他記下最后一行士兵的人數(shù)（1人）；人）；再讓這隊(duì)士兵再讓這隊(duì)士兵6人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（一行士兵的人數(shù)（5人）；人）；再讓這隊(duì)士兵再讓這隊(duì)士兵7人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一人一

2、行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（行士兵的人數(shù)（4人）；人）；再讓這隊(duì)士兵再讓這隊(duì)士兵11人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（一行士兵的人數(shù)（10人）人）3這里面有什么秘密呢？這里面有什么秘密呢？韓信好像非常重視作除法時(shí)的韓信好像非常重視作除法時(shí)的余數(shù)余數(shù)然后韓信就憑這些數(shù)，可以求得這隊(duì)士兵的總?cè)藬?shù)。然后韓信就憑這些數(shù)，可以求得這隊(duì)士兵的總?cè)藬?shù)。4今有物不知其數(shù)，今有物不知其數(shù)， 三三數(shù)之剩三三數(shù)之剩2， 五五數(shù)之剩五五數(shù)之剩3， 七七數(shù)之剩七七數(shù)之剩2， 問物幾何？問物幾何？ 答曰答曰 23 2.孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)中的題目中的題目我國(guó)

3、古代數(shù)學(xué)名著我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)中有中有“物不知數(shù)物不知數(shù)”的題目：的題目：5這里面又有什么秘密呢？這里面又有什么秘密呢？題目給出的條件，題目給出的條件， 也僅僅是作除法時(shí)的也僅僅是作除法時(shí)的余數(shù)余數(shù)中國(guó)古代算經(jīng)十書：周髀算經(jīng) 九章算術(shù) 海島算經(jīng) 孫子算經(jīng) 張邱建算經(jīng) 五曹算經(jīng) 五經(jīng)算術(shù) 數(shù)術(shù)記遺 綴術(shù) 緝古算經(jīng) 夏侯陽算經(jīng)6九章算術(shù)周髀算經(jīng)7孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)8公雞每只值五文錢，母雞每只值三文錢，小雞每三只公雞每只值五文錢，母雞每只值三文錢，小雞每三只值一文錢現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞。問這一百只雞中，值一文錢現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞。問這一百只雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？公雞

4、、母雞、小雞各有多少只？ 設(shè)買公雞設(shè)買公雞x只，買母雞只，買母雞y只，買小雞只，買小雞z只，那么根據(jù)已知只，那么根據(jù)已知條件列方程，有：條件列方程，有： 張丘建算經(jīng)中的題目x+y+z=100（1） 5x+3y+z/3=100（2） （2）3-（1），得 14x+8y=200 也就是7x+4y=100（3） 9 二問題的解答二問題的解答 1從另一個(gè)問題入手從另一個(gè)問題入手問題：?jiǎn)栴}：今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之剩剩1，三三數(shù)之剩，三三數(shù)之剩2，四四數(shù)之剩，四四數(shù)之剩3，五五數(shù)，五五數(shù)之剩之剩4，六六數(shù)之剩，六六數(shù)之剩5，七七數(shù)之剩，七七數(shù)之剩6，八八，八八數(shù)之剩數(shù)之剩7，九九

5、數(shù)之剩，九九數(shù)之剩8，問物幾何？，問物幾何？10 1）篩法）篩法1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29， （ 用用2除余除余1）5， 11， 17，23， 29， （ 用用3除余除余2）11， 23， （ 用用4除余除余3）11 再?gòu)闹刑粼購(gòu)闹刑簟坝糜?除余除余4”的數(shù)，的數(shù)， 一直篩選下去，舍得下功夫，就一定可一直篩選下去，舍得下功夫，就一定可得結(jié)果。得結(jié)果。 并且看起來，解，還不是唯一的；可能并且看起來，解，還不是唯一的；可能有無窮多個(gè)解。有無窮多個(gè)解。12 化繁為簡(jiǎn)化繁為簡(jiǎn)的思想的思想 當(dāng)問題中有很多類似的條件時(shí)，我們先只看其中兩三個(gè)條件，這當(dāng)問題

6、中有很多類似的條件時(shí)，我們先只看其中兩三個(gè)條件，這就是就是化繁為簡(jiǎn)化繁為簡(jiǎn)。 一個(gè)復(fù)雜的問題，如果在簡(jiǎn)化時(shí)仍然一個(gè)復(fù)雜的問題，如果在簡(jiǎn)化時(shí)仍然保留了原來問題的特點(diǎn)和本保留了原來問題的特點(diǎn)和本質(zhì)質(zhì)，那么簡(jiǎn)化就，那么簡(jiǎn)化就“不失一般性不失一般性”。 學(xué)會(huì)學(xué)會(huì)“簡(jiǎn)化問題簡(jiǎn)化問題”與學(xué)會(huì)與學(xué)會(huì)“推廣問題推廣問題”一樣，是一種重要的數(shù)學(xué)一樣，是一種重要的數(shù)學(xué)能力。能力。 尋找規(guī)律尋找規(guī)律的思想的思想 把我們的解題方法總結(jié)為把我們的解題方法總結(jié)為篩法篩法，是重要的進(jìn)步，是質(zhì)的飛躍：，是重要的進(jìn)步，是質(zhì)的飛躍： 找到規(guī)律了。找到規(guī)律了。 篩法是一般性方法，還可以用來解決其他類似的問題。篩法是一般性方法，還可

7、以用來解決其他類似的問題。13數(shù)學(xué)中的化歸方法，就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思，是指把待解決或未解決的數(shù)學(xué)問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題，最終求得問題的解答的一種手段和方法 化歸的方向是由未知到已知、由難到易、由繁到簡(jiǎn)、由暗到明化歸遵循的原則是熟悉化原則、簡(jiǎn)單化原則、具體化原則、正難則反原則 數(shù)學(xué)問題的解決過程就是不斷地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、直至化歸為一類已經(jīng)能解決或比較容易解決的問題的過程 14 2 2）公倍數(shù)法）公倍數(shù)法 化繁為簡(jiǎn)化繁為簡(jiǎn) 我們還是先看只有前兩個(gè)條件的簡(jiǎn)化題目。我們還是先看只有前兩個(gè)條件的簡(jiǎn)化題目。 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，2

8、1，23，25， （ 用用2除余除余1） 5， 11， 17， 23， （ 用用3除余除余2） 上述篩選過程的第一步，得到上述篩選過程的第一步，得到: :1 1，3 3，5 5，7 7，9 9，1111，1313，1515，1717，1919，2121，2323，2525， 其實(shí)是列出了其實(shí)是列出了“用用2 2除余除余1”1”的數(shù)組成的數(shù)列。這個(gè)數(shù)列的數(shù)組成的數(shù)列。這個(gè)數(shù)列實(shí)際上是用實(shí)際上是用帶余除法帶余除法的式子得到的。的式子得到的。15 所謂所謂“帶余除法帶余除法”，是指，是指整數(shù)整數(shù)的如的如下下“除法除法”： 被除數(shù)被除數(shù) ，除數(shù)，除數(shù) , 必唯一必唯一存在商存在商 和余和余 ，使，使

9、q,0abqrrb0b ar16 當(dāng)余當(dāng)余 時(shí)，則時(shí)，則 ，稱為，稱為 “ 整除整除”，或，或 “ 整除整除 ”，這是通常除，這是通常除法法“ ” 的另一種表達(dá)形式。所以，的另一種表達(dá)形式。所以，帶余帶余除法是通常除法的推廣。除法是通常除法的推廣。0r abqab被baaqb17 回到求回到求“用用2除余除余1的數(shù)的數(shù)”的問題。設(shè)的問題。設(shè)這這樣的數(shù)為樣的數(shù)為 ，則，則 。這里。這里 是是被除數(shù)，被除數(shù)，2是除數(shù)，是除數(shù)， 是商，是商，1是余，是余，且且 。x121xnx012 1n18 這就是這就是“帶余除帶余除法法”的式子。當(dāng)取的式子。當(dāng)取 時(shí)，時(shí)，用上式求得的用上式求得的 正好組成上述數(shù)

10、列正好組成上述數(shù)列 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25， 121(012),xn 10,1,2,3,4,n x19 接著從中篩選出接著從中篩選出“用用3除余除余2”的的數(shù)，就是挑出符合下面數(shù)，就是挑出符合下面“帶余除法帶余除法”表達(dá)表達(dá)式式的數(shù)，這里的數(shù)，這里 可取可取0，1，2，3，4， 再繼續(xù)做下去。再繼續(xù)做下去。232,(023)xn2n20 如果我們不分上面兩步，而是一上如果我們不分上面兩步，而是一上來就來就綜合綜合考慮考慮兩者兩者，則就是要解聯(lián)立方，則就是要解聯(lián)立方程組程組 1221.32xnxxn中的21 那么，為了解這個(gè)方程組，除了剛才的篩法那么，

11、為了解這個(gè)方程組，除了剛才的篩法外，還有沒有更加巧妙的解法？外，還有沒有更加巧妙的解法？ 我們考察上邊兩個(gè)方程的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)我們考察上邊兩個(gè)方程的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)“帶余除法帶余除法”的式子，都是的式子，都是“余數(shù)比除數(shù)少余數(shù)比除數(shù)少1 1”。 于是想到，如果于是想到，如果把被除數(shù)再加把被除數(shù)再加1 1，不是余數(shù)就，不是余數(shù)就為為0 0了嗎？換句話說，不是就出現(xiàn)了嗎？換句話說，不是就出現(xiàn)整除整除的情況了嗎？的情況了嗎？22 于是把上邊每個(gè)方程兩邊都加上于是把上邊每個(gè)方程兩邊都加上1，成為，成為 這說明，這說明， 既是既是2的倍數(shù)，又是的倍數(shù)，又是3的的倍數(shù)，因此，它是倍數(shù)，因此，它是2與與3

12、的公倍數(shù)。由此想到的公倍數(shù)。由此想到1212(1)13(1)xnxn 1x23對(duì)整個(gè)問題尋找規(guī)律對(duì)整個(gè)問題尋找規(guī)律問題：?jiǎn)栴}： 今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之剩今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之剩1，三三，三三數(shù)之剩數(shù)之剩2，四四數(shù)之剩，四四數(shù)之剩3，五五數(shù)之剩，五五數(shù)之剩4，六六，六六數(shù)之剩數(shù)之剩5，七七數(shù)之剩，七七數(shù)之剩6，八八數(shù)之剩，八八數(shù)之剩7，九九，九九數(shù)之剩數(shù)之剩8，問物幾何？，問物幾何？24 尋找規(guī)律尋找規(guī)律 設(shè)問題中，需要求的數(shù)是設(shè)問題中，需要求的數(shù)是 ，則，則 被被2，3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余數(shù)都去除，所得的余數(shù)都是比除數(shù)少是比除數(shù)少1，于是我們把被除數(shù)，于是我們把被除數(shù) 再

13、加再加1， 則則 就可被就可被2，3，4，5，6，7，8，9均均整除。也就是說，整除。也就是說， 是是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍數(shù)，從而是其最小公倍數(shù)的公倍數(shù)，從而是其最小公倍數(shù)2,3,4,5,6,7,8,9的倍數(shù)。的倍數(shù)。xxx1x1xx25 即即 這就是原問題的全部解，有無窮多個(gè)解，其中第這就是原問題的全部解，有無窮多個(gè)解，其中第一個(gè)解是一個(gè)解是2519；我們只取正數(shù)解，因?yàn)?；我們只取正?shù)解，因?yàn)椤拔矬w的物體的 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)”總是正整數(shù)?？偸钦麛?shù)。 12,3,4,5,6,7,8,92520,1,2,3,xkkk 25201,1,2,3,xkk26 思思： 求求“用用2除余除余1，3

14、除余除余2， 用用m除余除余 m 1”的數(shù)。的數(shù)。 求求“用用a除余除余a 1，用，用b除余除余b1，用，用c除余除余c1”的數(shù)。的數(shù)。 （a,b,c是任意大于是任意大于1的自然數(shù)）的自然數(shù)） 求求“用用2，3，4，5，6，7，8，9除除 都都余余1”的數(shù)。的數(shù)。 求求“用用5，7，9，11 除都余除都余2”的數(shù)。的數(shù)。27 2孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)中中“有物不知其數(shù)有物不知其數(shù)” 問題的解答問題的解答 問題：?jiǎn)栴}：今有物不知其數(shù)，今有物不知其數(shù)， 三三數(shù)之剩三三數(shù)之剩2， 五五數(shù)之剩五五數(shù)之剩3， 七七數(shù)之剩七七數(shù)之剩2， 問物幾何？問物幾何？281）篩法）篩法.2，5，8，11，14，17，20

15、，23，26，29，（用（用3除余除余2）8，23， （用（用5除余除余3）23， （用（用7除余除余2） 由此得到，由此得到，23是最小的一個(gè)解。是最小的一個(gè)解。 至于下一個(gè)解是什么，要把至于下一個(gè)解是什么，要把“”寫出來才知道；寫出來才知道； 實(shí)踐以后發(fā)現(xiàn)，是要費(fèi)一點(diǎn)兒功夫的。實(shí)踐以后發(fā)現(xiàn)，是要費(fèi)一點(diǎn)兒功夫的。29 2）公倍數(shù)法）公倍數(shù)法 現(xiàn)在仿照上邊用過的現(xiàn)在仿照上邊用過的“公倍數(shù)法公倍數(shù)法”，設(shè)要求的數(shù)為設(shè)要求的數(shù)為 ，則依題意，得聯(lián)立，則依題意，得聯(lián)立方程組方程組x1233253(*)72xnxnxn30 按上一問題中按上一問題中“公倍數(shù)法公倍數(shù)法”解決問題的解決問題的思路：把思路：

16、把方程兩邊同時(shí)加上或減去方程兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)什么一個(gè)什么樣的數(shù)，就能使三個(gè)等式的右邊分別是樣的數(shù)，就能使三個(gè)等式的右邊分別是3 3，5 5，7 7的倍數(shù)，從而等式左邊就是的倍數(shù)，從而等式左邊就是3 3，5 5，7 7的公倍的公倍數(shù)了。數(shù)了。 這要通過這要通過反復(fù)反復(fù)的試算去完成。的試算去完成。31一種試算的方法一種試算的方法1233253(*)72xnxnxn32 從第三個(gè)等式入手，兩邊加從第三個(gè)等式入手，兩邊加5（或減（或減2）則則得得 357(1)xn3(27)xn或33 則右邊是則右邊是7的倍數(shù)了，但兩邊加的倍數(shù)了，但兩邊加5（或減（或減2）并不并不能使前兩式的右邊分別是能使前兩式

17、的右邊分別是3的倍數(shù)和的倍數(shù)和5的倍數(shù)，所以的倍數(shù)，所以兩邊加兩邊加5（或減（或減2）并不能使右邊成為并不能使右邊成為3，5，7的公的公倍數(shù)。再繼續(xù)從第三個(gè)等式入手，為使第三個(gè)等式倍數(shù)。再繼續(xù)從第三個(gè)等式入手，為使第三個(gè)等式右邊仍然保持是右邊仍然保持是7的倍數(shù)，可再加的倍數(shù)，可再加 （或再減（或再減 ），則則 （或（或 ） 將將 代入試算、分代入試算、分 析，析，7l3577(1)xlnl 3277()xhnh1,2,3l 7h(1,2,3)h 或34 最后發(fā)現(xiàn)，為達(dá)到目的最后發(fā)現(xiàn)，為達(dá)到目的（三個(gè)等式的右邊分別是（三個(gè)等式的右邊分別是3，5，7的倍的倍數(shù)），最小的加數(shù)是數(shù)），最小的加數(shù)是82

18、（ 時(shí)時(shí) ）（或最小的減數(shù)是（或最小的減數(shù)是23，即即 時(shí)時(shí) ）。11l 5782l3h 2723h35 用等式兩邊加用等式兩邊加82來求解，有來求解，有 用等式兩邊減用等式兩邊減23來求解，有來求解，有 多了一個(gè)多了一個(gè)“ ” ，因這時(shí)，因這時(shí) 也是正數(shù)，也是正數(shù)，合合 要求要求。0k123823(28)825(17)823,5,7105827(12)10582,1,2,3,xnxnxkkxnxkk123233(7)235(4)233,5,7105237(3)10523,0,1,2,3,xnxnxkkxnxkkx36 這兩組解是一樣的，都是這兩組解是一樣的，都是“23，23+105，23+2

19、105，”。 原因是原因是82+23=105，故令，故令 第一組第一組解就成為解就成為 便轉(zhuǎn)化成第二組解。便轉(zhuǎn)化成第二組解。1kk105(1)821051058210523xkkk37 但是，這但是，這82和和23來之不易；并且如果來之不易；并且如果題目中的余數(shù)題目中的余數(shù)變了，就得重新試算，所以變了，就得重新試算，所以這方法缺少一般性，為使它具有一般性，這方法缺少一般性，為使它具有一般性，要做根本的修改。要做根本的修改。38 3）單因子構(gòu)件湊成法）單因子構(gòu)件湊成法 我們先對(duì)前幾頁(yè)（我們先對(duì)前幾頁(yè)（*）式作兩個(gè)方面的簡(jiǎn)化：）式作兩個(gè)方面的簡(jiǎn)化：一方面一方面是是每次只考慮每次只考慮“一個(gè)除式一個(gè)

20、除式”有余數(shù)的情況（即另兩個(gè)除式都有余數(shù)的情況（即另兩個(gè)除式都是整除的情況）；是整除的情況）；另一方面另一方面是把余數(shù)都簡(jiǎn)化為最簡(jiǎn)單的是把余數(shù)都簡(jiǎn)化為最簡(jiǎn)單的1。這樣得到三組方程。這樣得到三組方程。1233253(*)72xnxnxn11122233331335(1);51(2);5(3)7771xnynznxnynznxnynzn39 （1）式意味著，在）式意味著，在5和和7的公倍數(shù)中（的公倍數(shù)中（35，70，105，）尋找被）尋找被3除余除余1的數(shù)；的數(shù)； （2）式意味著，在）式意味著，在3和和7的公倍數(shù)中（的公倍數(shù)中（21，42，63，）尋找被）尋找被5除余除余1的數(shù)；的數(shù)； （3）式意

21、味著，在）式意味著，在3和和5的公倍數(shù)中（的公倍數(shù)中（15，30，45，）尋找被）尋找被7除余除余1的數(shù)。的數(shù)。11122233331335(1);51(2);5(3)7771xnynznxnynznxnynzn40 對(duì)（對(duì)（1）式而言，這個(gè)數(shù)可以?。┦蕉裕@個(gè)數(shù)可以取70，對(duì)（，對(duì)（2）式而言，）式而言，這個(gè)數(shù)可以取這個(gè)數(shù)可以取21，對(duì)（，對(duì)（3）式而言，這個(gè)數(shù)可以?。┦蕉?，這個(gè)數(shù)可以取15。 于是（于是（1）式兩邊同減）式兩邊同減70變?yōu)檫@樣：變?yōu)檫@樣：第二式右邊仍是第二式右邊仍是5的的倍數(shù)，第三式右邊仍是倍數(shù)，第三式右邊仍是7的倍數(shù)，而第一式右邊因?yàn)闇p的的倍數(shù)，而第一式右邊因?yàn)闇p的7

22、0是是“用用3除余除余1”的數(shù)，正好原來也多一個(gè)的數(shù)，正好原來也多一個(gè)1，減沒了。第一，減沒了。第一式右邊也成為了倍數(shù)，是式右邊也成為了倍數(shù)，是3的倍數(shù)。的倍數(shù)。 11122233331335(1);51(2);5(3)7771xnynznxnynznxnynzn41（2）式兩邊同減）式兩邊同減21變?yōu)樽優(yōu)?1112113703(23)703,5,7105705(14)10570,0,1,2,707(10)xnxkkxnxkkxn1222223213(7)213,5,7105215(4)10521,0,1,2,217(3)ynykkynykkyn42 （3）式兩邊同減）式兩邊同減15變?yōu)樽優(yōu)?

23、于是得到于是得到 1332332153(5)153,5,7105155(3)10515,0,1,2,157(2)znzkkznzkkzn 123105701052110515xkykzk43 現(xiàn)在重復(fù)一下：所得的現(xiàn)在重復(fù)一下：所得的x是是被被3除余除余1，被，被5和和7除余除余0的數(shù)；的數(shù)；y是是被被5除余除余1，被，被3和和7除余除余0的數(shù)；的數(shù)；z是是被被7除余除余1，被，被3和和5除余除余0的數(shù)。的數(shù)。44 那么，湊出那么，湊出 ， s 不就是我們需要求的數(shù)嗎？不就是我們需要求的數(shù)嗎？ 232sxyz45 因?yàn)?，用因?yàn)?，?去除去除s時(shí)，除時(shí)，除y及除及除z均余均余0 除除3y及除及除2

24、z均余均余0， 又除又除x余余1 除除2x余余2，用用3除除s時(shí)余時(shí)余2。 用用5去除去除s時(shí)，除時(shí)，除x及除及除z均余均余0 除除2x及除及除2z均余均余0， 又除又除y余余1 除除3y余余3，用用5除除s時(shí)余時(shí)余3。 用用7去除去除s時(shí)，除時(shí)，除x及除及除y均余均余0 除除2x及除及除3y均余均余0， 又除又除z余余1 除除2z余余2， 用用7除除s時(shí)余時(shí)余2。46 于是我們要求的數(shù)是于是我們要求的數(shù)是 這就是這就是孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)中中“物不知其數(shù)物不知其數(shù)”一題的解，有無窮多解，最小的正整數(shù)解是一題的解，有無窮多解，最小的正整數(shù)解是23（ 時(shí)）。時(shí)）。1231232322(10570)3

25、(10521)2(10515)(70221 3152)105(232)70221 31521052, 1,0,1,2,3,sxyzkkkkkkkk 2k 47 這里，（這里，（1），（），（2），（），（3）三式分別叫三個(gè)）三式分別叫三個(gè)“單因子構(gòu)件單因子構(gòu)件”，分，分別解得別解得 每個(gè)單因子構(gòu)件，都是用某一個(gè)數(shù)去除余每個(gè)單因子構(gòu)件，都是用某一個(gè)數(shù)去除余1，用另兩個(gè)數(shù)去除均余，用另兩個(gè)數(shù)去除均余0的情況。再據(jù)題目要求余數(shù)分別是的情況。再據(jù)題目要求余數(shù)分別是2，3，2的情況，湊成的情況，湊成11122233331335(1);51(2);5(3)7771xnynznxnynznxnynzn232

26、sxyz123105701052110515xkykzk48 所以，上述方法叫所以，上述方法叫“單因子構(gòu)件湊成法單因子構(gòu)件湊成法” 解決解決“由幾個(gè)平行條件表述的問題由幾個(gè)平行條件表述的問題”的方法的方法 （ 也稱也稱“孫子孫子華方法華方法”） 這種方法的最大優(yōu)點(diǎn)是，可以這種方法的最大優(yōu)點(diǎn)是，可以任意改變余數(shù)任意改變余數(shù)，加，加以以推廣推廣： 題：題： 有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩a，五五數(shù)，五五數(shù) 之剩之剩b，七七數(shù)之剩，七七數(shù)之剩c，問物幾何？，問物幾何？ 答：答：解為解為 （ 的選取應(yīng)使的選取應(yīng)使 ）.702115105sabck,kkZ0s 49 4）歌訣）歌訣 推

27、廣了的推廣了的“物不知其數(shù)物不知其數(shù)”問題的解為問題的解為 明朝數(shù)學(xué)家程大位在明朝數(shù)學(xué)家程大位在算法統(tǒng)宗算法統(tǒng)宗中把上式總結(jié)為一首中把上式總結(jié)為一首通俗易懂的歌決：通俗易懂的歌決： 三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝， 七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。 其中正半月是指其中正半月是指15，這個(gè)口訣把，這個(gè)口訣把3，5，7；70，21，15及及105這幾個(gè)關(guān)鍵的數(shù)都總結(jié)在內(nèi)了。詳細(xì)說，歌訣的含這幾個(gè)關(guān)鍵的數(shù)都總結(jié)在內(nèi)了。詳細(xì)說，歌訣的含義是：用義是：用3除的余數(shù)乘除的余數(shù)乘70，5除的余數(shù)乘除的余數(shù)乘21，7除的余數(shù)乘除的余數(shù)乘15，相加

28、后再減去（，相加后再減去（“除除”當(dāng)當(dāng)“減減”講）講）105的適當(dāng)倍數(shù)，的適當(dāng)倍數(shù)，就是需要求的（最?。┙饬?。就是需要求的（最小）解了。702115105sabck50 當(dāng)然，解，不是唯一的，每差當(dāng)然，解，不是唯一的，每差105，都是另一個(gè)解答，但如果結(jié)合實(shí)際問題，都是另一個(gè)解答，但如果結(jié)合實(shí)際問題，答案往往就是唯一的了。例如一隊(duì)士兵的答案往往就是唯一的了。例如一隊(duì)士兵的大約人數(shù)，韓信應(yīng)是知道的。大約人數(shù)，韓信應(yīng)是知道的。51我們的算法我們的算法1233253(*)72xnxnxn52 先構(gòu)造三個(gè)數(shù)m，n，k，使k能被5和7整除，但是被3除余，則k 70. m能被3和7整除，但是被5除余，則m

29、 21； n能被3和5整除，但是被7除余，則n 15； 于是232xkmn就是被3除余2，被5除余3，被7除余的整數(shù)， 又因?yàn)?,5,7的最小公倍數(shù)是105，因此滿足條件的整數(shù)為 232105233 105()xkmltttZ53若要求x是大于等于1000的最小值，只需要再令233 1051000 xt解出x最小值取即可5455 三、中國(guó)剩余定理三、中國(guó)剩余定理 1247年南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶把年南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶把孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)中中“物不知其數(shù)物不知其數(shù)”一題的方法推廣到一般的情況，得一題的方法推廣到一般的情況，得到稱之為到稱之為“大衍求一術(shù)大衍求一術(shù)”的方法，在的方法，在數(shù)書九章數(shù)書九章中

30、發(fā)表。這個(gè)結(jié)論在歐洲要到十八世紀(jì)才由數(shù)學(xué)家中發(fā)表。這個(gè)結(jié)論在歐洲要到十八世紀(jì)才由數(shù)學(xué)家高斯和歐拉發(fā)現(xiàn)。所以世界公認(rèn)這個(gè)定理是中國(guó)人高斯和歐拉發(fā)現(xiàn)。所以世界公認(rèn)這個(gè)定理是中國(guó)人最早發(fā)現(xiàn)的，特別稱之為最早發(fā)現(xiàn)的，特別稱之為“中國(guó)剩余定理中國(guó)剩余定理”（Chinese remainder theorem）。）。56 該該定理定理用現(xiàn)在的語言表達(dá)如下：用現(xiàn)在的語言表達(dá)如下： 設(shè)設(shè) 兩兩互素，設(shè)兩兩互素，設(shè) 分別被分別被 除所得的余數(shù)為除所得的余數(shù)為 ，則，則 可表示為下式可表示為下式 其中其中 是是 的最小公倍數(shù)；的最小公倍數(shù)； 是是 的公倍數(shù)，而且被的公倍數(shù)，而且被 除所得除所得余數(shù)為余數(shù)為1； 是

31、任意整數(shù)。是任意整數(shù)。 id12,nd dd12,nd dd12,nr rr1122nnxkrkrkrkD12,nd ddik111,iinddddDkxx57用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言可以表述如下：用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言可以表述如下：兩兩互素，則下列同余方程組兩兩互素，則下列同余方程組12,nd dd11211(mod)(mod)(mod)nxrdxrdxrd1122nnxkrkrkrkD設(shè)設(shè)的解為：其中其中 D 是是 的最小公倍數(shù)；的最小公倍數(shù)； 是是 的公倍數(shù)，而且被的公倍數(shù)，而且被 除所得余數(shù)為除所得余數(shù)為1； k是任意整數(shù)。是任意整數(shù)。12,nd ddik111,iinddddid58 要注意的是，

32、用上述定理時(shí)，要注意的是，用上述定理時(shí)， 必須兩兩互素。前面的問題中，必須兩兩互素。前面的問題中，3，5，7是兩是兩兩互素的，所以兩互素的，所以“三三數(shù)，五五數(shù)，七七數(shù)三三數(shù)，五五數(shù)，七七數(shù)”得得余數(shù)后可用此公式。但余數(shù)后可用此公式。但“四四數(shù)，六六數(shù)，九四四數(shù)，六六數(shù)，九九數(shù)九數(shù)”得余數(shù)后就不能用此公式，因?yàn)榈糜鄶?shù)后就不能用此公式，因?yàn)?、6、9并不是兩兩互素的。并不是兩兩互素的。12,nd dd59 “中國(guó)剩余定理中國(guó)剩余定理”不僅有光輝的歷史意義，直到現(xiàn)在不僅有光輝的歷史意義，直到現(xiàn)在還是一個(gè)非常重要的定理。還是一個(gè)非常重要的定理。1970年，年輕的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家年，年輕的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家尤里尤里

33、. .馬季亞謝維奇（）（）（28歲）解決了希歲）解決了希爾伯特提出的爾伯特提出的23個(gè)問題中的第個(gè)問題中的第10個(gè)問題，轟動(dòng)了世界數(shù)個(gè)問題，轟動(dòng)了世界數(shù)學(xué)界。他在解決這個(gè)問題時(shí)，用到的知識(shí)十分廣泛，而學(xué)界。他在解決這個(gè)問題時(shí)，用到的知識(shí)十分廣泛，而在一個(gè)關(guān)鍵的地方，就用到了我們的祖先一千多年前發(fā)在一個(gè)關(guān)鍵的地方，就用到了我們的祖先一千多年前發(fā)現(xiàn)的這個(gè)現(xiàn)的這個(gè)“中國(guó)剩余定理中國(guó)剩余定理”。60希爾伯特的第10個(gè)問題： 丟番圖方程的可解性 能求出一個(gè)整系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個(gè)丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯(lián)的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。 希爾伯特61四不定方程的求解四不定方程的求解定理二元一次不定方程axbyc( , ) |a bc00(,)xyaxbyc有整數(shù)解的充要條件是定理若二元一次不定方程有解假設(shè)( , )1a b 00(0, 1, 2, 3,)xxbttyyat 則的所有解為：axbyc621(mod)aapp-1若p是質(zhì)數(shù)，Z，則,(mod)ma bZa b