卡爾曼濾波簡介及其算法MATLAB實現(xiàn)代碼共19

1、為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器，這里會應用形象的描述方法來講解，而不是像大多數(shù)參考書那樣羅列一大堆的數(shù)學公式和數(shù)學符號。但是，他的5條公式是其核心內(nèi)容。結(jié)合現(xiàn)代的計算機，其實卡爾曼的程序相當?shù)暮唵危灰憷斫饬怂哪?條公式。在介紹他的5條公式之前，先讓我們來根據(jù)下面的例子一步一步的探索。假設(shè)我們要研究的對象是一個房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗判斷，這個房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)我們用一分鐘來做時間單位）。假設(shè)你對你的經(jīng)驗不是100%勺相信，可能會有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（WhiteGaussianNoise）,也就是這些偏差跟前后

2、時間是沒有關(guān)系的而且符合高斯分配（GaussianDistribution）。另外，我們在房間里放一個溫度計，但是這個溫度計也不準確的，測量值會比實際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。好了，現(xiàn)在對于莫一分鐘我們有兩個有關(guān)于該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗的預測值（系統(tǒng)的預測值）和溫度計的值（測量值）。下面我們要用這兩個值結(jié)合他們各自的噪聲來估算由房間的實際溫度值。假如我們要估算k時刻的是實際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時刻的溫度值，來預測k時刻的溫度。因為你相信溫度是恒定的，所以你會得到k時刻的溫度預測值是跟k-1時刻一樣的，假設(shè)是23度，同時該值的高斯噪聲的偏差是5度(5是這樣得到的：如果k

3、-1時刻估算由的最優(yōu)溫度值的偏差是3,你對自己預測的不確定度是4度，他們平方相加再開方，就是5)o然后，你從溫度計那里得到了k時刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值，分別是23度和25度。究竟實際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計呢？究竟相信誰多一點，我們可以用他們的covariance來判斷。因為KgA2=5A2/(5A2+4A2),所以Kg=0.78,我們可以估算由k時刻的實際溫度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度?？梢钥从?，因為溫度計的covariance比較小(比較相信溫度計)，所以估算生的最優(yōu)溫度值偏向溫度計的

4、值?，F(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進入k+1時刻，進行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒看到什么自回歸的東西由現(xiàn)。對了，在進入k+1時刻之前，我們還要算由k時刻那個最優(yōu)值(24.56度)的偏差。算法如下：(1-Kg)*5A2)A0.5=2.35。這里的5就是上面的k時亥ij你預測的那個23度溫度值的偏差， 得由的2.35就是進入k+1時刻以后k時刻估算由的最優(yōu)溫度值的偏差(對應于上面的3)。就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算由最優(yōu)的溫度值。他運行的很快，而且它只保留了上一時刻的covariance。上面的Kg,就是卡爾曼增益(KalmanGa

5、in)。他可以隨不同的時刻而改變他自己的值，是不是很神奇！下面就要言歸正傳，討論真正工程系統(tǒng)上的卡爾曼。3.卡爾曼濾波器算法(TheKalmanFilterAlgorithm)在這一部分，我們就來描述源于DrKalman的卡爾曼濾波器。下面的描述，會涉及一些基本的概念知識，包括概率(Probability),隨即變量(RandomVariable),高斯或正態(tài)分酉己(GaussianDistribution)還有State-spaceModel等等。但對于卡爾曼濾波器的詳細證明，這里不能一一描述。首先，我們先要引入一個離散控制過程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個線性隨機微分方程(LinearStocha

6、sticDifferenceequation)來fit述：X(k)=AX(k-1)+BU(k)+W(k)再加上系統(tǒng)的測量值：Z(k)=HX(k)+V(k)上兩式子中，X(k)是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U(k)是k時刻對系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對于多模型系統(tǒng)，他們?yōu)榫仃?。Z(k)是k時刻的測量值，H是測量系統(tǒng)的參數(shù)，對于多測量系統(tǒng)，H為矩陣。W(k)和V(k)分別表示過程和測量的噪聲。他們被假設(shè)成高斯白噪聲(WhiteGaussianNoise),他們的covariance分別是Q,R(這里我們假設(shè)他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化)。對于滿足上面的條件(線性隨機微分系統(tǒng)，過程和測量都是高斯白噪聲)，

7、卡爾曼濾波器是最優(yōu)的信息處理器。下面我們來用他們結(jié)合他們的covariances來估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸由(類似上一節(jié)那個溫度的例子)。首先我們要利用系統(tǒng)的過程模型，來預測下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k,根據(jù)系統(tǒng)的模型，可以基于系統(tǒng)的上一狀態(tài)而預測由現(xiàn)在狀態(tài)：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)(1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一狀態(tài)預測的結(jié)果，X(k-1|k-1)是上一狀態(tài)最優(yōu)的結(jié)果，U(k)為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量，如果沒有控制量，它可以為0。到現(xiàn)在為止，我們的系統(tǒng)結(jié)果已經(jīng)更新了，可是，對應于X(k|k-1)的covariance還沒更新。我們用P表示covarian

8、ce:P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A+Q(2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)對應的covariance,P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)對應的covariance,A表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過程的covariance。式子1,2就是卡爾曼濾波器5個公式當中的前兩個，也就是對系統(tǒng)的預測。現(xiàn)在我們有了現(xiàn)在狀態(tài)的預測結(jié)果，然后我們再收集現(xiàn)在狀態(tài)的測量值。結(jié)合預測值和測量值，我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)(k)的最優(yōu)化估算值X(k|k):X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1)(3)其中Kg為卡爾曼增益(KalmanGain):Kg(k)=

9、P(k|k-1)H/(HP(k|k-1)H+R)(4)到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)得到了k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k)但是為了要另卡爾曼濾波器不斷的運行下去直到系統(tǒng)過程結(jié)束，我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k)的covariance:P(k|k)=(I-Kg(k)H)P(k|k-1)(5)其中I為1的矩陣，對于單模型單測量，1=1。當系統(tǒng)進入k+1狀態(tài)時，P(k|k)就是式子的P(k-1|k-1)o這樣，算法就可以自回歸的運算下去?？柭鼮V波器的原理基本描述了，式子1,2,3,4和5就是他的5個基本公式。根據(jù)這5個公式，可以很容易的實現(xiàn)計算機的程序。下面，我會用程序舉一個實際運行的例子。4.簡單例子(A

10、SimpleExample)這里我們結(jié)合第二第三節(jié)，舉一個非常簡單的例子來說明卡爾曼濾波器的工作過程。所舉的例子是進一步描述第二節(jié)的例子，而且還會配以程序模擬結(jié)果。根據(jù)第二節(jié)的描述，把房間看成一個系統(tǒng)，然后對這個系統(tǒng)建模。當然，我們見的模型不需要非常地精確。我們所知道的這個房間的溫度是跟前一時刻的溫度相同的，所以A=1沒有控制量，所以U(k)=0o因此得由:X(k|k-1)=X(k-1|k-1)(6)式子(2)可以改成：P(k|k-1)=P(k-1|k-1)+Q(7)因為測量的值是溫度計的，跟溫度直接對應，所以H=1O式子3,4,5可以改成以下：X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(

11、k)-X(k|k-1)(8)Kg(k)=P(k|k-1)/(P(k|k-1)+R)(9)P(k|k)=(1-Kg(k)P(k|k-1)(10)現(xiàn)在我們模擬一組測量值作為輸入。假設(shè)房間的真實溫度為25度，我模擬了200個測量值，這些測量值的平均值為25度，但是加入了標準偏差為幾度的高斯白噪聲(在圖中為藍線)。為了令卡爾曼濾波器開始工作，我們需要告訴卡爾曼兩個零時刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)o他們的值不用太在意，隨便給一個就可以了，因為隨著卡爾曼的工作，X會逐漸的收斂。但是對于P,一般不要取0,因為這樣可能會令卡爾曼完全相信你給定的X(0|0)是系統(tǒng)最優(yōu)的，從而使算法不能收斂。我選了X

12、(0|0)=1度，P(0|0)=10O該系統(tǒng)的真實溫度為25度，圖中用黑線表示。圖中紅線是卡爾曼濾波器輸生的最優(yōu)化結(jié)果(該結(jié)果在算法中設(shè)置了Q=1e-6,R=1e-1)。最佳線性濾波理論起源于40年代美國科學家Wiener和前蘇聯(lián)科學家KojiMoropoB等人的研究工作，后人統(tǒng)稱為維納濾波理論。從理論上說，維納濾波的最大缺點是必須用到無限過去的數(shù)據(jù)，不適用于實時處理。為了克服這一缺點，60年代Kalman把狀態(tài)空間模型引入濾波理論，并導出了一套遞推估計算法，后人稱之為卡爾曼濾波理論?？柭鼮V波是以最小均方誤差為估計的最佳準則，來尋求一套遞推估計的算法，其基本思想是：采用信號與噪聲的狀態(tài)空間模

13、型，利用前一時刻地估計值和現(xiàn)時刻的觀測值來更新對狀態(tài)變量的估計，求出現(xiàn)時刻的估計值。它適合于實時處理和計算機運算?，F(xiàn)設(shè)線性時變系統(tǒng)的離散狀態(tài)防城和觀測方程為：X(k)=F(k,k-1)-X(k-1)+T(k,k-1)-U(k-1)Y(k)=H(k)X(k)+N(k)其中X(k)和Y(k)分別是k時刻的狀態(tài)矢量和觀測矢量F(k,k-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣U(k)為k時刻動態(tài)噪聲T(k,k-1)為系統(tǒng)控制矩陣H(k)為k時刻觀測矩陣N(k)為k時刻觀測噪聲則卡爾曼濾波的算法流程為：預估計X(k)A=F(k,k-1)-X(k-1)1.計算預估計協(xié)方差矩陣C(k)A=F(k,k-1)xC(k)XF(k,k

14、-1)+T(k,k-1)xQ(k)XT(k,k-1)Q(k)=U(k)xU(k)2.計算卡爾曼增益矩陣K(k)=C(k)AxH(k)xH(k)xC(kxH(k)+R(k)A(-1)R(k)=N(k)xN(k)3 .更新估計X(k)=X(k)A+K(k)xY(k)-H(k)xX(k4.計算更新后估計協(xié)防差矩陣C(k)=I-K(k)xH(k)xC(k)AxI-K(k)xH(k)+K(k)xR(k)xK(k)5 .X(k+1)=X(k)-C(k+1)=C(k)重復以上步驟1應用實例一個簡單的應用是估計物體的位置和速度；簡要描述如下：假設(shè)我們可以獲取一個物體的包含噪聲的一系列位置觀測數(shù)據(jù)，我們可以獲得

15、此物體的精確速度和位置連續(xù)更新信息。例如，對于雷達來說，我們關(guān)心的是跟蹤目標，而目標的位置，速度，加速度的測量值是時刻含有誤差的，卡爾曼濾波器利用目標的動態(tài)信息，去掉噪聲影響，獲取目標此刻好的位置估計(濾波)，將來位置估計(預測)，也可以是過去位置估計的(插值或平滑)2命名和發(fā)展歷史這個濾波器以它的發(fā)明者Rudolf.E.Kalman而命名，但是在Kanlman之前，ThorvaldNicolaiThiele和PeterSwerling已經(jīng)提出了類似的算法。StanleySchmidt首次實現(xiàn)了Kalman濾波器。在一次對NASAAmesResearchCenter訪問中，卡爾曼發(fā)現(xiàn)他的方法對

16、于解決阿波羅計劃的軌跡預測很有用，后來阿波羅飛船導航電腦就使用了這種濾波器。這個濾波器可以追溯到Swerling(1958),Kalman(1960),Kalman和Bucy(1961)發(fā)表的論文。這個濾波器有時叫做Stratonovich-Kalman-Bucy濾波器。因為更為一般的非線性濾波器最初由RuslanL.Stratonovich發(fā)明，而Stratonovich-Kalman-Bucy濾波器只是非線性濾波器的一個特例。事實上，1960年夏季，Kalman和Stratonovich在一個Moscow召開的會議中相遇，而作為非線性特例的線性濾波方程，早已經(jīng)由Stratonovich在此

17、以前發(fā)表了。在控制領(lǐng)域，Kalman濾波被稱為線性二次型估計，目前，卡爾曼濾波已經(jīng)有很多不同的實現(xiàn)，有施密特擴展濾波器、信息濾波器以及一系列的Bierman和Thornton發(fā)明的平方根濾波器等，而卡爾曼最初提出的形式現(xiàn)在稱為簡單卡爾曼濾波器。也許最常見的卡爾曼濾波器應用是鎖相環(huán)，它在收音機、計算機和幾乎全部視頻或通訊設(shè)備中廣泛存在。3基本動態(tài)系統(tǒng)模型Kalman濾波基于時域描述的線性動態(tài)系統(tǒng)，它的模型是MarkovChain,而MarkovChain建立在一個被高斯噪聲干擾的線性算子之上。系統(tǒng)的狀態(tài)可以用一個元素為實數(shù)的向量表示。隨著離散時間的增加，這個線性算子就會作用到當前狀態(tài)之上，產(chǎn)生一

18、個新的狀態(tài)，并且會帶入一定的噪聲，同時一些已知的控制信息也會加入。同時另外一個受噪聲干擾的線性算子將產(chǎn)生這些隱含狀態(tài)的可見輸出。Kalman濾波可以被看作為類似隱馬爾科夫模型，它們的顯著不同點在于：隱狀態(tài)變量的取值空間是一個連續(xù)的空間，而離散狀態(tài)空間則不是；另為，隱馬爾科夫模型可以描述下一個狀態(tài)的一個任意分布，這也與應用于Kalman濾波器中的高斯噪聲模型相反。Kalman濾波器方程和隱馬爾科夫方程之間有很大的二重性，關(guān)于Kalman濾波方程和隱馬爾科夫方程之間二重性參看RoweisandGhahramani(1999)4。為了從一系列的噪聲觀測中，應用Kalman濾波估計觀測過程的內(nèi)部狀態(tài)。

19、我們必須把這個過程在Kalman濾波器的框架下建立模型，這就意味著，對于每一步k我們要定義矩陣耳、”、反、玲、&如下：KalmanFilter假設(shè)k時刻的真實狀態(tài)是從k-1時刻演化而來，符合下式X*-3勺 T+B逑*+卬這里耳是作用在前一狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型（狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣）凡是作用在控制向量上的控制輸入模型（輸入輸出矩陣）叫是過程噪聲，假設(shè)是均值為0的白噪聲，協(xié)方差為a則：坐必）在k時刻，假設(shè)真實狀態(tài)看的觀測，說滿足如下公式：其中打,是觀測模型（觀測矩陣），它把真實狀態(tài)映射到觀測空間，也是觀測噪聲，假設(shè)它是均值是0,方差是段的高斯白噪聲：號）KalmanFilter基本動態(tài)系統(tǒng)模型如圖（

20、1）所示，圓圈代表向量，方塊代表矩陣，星號代表高斯噪聲，其協(xié)方差在右下方標出。初始狀態(tài)以及每一時刻的噪聲向量x0,w1,.,wk,v1.vk）者B為認為是互相獨立的。實際中，真實世界中動態(tài)系統(tǒng)并不是嚴格的符合此模型。但是Kalman模型是設(shè)計在噪聲過程工作的，一個近似的符合已經(jīng)可以使這個濾波器非常有用了，更多復雜模型關(guān)于KalmanFilter模型的變種，將在下述中討論：圖4卡爾曼濾波器KalmanFilter是一個遞歸的估計，即只要獲知上一時刻的狀態(tài)估計和當前狀態(tài)的觀測就可以計算出當前狀態(tài)的估計，不同于其他的估計技術(shù)，Kalman濾波器不需要觀測或/和估計的歷史記錄，KalmanFilter

21、是一個純粹的時域濾波器， 而不像低通濾波器等頻域濾波器那樣，需要在頻域中設(shè)計，然后轉(zhuǎn)換到時域中應用。下面，鼻濯代表已知從m到n-1包括m時刻的觀測在n時刻的估計值卡爾曼濾波器的狀態(tài)由以下兩個變量表示：工砒已知k時刻以前時刻觀測值，k時刻的狀態(tài)估計值舄乩誤差協(xié)方差矩陣，度量狀態(tài)估計的精度程度Kalman濾波包括兩個階段：預測和更新；在估計階段，濾波器應用上一狀態(tài)的估計做出對當前狀態(tài)的估計。在更新階段，濾波器利用在當前狀態(tài)的觀測值優(yōu)化預測階段的預測值，以獲的一個更精確的當前狀態(tài)的估計。4.1預測狀態(tài)預測：估計協(xié)方差預測：4.2更新新息或測量余量新息協(xié)方差Kalman增益狀態(tài)估計更新狀態(tài)協(xié)方差更新使

22、用上述公式計算與工僅在最優(yōu)卡爾曼增益的時候有效。使用其他增益公式要復雜一些，看見推導4.3不變量如果模型準確，。和顯值將準確反映最初狀態(tài)的分布，那么下面所有不變量保持不變，所有估計的誤差均值為0:這里耳目表示點的期望，而協(xié)方差矩陣則反映的估計的協(xié)方差5實例考慮在一個無摩擦、無限長的直軌道上的一輛小車，它的初始位置在0點，但是它會隨機的受到?jīng)_擊作用，我們每隔測量一次小車的位置，但是這些測量數(shù)據(jù)不是很精確。我們想建立一個關(guān)于小車位置和速度的模型，這里我們描述如何建立這個模型，以及從這個模型出發(fā)如何推導出Kalman濾波器。因為小車沒有控制輸入，我們可以忽略”和成。由于F,H,R和Q全是恒值，我們可

23、以忽略時間下標。小車的位置和速度用線性空間可以描述如下：這里元表示速度，也就是位置對時間的微分。我們假設(shè)在時間間隔k-1和k之間，小車受到一個恒定的沖擊外卜服從均值為0,方差為%的正態(tài)分布，根據(jù)Newton動力學方程，可得到：其中我們發(fā)現(xiàn)：05%二現(xiàn) 9 以%力二四四二市在每一時刻，我們獲取真實位置的.我們假設(shè)噪聲服噪聲干擾測量，假設(shè)測量噪聲服從均值為0,標準差為名正態(tài)分布。%=五/+為其中H=10,汽=印加=【/我們可以得到足夠精度的初始狀態(tài)數(shù)據(jù)，所以我們可以初始化001%一0u如果初始位置和速度不是精確的知道，那么協(xié)方差矩陣應該初始化為一個對角線元素B為適當大小的矩陣如下:這樣與模型中已有

24、信息相比，濾波器更趨向于使用首次的測量數(shù)據(jù)信息推導$Zeroth后驗估計協(xié)方差矩陣推導首先開始不變量后驗估計協(xié)方差矩陣飛的推導：%=匚4/一詞帶入品產(chǎn)隔修+/以互+也-/,)整理誤差向量可得，品產(chǎn)co-唳)由于誤差向量與其他不相關(guān)，所以禺-一T一,丁加二貝。-鐮公(-4)+旦匚。貝應：使用不變量Pk|k-i此公式(Josephform)對任意增益Kk的都成立，如果Kk最優(yōu)卡爾曼增益,則可以進一步簡化，見下文$ZerothKalman增益推導Kalman濾波器是一個最小均方誤差估計器，先驗狀態(tài)誤差估計可表示為箍定義，可得昂廣匚。貝甌 Y 郴 T 十“跖)代入網(wǎng)可得%=C。節(jié)-0r*”】+勺&am

25、p;一過總、吠1)代入4可得國二/4)(4-41)+8貝勺)由協(xié)方差矩陣性質(zhì)則以及Rk的定義這一項可以寫作%一%我們最小化這個矢量幅度平方的期望值譏忖一事4,這等價于最小化后驗估計協(xié)方差矩陣舄孔的跡，通過展開合并與幾公式，可得二%。/&T-2 國+與與發(fā)從這個式子解出Kalman增益反/二耳這個增益就是最優(yōu)Kalman增益， 應用它可以得到最小均方誤差$Zeroth后驗誤差協(xié)方差矩陣簡化當應用上述最優(yōu)Kalman增益時，后驗誤差協(xié)方差可以得到簡化，在最優(yōu)Kalman增益兩邊同時乘以與螳，可得“媒二馬”】田咫，參見后驗誤差協(xié)方差公式展開場二與3】一/小弓2一為用+勺“蝮,帶入上式，可得:

26、Y=幾=這個公式的計算比較簡單，所以實際中總是使用這個公式，但是需注意這公式僅在最優(yōu)卡爾曼增益時它才成立。如果算術(shù)精度總是很低而導致數(shù)值穩(wěn)定性出現(xiàn)問題，或者特意使用非最優(yōu)卡爾曼增益，那么就不能使用這個簡化；必須使用上面導出的后驗誤差協(xié)方差公式。7信息濾波在信息濾波器（逆方差濾波器）中，協(xié)方差估計和狀態(tài)估計將會被信息矩陣和信息向量所取代，它們的定義如下：類似的預測協(xié)方差和預測狀態(tài)也有等價的信息形式，定義如下：同樣測量協(xié)方差和測量向量定義為：弓 a-舄小邸蝗+凡以弘低+&）媒當矩陣導數(shù)為0時，矩陣的跡取最小值,信息更新現(xiàn)在變成一個加和形式:信息濾波器的主要優(yōu)點在于N和測量數(shù)據(jù)都可以用于濾波，簡單的通過信息矩陣和信息向量的加和。為了預測信息濾波器，信息矩陣和信息向量必須變換到它們的等價狀態(tài)空間，或者應用下述信息空間更新：這里F和Q必須可逆。8非線性濾波器擴展Kalman濾波估計過程如以上所述，卡爾曼濾波器估計一個線性隨機差分方程描述的離散時間過程的狀態(tài)變量，但是如果被估計的過程和(或)觀測變量與過程的關(guān)系不時線性關(guān)系。那該如何處理呢？一些很有趣和成功的