橢圓知識點總結(jié)

1、橢圓知識點知識要點小結(jié)：知識點一：橢圓的定義F1F2) ,這個動點P的軌跡叫橢圓.這兩個平面內(nèi)一個動點P到兩個定點F1、f2的距離之和等于常數(shù)(PF1 PF2 2a定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距注意：若(PF1若(PF1),則動點P的軌跡為線段F1F2 ;PF2),則動點PF2P的軌跡無圖形.知識點二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1 .當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:2x-2a2<1 (a b 0),其中 b22.2a b2 .當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:2 y -2 a2x .1 (a b 0),其中 b22 2、一 ，一一,a b ；注意：1.只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱

2、軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時,才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;3 .在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有 (a0)和 c2a2 b2；3.橢圓的焦點總在長軸上當(dāng)焦點在X軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為(c,0)，( c,0)；當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為(0,c), (0, c)知識點三:橢圓的簡單幾何性質(zhì)2. x橢圓：x2 a0)的簡單幾何性質(zhì)(1)對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程2 x 2 a2 y b21 (a b 0)：說明：把x換成x、或把y換成 y、或把x、y同時換成y、原方程都不變，所以橢圓2 x ""2 a2 y b21是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對

3、稱圖形,這個對稱中心稱為橢圓的中心。(2)范圍:橢圓上所有的點都位于直線xb所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標(biāo)滿足(3)頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。22x y橢圓 七 1 (a b0)與坐標(biāo)軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標(biāo)分別為a2 b2A( a,0), A2(a,0),B1(0, b), B2(0,b)線段AA2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸,A1A22a, B1B22b o a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率:2c c橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作e 2a a因為（a c 0）,所以e的取值范圍是（022e 1） o e

4、越接近1,則c波越接近a ,從而b <a c 越小，因此橢圓當(dāng)且僅當(dāng)a b時，c 0,這時兩個焦越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,從而b越接近于a ,這時橢圓就越接近于圓點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為a 。注意:2 x 橢圓12a2y i的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（ b2i)(PFi I PF2 I 2a)；PFiPF2PMiPM 2e;(PMiPM2宜);c(2)(BFi I |BF2 I a)； (|OFi | OF2 | c); AB(3)AiFiA2F2 I a c； AF2A2Fia c； a c PFi222知識點四：橢圓、-y- i與2 222a ba2xf i

5、 (a b 0)的區(qū)別和聯(lián)系b2標(biāo)準(zhǔn)方程圖形222 1y2i (a b 0)a b22y2； i (a b 0)a b性質(zhì)隹巨 八八八、Fi( c,0), F2(c,0)Fi(0, c), F2(0,c)1焦距F1F22c| F1F22c范圍xa，| y b| x | b, y a對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點(a,0), (0, b)(0, a), ( b,0)軸長長軸長=2a,短軸長=2b離心率ce -(0 e 1) a準(zhǔn)線方程2 ax c2 a yc焦半徑PF1a e%, PF2 a e%PF1I a ey(0, PF2 a ey2注意：橢圓三a2 y b22y2a2x ,-7 1

6、(a b 0)的相同點：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有 b2(a b 0)一 c和 e (0 ea1)b2C2 ；不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標(biāo)也不相同。規(guī)律方法:何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？任何橢圓都有一個對稱中心,兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時，橢圓焦點在坐標(biāo)軸上。確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：兩個定形條件a,b; 一個定位條件焦點坐標(biāo)，由焦點坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2 .橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a, b, c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a,b,c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別

7、表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長,均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為:(a b 0),一 一 22(a c 0),且(a bc2)。可借助右圖理解記憶:顯然：a,b,c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3 .如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是:看x2, y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上。224 .方程Ax2 By2 C(A,B,C均不為零)是表示橢圓的條件2 2方程Ax2 By2 C可化為A- 竺-1,2 即上CABy 1,所以只有A、B、C同號，且A B時，方程表CBC C本橢圓。當(dāng) 時

8、，橢圓的焦點在A B5 .求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：x軸上；當(dāng)CA待定系數(shù)法:CB時，橢圓的焦點在 y軸上。由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出6 .共焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上匕4三=1 (anb)U)動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。M招的差異2共焦點，則c相同。與橢圓x1 a22V , xyy 1 (a b 0)共焦點的橢圓方程可設(shè)為F-ba2-2y一 1 (mb2),b m此類問題常用待定系數(shù)法求解。7 .判斷曲線關(guān)于X軸、 若把曲線方程中的y軸、 x換

9、成若把曲線方程中的y換成原點對稱的依據(jù)：x ,方程不變，則曲線關(guān)于 y軸對稱;y ,方程不變，則曲線關(guān)于 x軸對稱;若把曲線方程中的x、y同時換成 x、y ,方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。8 .如何求解與焦點三角形 PEF2 (P為橢圓上的點)有關(guān)的計算問題？思路分析：與焦點三角形 PEF2有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理(或勾股定理)、三角形面積公式SPF1F21-|PF1| |PF2| sin F1PF2相結(jié)合的萬法進(jìn)行計算解題。將有關(guān)線段| PFi、PF2、FR ,有關(guān)角 F1PF2 (F1PF2F1BF2)結(jié)合起來,建立PFiPF2、PF1 PF2之間的關(guān)系.9.如何計

10、算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系?2,2a bc2長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率e (0 e 1),因為c2a表示為 e 11 (b)2(0 e 1)。 a顯然：當(dāng)b越小時，e(0 e 1)越大，橢圓形越扁；當(dāng) -越大，e(0 e 1)越小，橢圓形狀越趨近于圓。 aa(一)$3 橢圓及其性質(zhì)1、橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點 F1, F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1 F2| )的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫橢圓的焦 點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。(2) 一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(0,1)內(nèi)常數(shù)e,那么這個點的軌跡叫做橢圓.其中定點叫做焦點，定直

11、線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)e就是離心率.2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x acos 、，/ “3、橢圓的參數(shù)萬程(為參數(shù))(b)2. 0 e 1. ay bsin4、離心率：橢圓焦距與長軸長之比.e - a橢圓的準(zhǔn)線方程22左準(zhǔn)線11 : x 右準(zhǔn)線l2 : x cc(二)、橢圓的焦半徑橢圓的焦半徑公式：(左焦半徑)r1 a exo(右焦半徑)r2 a ex0其中e是離心率+焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式：MF1 a ey0,(其中F1,F2分別是橢圓的下上焦點)*MF2 a eyo一(二)，一 土直線與橢圓問題(韋達(dá)定理的運用)1、弦長公式：若直線1:y kx b與圓錐曲線相交與 A、B兩點，A (x1, y1)

12、, B(x2, y2)則弦長 ABJ(x1x2)2(y1y2)2J(x1x2)2(kx1kx2)2<1k2|x1x21 k2 ,(x1 x2)2 4x1x2例1.已知橢圓求實數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線的方程。及直線y=x+mi (1)當(dāng)直線和橢圓有公共點時,222、已知弦AB的中點，研究 AB的斜率和方程 AB是橢圓，+點=1(a>b>0)的一條弦，中點 M坐標(biāo)為(X。yi)， b2X°則AB的斜率為-荻回點差法求AB的斜率，設(shè)心1B(X2, y2). A B都在橢圓上，2X1牙+2X2-2 + a2J匚1b2 1兩式相減得X12 X222

13、+a2yi y2b22-=°,X1 X2X1 + X22ay1-y2y+y2.b即g2X1 X2b2 X1 + X2a2 y1 + y2b2X0ay.故 kAB=b2X° a2y°例、過橢圓2X162、一1內(nèi)一點M (2,1)引一條弦, 4使弦被 M點平分，求這條弦所在直線的方程。(四)、5四種題型與三種方法22四種題型1:已知橢圓C：二25有一點A(2,1),F是橢圓C的左焦點，P為橢圓C上的動點，求| PAI +"PF |的最小值2 X2:已知橢圓25PA| + | PF的最大值與2y 1內(nèi)有一點A (2, 1) , F為橢圓的左焦點，P是橢圓上動點

14、，求|16最小值。3:已知橢圓2x252y 1外一點A(5, 6) , l為橢圓的左準(zhǔn)線,163 .P為橢圓上動點，點P到l的距離為d,求|PA+ d5的最小值。4：定長為d( d2b2)的線段 a2 x AB的兩個端點分別在橢圓 a2y2 1(a b 0)上移動，求AB的中點M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離。三種方法1：橢圓2y,F 1的切線與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點， 求三角形OAB的最小面積。b2x22:已知橢圓 一121和直線l:x-y+9=0,在l上取一點M,經(jīng)過點M且以橢圓的焦點Fi,F2為焦點作橢圓，求 M在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程3：過橢圓2x2y2 2的焦點的直線交

15、橢圓 A,B兩點，求 AOB面積的最大值2課后同步練習(xí)221.橢圓：x_ _y 1的焦點坐標(biāo)是 ,離心率是,準(zhǔn)線方程是.25 169)A222.已知Fl、F2是橢圓、1的兩個焦點，過 Fl的直線與橢圓交于 M N兩點，則 MNF的周長為( 169B. 16 C . 25 D .32225,則P到另一個焦點的距離為( )D. . 313.橢圓：x_y 1上一點P到一個焦點的距離為259A.5B.6C.4D.10224 .已知橢圓方程為 匕 1,那么它的焦距是2011A.6B.3C.3, 31k的取值范圍是5 .如果方程x2ky22表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)A. (0, +8)B.(0,2)

16、C.(1,+8)d.(0,1)6 .設(shè)Fi,F2為定點，| FiF2|=6 ,動點吊滿足| MFi | | MF2 | 6 ,則動點M的軌跡是()A.橢圓 B. 直線 C. 圓 D. 線段 227 .已知方程 4 + =1,表示焦點在y軸上的橢圓，則 m的取值范圍為 m 12 m5 38.已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)是F (-2 , 0) , F2 (2, 0),并且經(jīng)過點P(-,).則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是2 2229.過點A (-1 , -2 )且與橢圓 、一1的兩個焦點相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是 .6910.過點P ( J3 , -2 ), Q (-2 J3 , 1)兩點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是.22.11 .若橢

17、圓 二 上1的離心率是工，則k的值等于k 8 9212 .已知 ABC的頂點B、C在橢圓x2+ y2=1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則32213.F1、F2分別為橢圓。+。=1的左、右焦點，點a b2214.設(shè)M是橢圓 匕1上一點，F(xiàn)i、F2為焦點，25 16 ABC的周長是 P在橢圓上， POF是面積為J3的正三角形，則 b2的值是F1MF2 £，貝U S MF1F2 6115 .在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為J2 ,、21(A)2(B)2(C)2_、9、A(x1, y1工 B(4, - ), C(x2, y2 )16 .設(shè)5是右焦點為F的橢圓焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 1,則該橢圓的離心率為_2(D)422上L 125 9上三個不同的點，則“ AF , BF , CF成等差(B)必要不充分條件(D)既非充分也非必要數(shù)列”是“ x1 X