第五章5.2.1三角函數(shù)的概念

1、§5.2三角函數(shù)的概念5. 2.1三角函數(shù)的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解三角函數(shù)的概念，會(huì)求給定角的三角函數(shù)值2掌握任意角三角函數(shù)在各象 限的符號(hào).3.掌握三角函數(shù)誘導(dǎo)公式一并會(huì)應(yīng)用.知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)底礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一 任意角的三角函數(shù)的定義條件如圖，設(shè)a是一個(gè)任意角， a£R，它的終邊0尸與單位圓 交于點(diǎn)尸(X, >')1定義正弦點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v叫做a的正弦函數(shù)，記作sin a, 即 y=sin a余弦點(diǎn)P的橫坐標(biāo)X叫做a的余弦函數(shù)，記作cos a, 即 x=cos a正切點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值5叫做a的正切， 記作 tan a,即：=tan a(xMO)三角函

2、數(shù)正弦函數(shù)、=$mxER余弦函數(shù)3=85刀，x£R正切函數(shù)丁=111工，kGZ思考 三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P在角a終邊上位置是否有關(guān)？ 答案 三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的大小與點(diǎn)尸在終邊上的位置無關(guān)，只與角a的 終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).知識(shí)點(diǎn)二正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)2. 口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.知識(shí)點(diǎn)三公式一終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等. 即(sin(a + 2k7i)=sin a,cos(a+2kn)=cos a,tan(a+2%r)=tan a, 其中kCZ.思考辨析判斷正誤1 . sin a表示sin與a的乘積.(

3、X )2 .設(shè)角a終邊上的點(diǎn)Px, y) ,二IOPIKO，則sin a 且y越大，sin a的值越大.(X3 .終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.(V )4 .終邊落在.、軸上的角的正切函數(shù)值為0.( X )題型探究探究重點(diǎn)提升索養(yǎng)N一、三角函數(shù)的定義及應(yīng)用例1 (1)已知角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為"1,)(v<0),則 tan a=.竺總 -口汆 3解析 因?yàn)辄c(diǎn), y)(.y<0)在單位圓上，9貝！J豆十產(chǎn)工1 , 44所以)'二" 5 r 所以 tan a =-y(2)(多選)若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x, -3)且sin a=一條麗，則x的值為()A

4、. ->/3 B. -1 C. 1 D小答案BC 解析IOPI=十九解得= 1 1 /.A = ±l.延伸探究在本例中，將“sin a二-余畫"改為“cos a=一求工的值.解iopi二q爐十9,x x yi5.COsa = = -j= - w ,解得工2 = 1 ,又 XV。/ Ax= - 1.(學(xué)生)反思感悟利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值有以下幾種情況若已知角，則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出各三角函數(shù)值.若已知角a終邊上一點(diǎn)P(x , y)(xX0)是單位圓上一點(diǎn),貝11 sin a=y , cos a=x , tan a二£

5、人若已知角a終邊上一點(diǎn)P(x ,刃不是單位圓上一點(diǎn)，則先求,二行五，再求sin a二%,X cos a =".(4)若已知角a終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，則需進(jìn)行分類討論.跟蹤訓(xùn)練1角。的終邊落在直線y=2r上，求sin。cos 8的值.解 方法一 設(shè)角6的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x , y),矩或25 I1 5 '即點(diǎn)尸坐標(biāo)為償，手)或(-雪，-釣，當(dāng)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(坐,平)時(shí)，sin 6二手,cos 6二里，當(dāng)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(-坐，-羋)時(shí)，sin”-平，cos 6 二-方法二 若。的終邊在第一象限內(nèi)，設(shè)點(diǎn)尸3,20(>0)是其終邊上任意一點(diǎn)，因?yàn)?r = 0P =+ 4a2 =

6、 y(5a t所以加噎琴 cos”：端等.若8的終邊在第三象限內(nèi)， 設(shè)點(diǎn)尸32,)(“<0)是其終邊上任意一點(diǎn)，因?yàn)?二 0P = yja2 + 4a2 = - y5a(a<0),所以前6 =<親=一乎，八X 44cos 6 二一二-=-三-曲5二、三角函數(shù)值符號(hào)的應(yīng)用COS O例2 若sin atan a<0,且高匕<0,則角。是()Idll UA.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D,第四象限角答案C解析 由sin atan a<0可知sin a , tan a異號(hào)，從而a是第二或第三象限角.cos a由前7產(chǎn)°可知cos G，tan a異

7、號(hào)，從而a是第三或第四象限角綜上可知，a是第三象限角.(2)(多選)下列選項(xiàng)中，符號(hào)為負(fù)的是()A. sin(-100°)B. cos(-220°)C.110D. cos n答案ABD解析 -100°在第三象限,故sin( - 100°)<0 ； - 220。在第二象限,故cos( - 220°)<0 ；在第三象限,故 tan 10>0 , cos n= - l<0.反思感悟判斷三角函數(shù)值符號(hào)的兩個(gè)步驟(1)定象限：確定角a所在的象限.(2)定符號(hào)：利用三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”來判斷.跟

8、蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)尸(由】原85團(tuán)在第三象限，則角a的終邊在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案C解析二點(diǎn)P(sin a , cos a)在第三象限，sin a<0 ,-V為第三象限角.cos a<0 ,三、公式一的簡單應(yīng)用例3計(jì)算下列各式的值：(l)sin(-l 395°)cos 1 1100+cos(-l 0200)sin 7500；(2)sin(4，)+cos ¥an4兀.解 (1)原式=sin( - 4X3600 + 45°)cos(3 X 360° + 30°) + cos( - 3X3600 + 60&#

9、176;)sin(2X3600 +30°)=sin 45°cos 300 + cos 60°sin 300"222 2 4 十4 -,、( 叫 /2哈7T 27r1(2)原式= sin - 2n + + cos2tt + -yJtan(47r + 0) = sin § 十 cos 亍X0 = ?.反思感悟利用誘導(dǎo)公式一進(jìn)行化簡求值的步驟定形：將已知的任意角寫成2E + a的形式,其中a£0,2W , kZ.轉(zhuǎn)化：根據(jù)謊導(dǎo)公式一，轉(zhuǎn)化為求角a的某個(gè)三角函數(shù)值.求值：若角為特殊角,可直接求出該角的三角函數(shù)值.跟蹤訓(xùn)練3計(jì)算下列各式的值：(

10、l)tan 4050-sin 450°+cos 7500：.25兀(15叫(2)sin -+tanl“J.解 (1)原式二 tan(360° + 45°) - sin(360° + 90°) + cos(2 X 360° + 30°) =tan 450 - sin 900 + cos 30°隨堂演練縣用鞏固學(xué)以致用5121 .已知sin a=a，cos。=一伺，則角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是（A©，T）B.（V，答案D解析 設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為P（x , y）,512則 y = sin a =百，x = cos

11、 a = - f.,.點(diǎn)p（韋，部2 .已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（-4.3）,則cos a等于（）A1 B.| C. D.答案D解析 設(shè)點(diǎn)4,3）,貝！Ji。*二,析4/+32 = 5 ,. 一4 4as。=兩二 -5-3.（多選）若 sinC cosGO,則 8在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案AC解析因?yàn)閟in 6 cos 3>0 ,所以 sin 0<0 , cos 6<0 或 sin &>0 , cos ,所以。在第一象限或第三象限.、3. 25ti .(17兀9兀4. 計(jì)臬 sin - 4-cosl丁 | + tan 彳=答案2解析

12、原式二sin(4兀+ 1) + cos( - 6兀+ tan(27r + 余).7T兀71=sin 不 + cos j + tan1 1 t=2+2+1=2.5.已知角a的終邊過點(diǎn)P(-34,4“)(W0), 答案1或一 1解析 因?yàn)槎?y/( - 3a)2 + (4a)2 = 5k/l r若a>Q，則r = 5，角a在第二象限.V 4a 4x 343sina-；-5</-5，cosa-；- “ - - 5，8 3所以 2sin a+ cos a二q -不二 L若</<0，則r = - 5"，角a在第四象限，4。4-3。3sin a -, cos a -545

13、-5a 58 3 所以2sin a+cos a二-彳十,二-1.課堂小結(jié)-1 .知識(shí)清單：三角函數(shù)的定義及求法.三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào).則 2sin ct+cos a=公式一.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論.3.常見誤區(qū)：三角函數(shù)值的大小只與角的大小有關(guān)，與終邊上的點(diǎn)無關(guān)；正切函數(shù)的定義域 為 x x + kn , kGZ .課時(shí)對點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)N“基礎(chǔ)鞏固1 .點(diǎn)A（x, y）是60。角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則的值為（） 人A.5 B.一小 C.W D.一坐 JJ答案A解析 由三角函數(shù)定義處二tan 60。二正.2 .代數(shù)式 sin（-330°）cos 390。的值為（

14、）A. B,乎 C. -| D.1答案B解析 由疏導(dǎo)公式-可得，sin（ - 330°）cos 390° = sin 30° X cos 30。近.近2 2 - 413 .若cosa=乎,且角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（x,2）,則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)不是（）A. 2小 B. ±2小 C. 一2m D. 一2小答案D解析 因?yàn)閏os a=-當(dāng)<0 ,所以A<0 , 又二占有，由題意得二-坐，所以x= -2p4 .（多選）下列三角函數(shù)值的符號(hào)判斷正確的是（）B. sin 5000>0n 53兀八D. tan -7y>0A. cos( 280°

15、;)<0C. tan(一引>0答案BCD角星析 cos( - 280°) = cos( - 360° + 80°) = cos 80°>0 ； sin 5000 = sin(360°+ 140°) = sin 140° , 90°<140°<180c r /. sin 140°>0 ；（兀，翔tan(一用= tan( - 2冗 十 = tan y , yG53 tan不兀二 tan(4?r 十 = tan ,患 £(0 , I , /. tan 招

16、>0.5.己知 sin Wos 6<0,且lcosQ=cos6,則角 6是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案D 解析 Vsin 0cos 6<0 , Asin 6 , cos 3 是一正一負(fù), 又Icos 例= cos 6 ,，cos 820 ,綜上有 sin 8<0 , cos GO ,即8為第四象限角.6.已知角a終邊與單位圓交于點(diǎn)一坐，y則cosa=, sin竺案一出 J解析點(diǎn)-坐，）滿足單位圓f 2=,31則1十）= 1 ,二巧，. 這. cos a =-卞,sin a =與.7 .點(diǎn)尸（tan 2 020。，cos 2 020。）

17、位于第 象限.答案四解析 因?yàn)?2 020° = 5 X 360° + 220。，所以2 020。的終邊與220。的終邊相同，又220。是第三象限角，所以 tan 2 020°>0 , cos 2 020°<0 ,即點(diǎn)P位于第四象限.8 .已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3“一9,"+2）,且cos aWO,sin a>0,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是 答案（-2,3，3"-9W0 ,解析由cos aWO , sin a>0可知Ja + 2>0 ,解得-2<a<3.9 .化簡下列各式：7兀 5兀TT(1 )si

18、n +cos - 4-cos(-57r)4-tan(2krsin 8100-/?2cos 9OO°4-2tan 1 1250.解 (1)原式=sin 卷 + cos + cos n + 1=-1+0- 1 + 1= - 1.原式=Rin 90° - b2cos 180° + 2而tan 45° =a2 + b2 + lab = (a 十 b)2.10 .已知 6 終邊上一點(diǎn)尸(x,3)(xW0),且 cos 6=祟，求 sin 6, tan 6.解 由題意知r=OP =正”,由三角函數(shù)定義得cos 6=3=7=，又因?yàn)閏os 6二曙x,所以 J-7二曙x

19、.yjx2 + 91。因?yàn)閤WO ,所以x=±1.此時(shí)sin 0二=普當(dāng)x二-1 時(shí)，P(- 1,3),此時(shí) sin 6 - I ?, tan 6-= - 3.q(-if? 10 -i力綜合運(yùn)用11 .函數(shù)y=y/sin、+，-cos x的定義域是()A. 3喋兀v.x<2歸r+兀, k£Z) 9 B/x 2E+，WxW2k7r+7T, kGZ JC.x k兀+5<x或k7r+兀，kGZD. M2jbrxW2k7u+7T, kWZ) 答案B解析 由 sinxNO, - cosx>0 ,得X為第二象限角或 >'軸正半軸上的角或X軸負(fù)半軸上的角，

20、所以2E十，<£2及瓦+兀.kGZ.12.在ABC 中，若 sin Acos 次an C<0,則48。是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形或鈍角三角形 答案C解析在ABC 中，A , B , C£(0,7T),*.* sin A>0 , cos B- tan C<0 ,:B , C一個(gè)為銳角，另一個(gè)為鈍角，AABC為鈍角三角形.,c 7 卻. sin x . Icos x , tan 九 g 包心 日, 、 3函數(shù))'=扇M+赤+哂的值域是()A. - 101,3B. - 1,0.3C. -1,3D. - 1,1答案c 解析 依題意，角X的終邊不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)x為第一象限角時(shí),y = 1 + 1 + 1 = 3 ,當(dāng)Ai為第二象限角時(shí),當(dāng)V為第三象限角時(shí),>