【人教A版】高中數(shù)學(xué)必修5同步輔導(dǎo)與檢測：第一章章末復(fù)習(xí)課(含答案)

1、第一章章末復(fù)習(xí)課提綱挈領(lǐng)復(fù)習(xí)知識整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建警示易錯(cuò)提醒1 .三角形解的個(gè)數(shù)的確定(易錯(cuò)點(diǎn))已知兩邊和其中一邊的對角不能唯一確定三角形， 解這類三角形 問題可能出現(xiàn)一解、兩解、無解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊 對大角”，此時(shí)一般用正弦定理，但也可用余弦定理.a b(1)利用正弦定理討論：若已知a、b、A,由正弦定理Sira = SibB，得 sin B = bsin A.若 sin B > 1,無解；若 sin B = 1, 一解；若 sin B< 1, a兩解.(2)利用余弦定理討論：已知a、b、A.由余弦定理a2 = c2+ b2 -2cbcos A,即 c2-(2bcos

2、 A)c+b2a2 = 0,這是關(guān)于 c 的一元二次方程.若方程無解或無正數(shù)解，則三角形無解；若方程有唯一正數(shù)解，則三角形一解；若方程有兩不同正數(shù)解，則三角形有兩解.2 .三角形形狀的判定方法判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過正弦定理和余弦定理，化邊為角（如：a = 2Rsin A, a2 +b2c2= 2abcos C等），利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.此時(shí)注意一些常見的三角恒等式所體現(xiàn)的角之間的關(guān)系.如：sin A = sin B? A=B; sin （A B） = 0? A = B; sin 2A = sin 2B? A兀 =8或人+8=萬等；二是利用正弦定理、余弦定

3、理化角為邊，如:sin A=2R(R 為乙ABC外接圓半徑），cos A=b2+ c2 a22bc等，通過代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.3 .解三角形應(yīng)用題的基本思路解三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題來解決.其基本解題思路是：首先分析此題屬于哪種類型的問題（如測量距離、高度、角度等），然后依題意畫出示意圖，把已知量和未知量 標(biāo)在示意圖中（目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系），最后確定用 哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化，哪個(gè)定理求解，并進(jìn)行作答.解題時(shí)還要注意近似計(jì) 算的要求.|總結(jié)歸納專題突破專題一 利用正、余弦定理解三角形（自主研析）例1 AABC中，內(nèi)角A, B, C對邊的邊長分

4、別是a, b, c.一心一 兀已知 c= 2, C= 了.（1）若AABC的面積等于J3,求a, b;(2)若 sin B=2sin A,求 ABC 的面積.自主解答(1)由余弦定理得a2 + b2 ab= 4.又因?yàn)?ABC的面1積等于鎘，所以2absin C = ,得ab= 4.a2+ b2 ab= 4,聯(lián)立方程組b = 2a,解得 a=2, b= 2.(2)由正弦定理已知條件可化為 b = 2a,a2+ b2 ab= 4,聯(lián)立方程組b = 2a,解得 a=233, b=¥，所以 ABC 的面積 S=1absin C=3. 23A歸納升華正、余弦定理應(yīng)用需注意的三個(gè)方面(1)正弦

5、定理和余弦定理提示了三角形邊角之間的關(guān)系，解題時(shí)要根據(jù)題目條件恰當(dāng)?shù)貙?shí)現(xiàn)邊角的統(tǒng)一.(2)統(tǒng)一為“角”后，要注意正確利用三角恒等變換及誘導(dǎo)公式 進(jìn)行變形；統(tǒng)一為“邊”后，要注意正確利用配方、因式分解等代數(shù) 變換方法進(jìn)行變形.(3)求值時(shí)注意方程思想的運(yùn)用.變式訓(xùn)練4ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,asin A+ csin C &asin C= bsin B.(1)求角B的大??；(2)若 A=75 , b=2,求 a, c.解：(1)由正弦定理得a2+c2-V2ac=b2.由余弦定理得 b2= a2 + c2 - 2accos B.2 ,故 cos B = -2&q

6、uot;,因此 B=45 .(2)sin A = sin(30 斗 45 ) = sin 30 cos45 4cos 30 sin 45 =2+ 64.4 sin A故 a=bXsin=1 + 03.由已知得，C=180 -45 -75 = 60 ;c= bxsin C sin B2Xsin 60一=76.sin 45專題二 判斷三角形的形狀問題例2已知 ABC中，內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,a3 + b3 c3 一 =c2,且 acos B = bcos A,試判斷 ABC 的形狀.a+bca3+b3- c3解：由=c2,a + b c得 a3 + b3 c3= c2(a

7、 + b) c3,所以 a2+ b2ab=c2,一、，1所以 cos C=2>0,又因?yàn)镃6(0 ,180 ),所以C= 60 .由 acos B = bcos A,得 2Rsin Acos B=2Rsin Bcos A(R 為AABC 外接圓的半徑)，所以 sin(A B) = 0,又因?yàn)?AB6 (180 ,180 ),所以 A B = 0 ,所tA=B = C=60° ,所以 ABC為等邊三角形.»歸納升華利用正、余弦定理判斷三角形形狀的方法主要有兩種方法：方法一，通過邊之間的關(guān)系判斷形狀；方法二， 通過角之間的關(guān)系判斷形狀.利用正、余弦定理可以將已知條件中的邊

8、、角互化，把條件轉(zhuǎn)化 為邊的關(guān)系或轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系.變式訓(xùn)練 在4ABC 中，若(a2+b2) sin(A B) = (a2b2)sin(A + B),請判斷三角形的形狀.解：因?yàn)?a2 + b2)sin(A B) = (a2 b2)sin(A + B),所以(a2+ b2)(sin Acos B -cos Asin B)=(a2 b2)(sin Acos B + cos Asin B),所以 2b2sin Acos B 2a2cos Asin B = 0,a2所以匠=sin Acos Bcos Asin Ba2 sin2A又由正弦7E理可得 y = sn吊,所以sin Acos B sin2A

9、cos Asin B sin2B'cos B sin A r所以co*=srB，所以sin 2A=sin 2B.又因?yàn)锳S （0,兀），B6（0,兀）,所以2A = 2B或2A+2B=兀，兀即 A=B 或 A+B = 2,所以 ABC為等腰三角形或直角三角形.專題三 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例3航空測量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知 飛機(jī)的高度為海拔10 000 m,速度為180 km/h,飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?5°,經(jīng)過420 s后又看到山頂?shù)母┙菫?5°,求山頂?shù)暮０胃叨?取應(yīng)=1.4, 731.7).解：如圖所示，根據(jù)題意可得/A=15°,

10、 /DBC = 45°,所以 / ACB = 30 ;420AB = 180X 3-600= 21(km) = 21 000(m).所以在 ABC中,BC _ AB sin A sinCB所以 BC = 21 000 sin 15 M0 500(76，2)(m).2因?yàn)镃DXAD,所以 CD = BCsin/CBD =210 500(76-) X-= 10 5003- 1戶10 500X(1.7 1)=7 350(m),所以，山頂?shù)暮０胃叨?10 000 7 350= 2 650(m).»歸納升華正、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用(1)以三角形為載體，以正、余弦定理為工具，以

11、三角恒等變換為手段來考查三角形問題是近年高考的一類熱點(diǎn)題型.在具體解題 時(shí)，除了熟練使用正、余弦定理外，也要根據(jù)條件合理選用三角函數(shù)公式，達(dá)到化簡問題的目的.(2)解三角形問題的實(shí)質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.在高考中，出題者有時(shí)會利用平面向量等知識給出問題的某些條件，這些知識一般只起到“點(diǎn)綴”作用，難度較小.變式訓(xùn)練(1)如圖所示，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形 AOC.小 區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn) A及點(diǎn)C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路 AD, DC,且拐彎處的轉(zhuǎn)角為1200.已知某人從C沿CD走到D用了 10分 鐘，從D沿DA走到A用了 6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米, 求該扇形的半徑OA的

12、長（精確到1米）.120；(2)在4ACB中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且 a>c,已知 BABC=2, cos B = 1, b=3,求： 3a和c的值；cos(B C)的值.(1)解：法一：設(shè)該扇形的半徑為米，由題意，得CD =500 米，DA = 300 米，/CDO = 60 .在 ACDO 中，CD2 + OD2-2 CD OD cos 60 =OC2,1 c即 5002+ (r 300)2 2x 500x (r-300)X2= r2,4 900 rz解得= %丁=445 (米).法二：連接AC,作OH ±AC,交AC于點(diǎn)H ,12(FA由題意，得

13、CD = 500米,AD = 300 米,/CDA = 120 :在 AACD 中，AC2 = CD2 + AD2 2 CD AD 1 ccos 120 -5002+ 3002 + 2X500X 300X2 = 7002,所以AC = 700（米）.AC2 + AD2 CD2 11 cos /CAD = 7j.2AC AD 14在 RtzHAO 中，AH =350（米），,八 11cos /HAO =14，AH 4 900所以 OA=U=445（米）.cos/HAO11（2）解：由BA 刪=2,彳導(dǎo) c acos B = 2,又 cos B=1,所以 ac 3=6.由余弦定理，得 a2 + c

14、2=b2+ 2accos B.又 b=3,所以 a2+c2=32+2x 6X1=13.3ac6）a2）a3）解得 或a2+c2=13,c=3c=2.因?yàn)閍>c,所以a= 3, c= 2.在AABC中,sin B=、 1 - cos2 B =由正弦定理，得 c c 25 2 4 2 sin C=bsin B=3X 3 = 9.因a=b>c,所以C為銳角,因此cos C=一sine 管 2=7.11于是 cos(B C) = cos Bcos C + sin Bsin C =1X72V2><4J2_233X9+ 3 X 9 27.專題四三角函數(shù)的綜合應(yīng)用例 4 在zABC

15、中，已知 A>B>C,且 A = 2C, b = 4, a+ c = 8, 求a, c的長.解:由正弦定理得a _ c sin A sin C'因?yàn)锳 = 2C,所以a _ csin 2C _sin C'所以 a=2ccos C.8 c又因?yàn)閍+c=8,所以cos C= 22 c由余弦定理及a+c = 8,得cos C2aba2 + b2c2 a2 + 42 c28a(8 c) 2+42-c28 (8-c)10 2c8 c8- c 10 2c由知，整理得 5c2 36c+64= 0.-16 ,人、所以c= "5或c=4（舍去）. 、24所以 a=8-c=-5-.2416故2="5"，C=y.A歸納升華與函數(shù)思想相聯(lián)系的就是方程思想.所謂方程思想，就是在解決 問題時(shí)，用事先設(shè)定的未知數(shù)溝通問題所涉及的各量間的制約關(guān)系, 列出方程（組），從而求出未知數(shù)及各量的值，使問題獲得解決.方程 可以看做未知量與已知量相互制約的條件， 它架設(shè)了由已知探索未知 的橋梁.本章在利用正弦、余弦定理求角或邊長時(shí)，往往滲透著函數(shù) 與方程思想.變式訓(xùn)練4在4ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,已知a = 5, b= 5超 A=30