均值不等式?？碱}型

1、.均值不等式及其應用一均值不等式1.（1）若 a,bR ，則 a 2b22ab (2)若 a,b R ，則 aba 2b2（當且僅當 ab 時取“=”）22. (1)若 a, bR*，則 abab(2)若 a,bR* ，則 a b2ab （當且僅當 ab 時取“ =”）22(3)若 a,b*，則 aba b(當且僅當 ab 時取“ =”）R23. 若 x0 ，則 x12 (當且僅當 x1時取“ =”）; 若 x 0 ，則 x12 ( 當且僅當 x1時取“ =”）xx若 x0 ，則 x112或 x1-2 (當且僅當 a b 時取“ =”）x2即 xxx3. 若 ab0 ，則 ab2( 當且僅當

2、ab 時取“ =”）ba若 ab0 ，則 ab2即 ab2或 ab-2 ( 當且僅當 ab 時取“ =”）bababa4. 若 a,bR ，則 ( a2b ) 2a 2b 2（當且僅當 ab 時取“ =”）2注：（ 1）當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（ 2）求最值的條件“一正，二定，三相等”(3) 均值定理在求最值、 比較大小、 求變量的取值范圍、 證明不等式、 解決實際問題方面有廣泛的應用應用一：求最值例 1：求下列函數(shù)的值域211（ 1） y 3x 2x 2（ 2） y x x解：（ 1） y

3、 3x212 2212 6值域為 6， +）3x ·2x2x11（ 2）當 x 0 時， y xx 2x· x 2；當 x0 時， y x 1= （1） 21= 2xx xx·x值域為（， 2 2， +）解題技巧：技巧一：湊項例 1：已知 x5，求函數(shù) y4x21的最大值。44x5解：因 4x50，所以首先要 “調(diào)整” 符號， 又 (4 x 2)1不是常數(shù)， 所以對 4x2 要進行拆、 湊項，4x5x5 , 5 4x 0 ，y 4 x 2155 4x51323144 x4x當且僅當 5 4x1，即x1時，上式等號成立，故當x1 時， ymax 1。54x評注：本題

4、需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。;.技巧二：湊系數(shù)例 1.當時，求 yx(82x) 的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式， 但其和不是定值。注意到 2x(82x)8為定值， 故只需將 yx(82x) 湊上一個系數(shù)即可。當，即 x2 時取等號當 x2 時， y x(82x) 的最大值為 8。評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè) 0x34x(32x) 的最大值。，求函數(shù) y232解： 0x 3 2x0 y4x(3 2x) 2 2x(3 2x)2 2x 3 2x9

5、222當且僅當 2x32x, 即 x30, 3時等號成立。42技巧三 ： 分離例 3. 求 yx27x101)的值域。(xx 1解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x 1）的項，再將其分離。當, 即時 , y2 （ x1)45 9 （當且僅當 x 1 時取“”號）。1x技巧四 ：換元解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x 1，化簡原式在分離求最值。y27(t）25t4t45(t 1)1 +10 = tttt當, 即 t=時, y 2t459（當 t=2 即 x 1 時取“”號）。t評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分

6、開再利用不等式求最值。即化為 ymg( x)AB( A0, B0) ，g(x) 恒正或恒負的形式， 然后運用均值不等式來求最值。g (x)技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結(jié)合函數(shù)f ( x)a的單調(diào)性。xx例：求函數(shù)yx25 的值域。x24解：令x24 t (t2) ，則 yx25x2414t1 ( t 2)x24x2t因 t 0,t11，但 t1解得 t1 不在區(qū)間 2,，故等號不成立，考慮單調(diào)性。t1t5因為 yt1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故 y在區(qū)間。t2;.所以，所求函數(shù)的值域為5 ,。2練習求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x

7、的值 .（ 1） yx23x1,( x0)（2） y2x1, x3(3)y2sin x1, x(0,)xx3sin x2已知0x1，求函數(shù) yx(1x) 的最大值 .；3 0x2yx(23x) 的最大值 .，求函數(shù)3條件求最值1. 若實數(shù)滿足 ab 2 ，則 3a3b 的最小值是.分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3a 3b 定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a 和3b 都是正數(shù)， 3a3b 23a3b23a b6當 3a3b 時等號成立，由 ab2 及 3a3b 得 ab1即當 ab1時， 3a3b 的最小值是 6變式：若 log 4xlog 4y 2 ，求11x的最小值 .

8、并求 x,y 的值y技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知 x0, y191，求 xy 的最小值。0 ，且xy錯解 ：x0, y0 ，且191 ，199xy min 12xyxy22 xy 12故。xyxyxy錯因：解法中兩次連用均值不等式，在xy 2xy 等號成立條件是xy ，在 1929等號成立xyxy條件是 19即 y 9x ,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出xy等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解 ： x 0, y 0, 191， x yx y19y9x 10

9、6 10 16xyxyxyy9x194, y 12 時， x y min 16 。當且僅當x時，上式等號成立，又x1，可得 xyy變式：（ 1）若 x, y R且 2 x y1，求 11 的最小值xy(2) 已知 a, b, x, yR且 ab1 ，求 xy 的最小值xy技巧七 、已知 x， y 為正實數(shù)，且x 2y 21，求 x2的最大值 .21 y;.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式aba 2 b 22。1y 2中 y2 前面的系數(shù)為11 y 21 y21 y2同時還應化簡，x x 2 x·2·222212下面將 x，y2 2分別看成兩個因式：22 (1y

10、 2)22y 212x2x 223131 y22yx·2 222 4即 x 1 y 2 ·x2 2 42技巧八：已知a， b 為正實數(shù)，2b ab a 30，求函數(shù) y 1的最小值 .ab分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本 不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。法一： a 30 2b30 2b 2 b 230b，·bb 1b1ab b 1由 a 0 得

11、， 0 b 15 2t 2 34t 311616令 t b+1， 1 t 16，ab 2（ t t ） 34 t t 2t1 ab 18 y 18 當且僅當 t 4，即 b 3， a 6 時，等號成立。法二：由已知得：30 ab a2b a2b 22 ab 30 ab 22 ab令 u ab則 u2 2 2 u 30 0， 5 2 u 3 21 ab 3 2 ， ab 18， y 18ab點評： 本題考查不等式ab（ a, bR ）的應用、 不等式的解法及運算能力；216t· t 8如何由已知不等式 aba（R）2b 30 a,b出發(fā)求得 ab 的范圍， 關(guān)鍵是尋找到 a b與 ab

12、 之間的關(guān)系， 由此想到不等式 abab（a, b R）ab 的不等式，進而解得 ab 的范圍 .，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含2變式： 1.已知 a>0，b>0， ab (ab) 1，求 a b 的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知 x， y 為正實數(shù)， 3x 2y 10，求函數(shù)W 3x 2y 的最值 .a ba 2 b 2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，2，本題很簡單23x 2y 2（ 3x ） 2（2y ） 2 23x 2y 2 5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定

13、值”條件靠攏。W 0， W 2 3x2y 23x · 2y 10 23x · 2y 10 (3x )2· (2y )2 10 (3x 2y) 20 W 2025變式 :求函數(shù) y2x152 x( 1 x 5 ) 的最大值。2 2解析：注意到 2 x 1與 5 2x 的和為定值。;.y 2( 2 x 152 x )24 2 (2 x 1)(5 2 x) 4 (2 x 1) (5 2 x) 8又 y 0 ，所以 0y 22當且僅當 2x1= 52x ，即 x3故 ymax 2 2 。時取等號。2評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

14、總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式1已知 a,b, c 為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a 2b2c2abbcca1）正數(shù) a， b， c 滿足 a b c1，求證： (1 a)(1 b)(1 c) 8abc例 6：已知 a、 b、 cR ，且 ab c1 。求證：1111118abc分析：不等式右邊數(shù)字8 ，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2 ”連乘，又111a b c2bc，可由此變形入手。aaaa解：a、b、cR ， abc1 。111abc2bc 。同理 112 ac ， 1 12ab 。aaaabbcc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得111 1112 bc 2 ac 2 ab8 。當且僅當 abc1時取等號。abcabc3應用三：均值不等式與恒成立問題例：已知 x 0, y0 且 191，求使不等式xym 恒成立的實數(shù) m 的取值范圍。x