2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題專題圓的綜合的經(jīng)典綜合題含答案解析

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題專題圓的綜合的經(jīng)典綜合題含答案解析一、圓的綜合1 .如圖 1,直角梯形 OABC中，BC/ OA, OA=6, BC=2, / BAO=45°.冰Ta(1) OC的長(zhǎng)為;(2) D是OA上一點(diǎn)，以BD為直徑作。M,。M交AB于點(diǎn)Q.當(dāng)。M與y軸相切時(shí)，sin / BOQ=；(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)O沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)D以相同的速度，從點(diǎn) B沿折線B-C-。向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí) 停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn) P作直線PE/ OC,與折線O-B- A交于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).求當(dāng)以 B、D、E為頂點(diǎn)的三

2、角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).【答案】(1)4; (2) 3 ; ( 3)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(1,2)、( ：，10)、(4,2).【解析】分析：(1)過點(diǎn)B作BHLOA于H,如圖1 (1),易證四邊形 OCBH是矩形，從而有 OC=BH,只需在4AHB中運(yùn)用三角函數(shù)求出 BH即可.(2)過點(diǎn)B作BHLOA于H,過點(diǎn)G作GF, OA于F,過點(diǎn)B作BR± OG于R,連接 MN、DG,如圖1 (2),則有 OH=2, BH=4, MN LOC.設(shè)圓的半徑為 r,則 MN=MB=MD=r.在BHD中運(yùn)用勾股定理可求出 r=2,從而得到點(diǎn) D與點(diǎn)H重合.易證 AF8 ADB,從而可求出 AF、

3、GF、OF、OG OB、AR BG,設(shè) OR=x,利用 BR2=OB2 - OR2=BG2-RG2可求出x,進(jìn)而可求出BR在RtORB中運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問題.(3)由于4BDE的直角不確定，故需分情況討論，可分三種情況(/BDE=90°,Z BED=90 °,Z DBE=90 °)討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識(shí)建立 關(guān)于t的方程就可解決問題.詳解：(1)過點(diǎn) B 作 BHLOA 于 H,如圖 1 (1),則有/ BHA=90°=/ COA, /. OC/ BH. BC/ OA, 四邊形 OCBH是矩形，OC=BH, BC=OH. OA

4、=6, BC=2, . AH=0A-OH=OA- BC=6 - 2=4. . / BHA=90 °, / BAO=45 °, tanZ BAH=BH-=1,BH=HA=4, . OC=BH=4.HA故答案為4.(2)過點(diǎn)B作BHOA于H,過點(diǎn)G作GF± OA于F,過點(diǎn)B作BR± OG于R,連接 MN、DG,如圖 1 (2).由(1)得：OH=2, BH=4. OC與。M 相切于 N,MN ±OC.設(shè)圓的半徑為 r,則MN=MB=MD=r. BOX OC, OA± OC, . BC/ MN / OA. . BM=DM,CN=ON,MN=

5、- (BGOD) , OD=2r - 2,2.DH= OD -OH =2r -4 .在 RtA BHD 中，. / BHD=90°, /. BD2=BH2+DH2,，( 2r) 2=42+ (2r-4)解得：r=2, DH=0,即點(diǎn) D 與點(diǎn) H 重合，BD± 0A, BD=AD.BD 是 OM 的直徑，./ BGD=90 °,即 DGXAB,BG=AG. GF，OA, BDXOA, . GF/ BD, .AF8 ADB,. ”二笆二,AF=1AD=2, GF=1BD=2, . OF=4, AD BD AB 222, , OG= /OF2 /GF2 = "

6、;2 +22 =2 而. 1同理可得：OB=2 而，AB=442， 1- BG=-AB=2 72 .設(shè) OR=x,則 RG=2 J5 -x. . BR± OG,Z BRO=Z BRG=90 °, z. BR2=OB2 - OF2=BG2- RG2, . ( 2 y5 ) - X = ( 2 2 ) - ( 2 1tJ5 - x)解得：x=W5,，B島OB2-OR2=(2 芯)2-(蟲5)2=36,，BR=W5. 5555在 RtA ORB中，sinZ BOR= BR = 5 = 3 . OB5235,3故答案為一.5(3)當(dāng)/ BDE=90°時(shí)，點(diǎn) D在直線PE上

7、，如圖2.此時(shí) DP=OC=4, BD+OP=BD+CD=BC=2, BD=t, OF=t, 則有 2t=2.解得：t=1,則 OF=CD=DB=1. DE/ OC, BD& BCO, . DE =-BD =1 ,. DE=2, . EF=2, OC BC 2點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2).當(dāng)/ BED=90°時(shí)，如圖3. / DBE=OBC, / DEB=/BCO=90： /. DB& OBC,BE丁赤.密BE DBBC - OB PE/ OC, . / OEF=Z BOC./ OPE=Z BCO=90. OE=Op-,-r_°L=I,0E=75tOB BC275

8、 28 OE+BE=OB=2、5,.解得：t=5, OP=533OE=¥，pe=Joe2.op2 =10，335 10.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5, ）3 34.當(dāng)/ DBE=90°時(shí)，如圖此時(shí) PE=PA=6t, OD=OC+BC- t=6 t.貝U有 OD=PE, EA= JPE2 +PA2 =拒 （6t） =6四一商, BE=BA- EA=4 /-（6/-0t） =>/2t-22PE/ OD, OD=PE, Z DOP=90 °, .四邊形 ODEP是矩形， .DE=OP=t, DE/ OP, ./ BED=Z BAO=45°.一- BE 2在 RtA

9、 DBE 中，cosZ BED= - = , - DE=BE,t =我（衣12拒）=2t -4.解得：t=4,OP=4, PE=6-4=2, .點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（4, 2）.綜上所述：當(dāng)以 B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,2）、（5,嗎、（4,2）.3 3點(diǎn)睛：本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定 義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性.2.如圖，AB為。的直徑，點(diǎn) E在。0上，過點(diǎn)E的切線與 AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D,連接BE,過點(diǎn)。作BE的平行線，交。于點(diǎn)F,交切線于點(diǎn) C

10、,連接AC (1)求證：AC是。的切線；(2)連接EF,當(dāng)Z D= 。時(shí)，四邊形FOBE是菱形.【答案】(1)見解析；(2) 30.【解析】【分析】(1)由等角的轉(zhuǎn)換證明出 AOCA二AOCE ,根據(jù)圓的位置關(guān)系證得 AC是。的切線.(2)根據(jù)四邊形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得證AOBE為等邊三角形，而得出/BOE=601根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出答案.【詳解】(1)證明： CD與。相切于點(diǎn)E, OE1CD ,/CEO =90",又ocLIbe , . /COE =/OEB , / OBE=Z COA ,.OE=OB,/OEB=/OBE ,/COE =NCOA,又

11、OC=OC OA=OE AOCA0 AOCE(SA0 , /CAO=NCEO =90°,又 AB為。O的直徑， .AC為。O的切線；(2)解：二四邊形 FOBE是菱形,.OF=OB=BF=EF.OE=OB=BE &OBE為等邊三角形， /BOE = 60”,而 OE_LCD ,ND =30 叱故答案為30.【點(diǎn)睛】本題主要考查與圓有關(guān)的位置關(guān)系和圓中的計(jì)算問題，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是本題的解題關(guān)Ir3.定義：有一個(gè)角是其鄰角一半的圓內(nèi)接四邊形叫做圓內(nèi)倍角四邊形.(1)如圖1,四邊形 ABCD內(nèi)接于。O, / DCB- /ADC=/ A,求證：四邊形 ABCD為圓內(nèi) 接倍角四邊形；

12、(2)在(1)的條件下，O O半徑為5. 若AD為直徑，且sinA=-,求BC的長(zhǎng);5若四邊形ABCD中有一個(gè)角為60°,且BC=CD則四邊形ABCD的面積是(3)在(1)的條件下，記 AB=a, BC=b, CD=g AD=d,求證：d2- b2=ab+cd.【答案】(1)見解析；(2)BC=6, &5或75； (3)見解析44【解析】【分析】(1)先判斷出/ ADC=180° - 2Z A.進(jìn)而判斷出/ ABC=2ZA,即可得出結(jié)論；(2) 先用銳角三角函數(shù)求出 BD,進(jìn)而得出AB,由(1)得出/ ADB=/BDC,即可得出 結(jié)論；分兩種情況：利用面積和差即可得

13、出結(jié)論；(3)先得出BE=BC=b, DE=DA=b,進(jìn)而得出 CE=d - c,再判斷出 EB8 EDA,即可得出 結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)/ A=a,則/ DCB=180 - a. /DCB /ADC=/A,/ADC=/DCB Z A=180° - a- a =180-2 a, . / ABC=180° /ADC=2a=2Z A, .四邊形 ABCD是。O內(nèi)接倍角四邊形；(2)連接BD. AD 是。O 的直徑ABD=90° 在 RtABD 中 AD=2X5=10 sin/A=4 BD=8 根''5 ''據(jù)勾股定理得：AB=6,設(shè)/

14、 A=a, / ADB=90° - a.由（1）知，/ ADO180 2%BDO90 % / ADB=/BDC, . . BC=AB=6；若/ ADC=60°時(shí).四邊形 ABCD是圓內(nèi)接倍角四邊形，./BCD=120°或/ BAD=30°.I、當(dāng)/ BCD=120°時(shí)，如圖 3,連接 OA, OB, OC, OD. 1 。 。2O沒有畫在AD上）BC=CD,BOC=/COD, /. Z OCD=ZOCB=- Z BCD=60 , /. Z CDO=60 , .AD 是 OO. AB=CD. BOC, ACOD是全等的等邊三角形， S四邊形的直徑

15、，（為了說明 AD是直徑，點(diǎn) .Z ADC+Z BCD=180°, /. BC/ AD, BC=CD, .1. AB=BC=CD, . .OAB, abcD=3Saaob=3 X3 X 2= 75叵.OA, OB, OC, OD.BCD=180° - / BAD=150° .n、當(dāng)/ BAD=30°時(shí)，如圖4,連接四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，二/BC=CD, ./ BOC=Z COD,Z BCO=Z DCO=-Z BCD=75°, . . / BOC=/DOC=30°,2，/OBA=45°, . ./AOB=90°

16、;.連接 AC,/ DAC=1 / BAD=15°.2/ ADO=Z OAB- / BAD=15°,/ DAC=Z ADO,. OD/ AC,. Soad=Saocd. 過點(diǎn)C作CH, OB于H.在 RtZxOCH 中，CH= OC=_，二 S 四邊形 abcd=Szcod+Q boc+Q aobj-Saaod=S boc+Saob= x - X 5+ X 5 X 5=.2 224故答案為：753或75；44D1四邊形 ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，/ BCE=Z A= /ABC.2 /ABO/BC&/A, Z E=ZBCE=ZA, . BE=BC=b, DE=DA=

17、b, . CE=d c., /BC曰/A, /E=/E, .EBC EDA, . CE-=-BC.±12=9, /. d2 -AE AD ' a b db2=ab+cd.【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，新定義，相似三角形的判定和性 質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.4.如圖，在4ABP中,C是BP邊上一點(diǎn)，/PAO/PBA。是4ABC的外接圓，AD是。的 直徑，且交BP于點(diǎn)E.（1）求證：PA是。的切線；（2）過點(diǎn)C作C。AD,垂足為點(diǎn)F,延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G,若AG?AB=12,求AC的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析（2）

18、2 J3【解析】試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理得出/ ACD=90以及利用/ PAC=/ PBA得出/ CAD+Z PAC=90進(jìn)而得出答案；(2)首先得出CA84BAC,進(jìn)而得出AC?=AGAB,求出AC即可.試題解析：(1)連接CD,如圖，.AD是O 0的直徑，ACD=90 , ./ CAEH-Z D=90 , / PAG / PBA, Z D=Z PBA, ./ CAEH-Z PAG=90°,即 Z PAD=90 ,PAXAD,二.PA是。O的切線；(2) - CF± AD,Z ACR Z CAF=90 , Z CAE> Z D=90 , ./ ACRZ D,A

19、CRZ B,而 Z CAG=Z BAG,/.A ACGAABC,.AC: AB=AG: AC,AC2=AG?AB=12,.AO2B5.如圖，已知四邊形 ABCD是矩形，點(diǎn)P在BC邊的延長(zhǎng)線上，且 PD=BQ。A經(jīng)過點(diǎn)B, 與AD邊交于點(diǎn)E,連接CE.(1)求證：直線PD是。A的切線；_O(2)若PC=2而，sinZ P= ,求圖中陰影部份的面積(結(jié)果保留無理數(shù)).【答案】(1)見解析；(2) 20-4 % .【解析】分析：(1)過點(diǎn)A作AHPD,垂足為H,只要證明AH為半徑即可.(2)分別算出RtCED的面積，扇形 ABE的面積，矩形 ABCD的面積即可詳解：(1)證明：如圖，過 A作AHLP

20、D,垂足為H,四邊形ABCD是矩形，.AD=BC, ADII BC, / PCD叱 BCD=90 ,，/ADH=/ P, /AHD=/ PCD=90 ,又 PD=BQ AD=PD, ADHA DPC,AH=CD,CD=AB,且AB是。A的半徑，. AH=AB,即AH是。A的半徑，.PD是。A的切線.CD 2(2)如圖，在 RtPDC中，.sin/P=,PC=2J5 ,PD 3令 CD=2x, PD=3x,由由勾股定理得：(3x) 2-(2x)2=(2 J5 )2,解得：x=2,CD=4, PD=6, .AB=AE=CD=4 AD=BC=PD=6 DE=2,矩形ABCD的面積為6X4=24 Rt

21、CED的面積為1x4X2=42扇形ABE的面積為1兀X2=4 02，圖中陰影部份的面積為24-4-4兀=204兀.點(diǎn)睛：本題考查了全等三角形的判定，圓的切線證明，三角形的面積，扇形的面積，矩形 的面積.6,已知，如圖：Oi為x軸上一點(diǎn)，以O(shè)i為圓心作O Oi交x軸于C、D兩點(diǎn)，交y軸于 M、N兩點(diǎn)，/ CMD的外角平分線交。Oi于點(diǎn)E, AB是弦，且AB/CD,直線DM的解析 式為 y=3x+3.(1)如圖1,求。Oi半徑及點(diǎn)E的坐標(biāo).(2)如圖2,過E作EFL BC于F,若A、B為弧CND上兩動(dòng)點(diǎn)且弦 AB/ CD,試問：BF+CF 與AC之間是否存在某種等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并證明.(

22、3)在(2)的條件下，EF交。Oi于點(diǎn)G,問弦BG的長(zhǎng)度是否變化？若不變直接寫出BG的長(zhǎng)(不寫過程)，若變化自畫圖說明理由.圖1圖2【答案】（1） r=5 E （4, 5） （2） BF+CF=AC （3）弦BG的長(zhǎng)度不變，等于 5四【解析】分析：（1）連接 ED EG EQ、MOi,如圖 1,可以證到/ ECD=Z SME=/EMC=/EDC,從 而可以證到/ EO|D=/EOiC=90°.由直線DM的解析式為y=3x+3可得OD=1, OM=3.設(shè) OOi的半徑為r.在RtA MOO1中利用勾股定理就可解決問題.（2）過點(diǎn)Oi作OiPEG于P,過點(diǎn)Oi作OiQ± BC于

23、Q,連接EQ、DB,如圖2.由 AB/ DC可證到BD=AC,易證四邊形 OiPFQ是矩形，從而有 OiP=FQ, Z POiQ=90°,進(jìn)而有 /EOiP=/ CO1Q,從而可以證到 EPQCQOi,則有PQ=QOi .根據(jù)三角形中位線定理 可得FQ=1BD,從而可以得到 BF+CF=2FQ=AC.2（3）連接 EQ, ED, EB, BG,如圖 3.易證 EF/ BD,則有/ GEB=Z EBD,從而有 BG=ED，也就有BG=DE.在RtA EQd中運(yùn)用勾股定理求出 ED,就可解決問題. 詳解：（1）連接ED EG EQ、MO1,如圖1. ME 平分/ SMC, . SME=/

24、EMC. Z SME=Z ECD, /EMC=/EDC,/ ECD=/EDC,/ EOiD=ZEOiC. . Z EOiD+Z EOiC=180°, .EOiD=Z EOiC=90°. 直線DM的解析式為y=3x+3, 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0, 3）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1,0）, .OD=1, OM=3.設(shè)OO1的半徑為r,則MO1=DO1=r.在 RtA MOO1 中，（r 1） 2+32=r2.解得：r=5,OOi=4, EQ=5,，O O1 半徑為 5,點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（4, 5）.（2） BF+CF=AC.理由如下：過點(diǎn)O1作OF，EG于P,過點(diǎn)O1作OQ，BC于Q,連接E

25、Q、DB,如圖2., AB/ DC,/ DCA=/BAC,AD = BC,J. BD = AC，. . BD=AC-ChP± EG, O1Q± BC, EF± BF, . . / OPF=/PFQ=/OQF=90 °, .四邊形 O1PFQ是矩 形，O1P=FQ, / POiQ=90°, / EQP=90 °-/PO1C=/CQQ.EO1P = CO1Q在 AEP。和 ACQ。中，/EP。=/CQO1 ,O1E=QCFQ=QO1.EPQACQQ, .PO1=QO1,. QOi±BC,bq=cq.,. CQ=DOi,OiQ=l

26、 BDFQ=-BD.22 BF+CF=FC+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ, . BF+CF=BD=AC.(3)連接 EQ, ED, EB, BG,如圖 3. DC 是。Oi 的直徑，DBC=90°,DBC+/EFB=180°, . EF/ BD, ./ GEB=/EBD,bg =ED ,BG=DE. DOi=EOi=5, EQ,DOi , . DE=5 及，BG=5 四，.弦BG的長(zhǎng)度不變，等于572圖I圖2圖3點(diǎn)睛：本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、弧與弦的關(guān)系、垂徑定理、全等三 角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾

27、股 定理等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度.而由 AB/ DC證到AC=BD是解決第（2）小題 的關(guān)鍵，由EG/ DB證到BG=DE是解決第（3）小題的關(guān)鍵.7.如圖，PA、PB是。的切線，A, B為切點(diǎn)，/APB=60°,連接PO并延長(zhǎng)與。O交于C 點(diǎn)，連接AC BC.（I ）求/ ACB的大??；ACBP的面積.【答案】（I）60。；（n）3-32【解析】分析：（I）連接 AO,根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理，得到OAL AP, OP平分/APB,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，30。角的直角三角形的性質(zhì)，得到/ ACB的度數(shù)；（II）根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)和等腰三

28、角形的性質(zhì)，結(jié)合等底同高的性質(zhì)求三角形的面積即可.詳解：(I)連接 OA,如圖,.PA、PB是。的切線，OAXAP, OP平分/ APB,一 1 , 一 -/ APO=- / APB=30 ,/ AOP=60 ,1 .OA=OC,2 .Z OAC=Z OCA,，一 1ACO=- AOP=30 ,2同理可得/ BCP=30 ,/ ACB=60 ;(n)在 RtOPA 中，/ APO=30 ,1- AP= 73OA=布,OP=2OA=2,.OP=2OC而 S»A OPA= X 1 3 , 2. SA /J h -3SA AOC= 2 S PACF ,Saac產(chǎn)三3 ,4四邊形ACBP的面

29、積=2SzxACk*3 .點(diǎn)睛：本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟練掌握切線的性質(zhì) 是解題的關(guān)鍵.8.如圖，4ABC內(nèi)接于。O, AB是直徑，O O的切線PC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P, OF/ BC 交AC于點(diǎn)E,交PC于點(diǎn)F,連結(jié)AF.判斷AF與。O的位置關(guān)系并說明理由；(2)若 AC= 24, AF= 15,求 sinB.3【答案】（1） AF與。O相切 理由見解析；（2）-5【解析】試題分析：（1）連接OC,先證/ OCF=90°,再證明AOAF0 OCF,得出/ OAF=Z OCF=90° 即可；OA AF（2）先求出AE、EF,再證明OA

30、74;AAFFE,得出比例式=，可求出半徑，進(jìn)而AF EF求出直徑，由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1） AF與。O相切.理由如下：連接 OC.如圖所示PC 是。O 的切線，OCX PC,/ OCF=90°. .OF/ BC, ，/B=/AOF, /OCB=/COE -OB=OC, / B=/OCB, . / AOF=/COF.在 OAF 和 OCF中，. OA=OC, /AOF=/COF, OF=OF, OAFOCF(SAS , ./ OAF=/OCF=90°,，AF與。O 相切;(2) OAF OCE ./OAE=/COE /. OE±AC, A

31、E=- AC=122OA AE OA 12EF= J152 -122 =9-. /OAF=90 , .OA®AAFE,= 即二一AF EF '159cAC 243.OA=20,AB=40, sinB=,點(diǎn)睛：本題考查了切線的性質(zhì)與判定和全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與 性質(zhì)；熟練掌握切線的證法和三角形相似是解題的關(guān)鍵.19.如圖1,延長(zhǎng)。O的直徑AB至點(diǎn)C,使得BC=£AB,點(diǎn)P是。O上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合），連結(jié) OP, CP.（1） /C的最大度數(shù)為;（2）當(dāng)。的半徑為3時(shí)，4OPC的面積有沒有最大值？若有，說明原因并求出最大值； 若

32、沒有，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2,延長(zhǎng)PO交。O于點(diǎn)D,連結(jié)DB,當(dāng)CP=DB時(shí)，求證：CP是。的切線.圖1圍2【答案】（1） 30。； （2）有最大值為9,理由見解析；（3）證明見解析. 【解析】試題分析：（1）當(dāng)PC與。相切時(shí)，/ OCP的度數(shù)最大，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得；（2）由4OPC的邊OC是定值，得到當(dāng) OC邊上的高為最大值時(shí)， 4OPC的面積最大，當(dāng)PO, OC時(shí)，取得最大值，即此時(shí) OC邊上的高最大，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=DB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/A=/C,得到CO=OB+OB=AB推出AP四 CPO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/CPO=Z APB

33、,根據(jù)圓周角定理得到/ APB=90,即可得到結(jié)論.試題解析：（1）當(dāng)PC與。相切時(shí)，/ OCP最大.如圖1,所示：一 OP 2 1- J. sinZOCP=-=- , .OCP=30OC 4 2/ OCP的最大度數(shù)為 30°,故答案為：30。；（2）有最大值，理由：OPC的邊OC是定值，當(dāng) OC邊上的高為最大值時(shí)，OPC的面積最大，而點(diǎn)P在。上半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) POX OC時(shí)，取得最大值，即此時(shí) OC邊上的高最大， 也就是高為半徑長(zhǎng)，最大值Sopc=1OC?OP=1 X 6X 3=922（3）連結(jié)AP, BP,如圖2,在4OAP與AOBD 中，2AOP=NBOD ,.OAP OBD,

34、 . AP=DB, 、OP=OB PC=DB, .1. AP=PC , PA=PC / A=Z C,BC=1 AB=OB, .1. CO=OB+OB=AB 2AP =CP在 AAPB 和 ACPO 中，/A=C , .APB CPO, . / CPO=/APB,AB =CO. AB 為直徑， ./ APB=90 , Z CPO=90,.PC切。O于點(diǎn)P,即CP是。的切線.0S1圖 210.已知。中，弦AB=AC,點(diǎn)P是/ BAC所對(duì)弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PA PB.（1）如圖，把4ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 AACQ連接PC,求證：/ACP+/ ACQ=180 ；（2）如圖，若/ BAC=60,試探

35、究PA PR PC之間的關(guān)系.（3）若/ BAC=120時(shí)，（2）中的結(jié)論是否成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)直接寫出它 們之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明.pp- 【答案】（1）證明見解析；（2） PA=PB+PC理由見解析；（3）若/ BAC=120時(shí)，（2）中的結(jié)論不成立，、,3 PA=PB+PC【解析】試題分析：（1）如圖，連接PC.根據(jù) 內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì) ”即可證得結(jié)論； （2）如圖，通過作輔助線BGPECE （連接BC,延長(zhǎng)BP至E,使PE=PC連接CEE）構(gòu)建等邊4PCE和全等三角形aBE®APC;然后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和線段間 的和差關(guān)系可以求得 PA=PB+

36、PC（3）如圖，在線段PC上截取PQ,使PQ=PR過點(diǎn)A作AG，PC于點(diǎn)G.利用全等三 角形aABP AAQP （SA§的對(duì)應(yīng)邊相等推知 AB=AQ, PB=PG將PA PR PC的數(shù)量關(guān)系 轉(zhuǎn)化到4APC中來求即可.試題解析：（1）如圖，連接PC. ACQ是由4ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，/ ABP=Z ACQ由圖知，點(diǎn)A、B、P、C四點(diǎn)共圓，丁./ACP+/ABP=180 （圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)），丁./ACP+/ ACQ=180 （等量代換）；（2） PA=PB+PC理由如下：如圖，連接BC,延長(zhǎng)BP至E,使PE=PC連接CE.,弦人8=弦 AC, / BAC=60, .A

37、BC是等邊三角形（有一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形）. A、B、P、C四點(diǎn)共圓，BAC+/ BPC=180 （圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）， . / BPC-+Z EPC=180,BAC=Z CPE=60,. PE=PC PCE是等邊三角形，CE=PC / E=/ ECP4 EPC=60;又. / BCE=60 + /BCP, / ACP=60 +/ BCP, /. / BCE之 ACP （等量代換）,CE = PCI在 ABEC 和 AAPC 中，/BCE=NACP ,BEC APC （ SAS ,. BE=PAAC = BCJPA=BE=PB+PC（3）若/ BAC=120時(shí)

38、，（2）中的結(jié)論不成立， 用PA=PB+PC理由如下： 如圖，在線段PC上截取PQ,使PQ=PB,過點(diǎn) A作AG, PC于點(diǎn)G. . / BAC=120 , / BAC+Z BPC=180, . . / BPC=60 .,弦 人3=弦人。. / APB=/APQ=30 .PB-PQ在4ABP和 4AQP中，/APB=/APQ , .ABP AQP （SA。,AP = AP .AB=AQ, PB=PQ （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），AQ=AC （等量代換）.在等腰4AQC中，QG=CG在 RtAPG 中，/ APG=30 ,貝U AP=2AG, PG=73 AG,PB+PC=PG- QG+PG+C

39、G=PG- QG+PG+QG=2PG=2 3 AG,3PA=2.3AG,即.3 PA=PB+PC【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵要能掌握和靈活運(yùn)用圓心角、弧、弦間的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等11.如圖，4ABC內(nèi)接于。O, /BAC的平分線交。O于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E ( BE> EQ , 且BD=2石.過點(diǎn)D作DF/ BC,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F.(1)求證：DF為。的切線；(2)若/ BAC= 60°, DE=用,求圖中陰影部分的面積.【答案】(1)詳見解析；(2) 9 -2k(1)連結(jié)OD,根據(jù)垂徑定理得到 ODLBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

40、ODLDF,根據(jù)切線的判定定理證明;(2)連結(jié)0B,連結(jié)0D交BC于P,作BHLDF于H,證明OBD為等邊三角形，得到 /ODB=60 , OB=BD=2Q,根據(jù)勾股定理求出 PE,證明ABaAFD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE,根據(jù)陰影部分的面積 =4BDF的面積-弓形BD的面積計(jì)算.證明：(1)連結(jié)0D,. AD平分/ BAC交。0于D, . / BAD=Z CAD,ODXBC,ODXDF, ，DF為。0的切線;(2)連結(jié) OB,連結(jié) OD交BC于P,作BHLDF于H,BAC=60 , AD 平分/ BAC,Z BAD=30 ,Z B0D=2Z BAD=60 ,. OBD為等邊三角形，Z

41、ODB=60 , OB=BD=2百，Z BDF=30 ,1. BC/ DF,Z DBP=30 ,1 L在 RtDBP 中，PD=BD=J5 , PB=J5PD=3, 2在 RtDEP中，: PD=6，DE=", PE=（7）2 一（,3）2 =2， .OPXBC,BP=CP=3 .CE=3- 2=1 , / DBE=Z CAE, / BED=Z AEC,.BD& ACE, .AE: BE=CE DE,即 AE: 5=1:", .AE=5 77. BE/ DF,.AB& AFD,5,7BEAE5Y-=,即=尸,DFADDF12 57解得DF=12, 在 RtB

42、DH 中，BHBD=73,2，陰影部分的面積 二 BDF的面積-弓形 BD的面積=4BDF的面積-(扇形 BOD的面積- BOD的面積） ，12,正一6° 242 一心（2a2 =973-2. 23604【點(diǎn)睛】考查的是切線的判定，扇形面積計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等 邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定定理，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.12.如圖，已知 AB是。的直徑，P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， PC切。于點(diǎn)C, CD±AB,垂 足為D.(1)求證：/ PCA= /ABC；(2)過點(diǎn)A作AE/ PC交。于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)M,若/ CAB= 2

43、/B, CF =J3,求陰影部分的面積.【答案】（1）詳見解析；（2）67： -3.3（1）如圖，連接 OC,利用圓的切線的性質(zhì)和直徑對(duì)應(yīng)的圓周角是直角可得/PCA=/ OCB,利用等量代換可得/ PCA=Z ABC.（2）先求出 OCA是等邊三角形，在利用三角形的等邊對(duì)等角定理求出FA=FC CF=FM,然后分別求出AM、AC、MO、CD的值，分別求出Sg0E、§S形boe、SBM的值，利用Sfe影部分=S0E * S扇形BOE - S會(huì)BM ,然后通過計(jì)算即可解答【詳解】解：（1）證明：連接OC,如圖， PC 切。O 于點(diǎn) C,OCL PC, / PCA+Z ACO=90o,.

44、AB 是。的直徑， ./ ACB=Z ACO+OCB=90o/ PCA=Z OCB, . OC=OBJ / OBC=Z OCB, .Z PCA=Z ABC; . ACB 中，/ ACB= 90o,/CAB= 2 / B,./ B= 30o,ZCAB= 60o/. OCA是等邊三角形, . CD±AB,.-.Z ACD+/CA4 / CAA / ABC= 90o, / ACA / B= 30o,1. PC/ AEJ/ PCA= / CA30o,.,. FC=FA, 同理，CF= FM,. . AM = 2CF=273,RtA ACM 中，易得 AC=2V3 X =3= OC, / B=

45、 / CAE= 30o,. / AOC=Z COE=60o,/ EOB=60oJ / EAB=Z ABC=30oJ MA=MB, 連接OM,EGL AB交AB于G點(diǎn)，如圖所示， .OA=OB,，MO LAB,，MO = OA< tan30o=73 ,CD8 EDO(AAS)3EG=CD=ACsin60o= 一擊,1S ABM = 2 AB MO - 3、/3 ,同樣，易求S.AOE=9，S®形 BOE60 二 32一 360.S _S , S S 9 .3 3-三 6二 -3、3 SK影部分 一 S A0E S!形 BOE - S ABM = -33=.424【點(diǎn)睛】本題考查了

46、切線的性質(zhì)、解直角三角形、扇形面積和識(shí)圖的能力，綜合性較強(qiáng)，有一定難 度，熟練掌握定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.13.如圖，AB為1_0的直徑，C、D為1_0上異于A、B的兩點(diǎn)，連接CD ,過點(diǎn)C作CE _LDB ,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E ,垂足為點(diǎn)E ,直徑AB與CE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F .（1）連接 AC、AD ,求證：/DAC+NACF =180， 若 /ABD =2/BDC.求證：CF是L 0的切線.3當(dāng)BD=6, tan F =一時(shí)，求CF的長(zhǎng).4一，一，20【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；CF二欠.(1)根據(jù)圓周角定理證得/ ADB=90,即ADLBD,由CH DB證彳導(dǎo)AD/

47、CF,根據(jù)平行線 的性質(zhì)即可證得結(jié)論；(2) 連接OC.先根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形外角的性質(zhì)得出/3=2/ 1,由已知/4=2/1,得到/ 4=/3,則OC DB,再由CH DB,得到OC，CF,根據(jù)切線的判定即可 證明CF為。O的切線；由 CF/ AD,證出/ BAD=/F,得出 tan Z BAD=tanZ F=-BD-=-,求出 AD=4 BD=8,利AD 43 一OC 3 用勾股定理求得 AB=10,得出OB=OC=, 5,再由tanF=-,即可求出 CF.CF 4【詳解】解：(1) AB是|_0的直徑，且D為|_0上一點(diǎn)， J./ADB=90)：CE _LDB ,二/ DEC =90&

48、#176;,二 CF /AD ,DAC ACF =180 .(2)如圖，連接OC.：OA = OC ,，1=N2.；/3 = /1+/2 , 3=2 1.；/4 = 2/BDC,2BDC =N1,4 =2/1 ,:/4 = /3, .OC /DB.'：CE -LDB ,OC - CF .又；oc為L(zhǎng)o的半徑，二CF為L(zhǎng) 0的切線.由（1）知 CF /AD , ./BAD =4 ,3二 tan/BAD =tanF =,4BD 3AD 4*BD =64j. AD = BD =8 , 3二 AB =J62 +82 =10，OB = OC=5., OC _LCF , OCF =90°

49、,.tanF =OCCF-220解得CF =20. 3【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是(2)中，需要運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結(jié)果.14.如圖，4ABC中，AC=BC= 10, cosC= 3 ,點(diǎn)P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) A、C重合)，5以PA長(zhǎng)為半彳5的。P與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)為 D,過點(diǎn)D作DEL CB于點(diǎn)E.(1)當(dāng)。P與邊BC相切時(shí)，求。P的半徑.接寫出x的取值范圍.(3)在(2)的條件下，當(dāng)以 所得的公共弦的長(zhǎng).(2)連接BP交DE于點(diǎn)F,設(shè)AP的長(zhǎng)為x, PF的長(zhǎng)為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直奮用圖5xy =3x 20PE長(zhǎng)為直彳5的。Q與OP相交于AC邊上的點(diǎn)G時(shí)，求相交Jx2 -8x + 80 ; (3) 50 -1075 .【解析】【分析】 3(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點(diǎn)為 H,圓的半徑