2017年福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、2017年福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（考試時(shí)間：5月14日上午8：3011：00）一、選擇題（每小題6分，共36分）1已知集合，則集合中所有元素的和為（ ）A B0 C2 D3【答案】 B 【解答】由，得。又。因此。所以，集合中所有元素的和為0。2已知正三棱錐的三條側(cè)棱、兩兩互相垂直，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐的體積為（ ） A B C D【答案】 C 【解答】設(shè)，則三棱錐外接球的半徑。（第2題圖）由，得。 ，三棱錐的體積。3已知為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，且，則的取值范圍為（ ）A B C D【答案】 C 【解答】 由，得 ， ，即，解得或。 的取值范圍為。4、是兩條不重

2、合的直線，、是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中，正確的命題的個(gè)數(shù)是（ ）（1）對(duì)、外任意一點(diǎn)，存在過(guò)點(diǎn)且與、都相交的直線；（2）若，則；（3）若，且，則；（4）若，則。 A1 B2 C3 D4【答案】 B （第4題圖）【解答】（1）不正確。如圖，在正方體中，取為直線，為直線。過(guò)點(diǎn)的直線如果與直線相交，則在內(nèi)，此時(shí)與直線不相交。（2）、（3）正確。（4）不正確。如圖，正方體的面內(nèi)取兩條與平行的直線，如圖中的直線與，則有，但與面相交而不平行。5已知函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，則的最小值為（ ）A B C D【答案】 A 【解答】 依題意，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。 ，。于是，解得。，時(shí)，。 ，即。此時(shí)，符合題

3、意。 ，即時(shí)，取最小值。6已知，若，且，則的最小值為（ ）A B C D【答案】 D 【解答】 由，得。 。設(shè)，則。 ， ，解得，即，。 ，即。 ，即。由，知，。 ，解得。因此，。又當(dāng)時(shí)，代入前面解得，。符合題設(shè)要求。 的最小值為。二、填空題（每小題6分，共36分）7已知定義在上的函數(shù)（，且）的值域也是，則的值為 。【答案】 【解答】當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，依題意有，方程組無(wú)解。當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，依題意有，解得。所以，。8如圖，在三棱錐中，。設(shè)與所成的角為，則的值為 ?！敬鸢浮?【解答】如圖，取中點(diǎn)，連接，。 ， ，。 ，。（第8題圖）又由，知是等邊三角形。作于，則，且。 是與所稱的角。 。（第

4、8題圖）9已知，點(diǎn)在線段內(nèi)，且平分，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ?！敬鸢浮?【解答】如圖，方程為，設(shè)（）。又直線方程為，方程為，平分。 點(diǎn)到直線、距離相等。 。（第9題圖）解得，（舍去）或。因此，點(diǎn)坐標(biāo)為。10設(shè)是定義在上以2為周期的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減。若，則不等式組的解集為 ?！敬鸢浮?【解答】 是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減。 在區(qū)間上為增函數(shù)。又是以2為周期的周期函數(shù)， 在區(qū)間上為增函數(shù)。又，以及是以2為周期的偶函數(shù)。 ，。又， 不等式組的解集為。11已知，定義，則 ?！敬鸢浮?【解答】 依題意，有，一般地，有。所以，。12已知，且，則的最大值為 ?！敬鸢浮?【解答】由，知，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)

5、，等號(hào)成立。所以，的最大值為。三、解答題（第13、14、15、16題每題16分，第17題14分，滿分78分）13已知，且當(dāng)時(shí)，恒成立。（1）求的解析式；（2）已知、是函數(shù)圖像上不同的兩點(diǎn)，且。當(dāng)、為整數(shù)，時(shí)，求直線的方程?！窘獯稹浚?）依題意，。 ，且。 。 4分此時(shí)，可見(jiàn)在區(qū)間上的最小值為。 的對(duì)稱軸為，即，。 。 8分（2）由（1）知，。同理。 ， 。 。 12分又、為整數(shù)，且， ，或，或。結(jié)合，得，。 、坐標(biāo)分別為、。 直線的方程為。 16分14過(guò)直線：上一點(diǎn)作圓：的兩條切線、，、為切點(diǎn)。（1）在上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若直線過(guò)原點(diǎn)，求點(diǎn)的坐

6、標(biāo)?！窘獯稹浚?）假設(shè)符合條件的點(diǎn)存在。則由，知。 ， 。 4分另一方面，由圓心到直線的距離，知。即，矛盾。因此，假設(shè)不成立。 符合條件的點(diǎn)不存在。 8分（2）設(shè)為直線上一點(diǎn)。則。 點(diǎn)、在以為圓心，半徑為的圓上，即點(diǎn)、在圓上，即圓上。又點(diǎn)、在圓：上，即圓上。將上述兩圓方程聯(lián)立，消二次項(xiàng)，得。 直線方程為。 12分由直線過(guò)原點(diǎn)知，。聯(lián)立，解得，。 點(diǎn)的坐標(biāo)為。 16分15如圖，為銳角三角形，于，為的垂心，為的中點(diǎn)。點(diǎn)在線段上，且。（1）求證：；（2）求證：?！窘獯稹浚?）由條件知， 、四點(diǎn)共圓。 。 4 分 為的中點(diǎn)， ，。延長(zhǎng)交于點(diǎn)。由為的垂心知，。（第15題圖） 。 。又， 。 8分（2）由

7、（1）知，。又， 。 。 12分又，（第15題圖） 。又， 。 。 16分 16已知為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，。（1）若函數(shù)恰有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）記為函數(shù)的所有零點(diǎn)之和。當(dāng)時(shí)，求的取值范圍。 【解答】 （1）如圖，作出函數(shù)的草圖。（第16題圖）由圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)。因此，或。 4分（2）由的圖像可知，當(dāng)時(shí)，有6個(gè)不同的零點(diǎn)。 8分設(shè)這6個(gè)零點(diǎn)從左到右依次設(shè)為，。則，是方程的解，是方程的解。 。 12分 時(shí)， 。 時(shí)，的取值范圍為。 16分17設(shè)集合是一個(gè)由正整數(shù)組成的集合，且具有如下性質(zhì)： 對(duì)任意，在中去掉后，剩下的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)； ，且是中最大的數(shù)。求的最大值。（符號(hào)表示集合中元素