插值法及數(shù)值微分

1、第二章 插值法與數(shù)值微分 插值法是函數(shù)逼近的重要方法之一，有著廣泛的應(yīng)用 。在生產(chǎn)和實(shí)驗(yàn)中，函數(shù)f(x)其表達(dá)式復(fù)雜不便于計(jì)算或者無(wú)表達(dá)式而只有函數(shù)在給定點(diǎn)的函數(shù)值(或其導(dǎo)數(shù)值) ，此時(shí)我們希望建立一個(gè)簡(jiǎn)單的而便于計(jì)算的函數(shù)(x)，使其近似的代替f(x)，有很多種插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛頓(Newton)插值為代表的多項(xiàng)式插值最有特點(diǎn),常用的插值還有Hermit插值,分段插值和樣條插值.求近似函數(shù)的方法求近似函數(shù)的方法:由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量的方法得到所求函數(shù)由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量的方法得到所求函數(shù) y=f(x) 在互異點(diǎn)在互異點(diǎn)x0 , x1, . , xn 處的值處的值 y0 , y

2、1 , , yn ,構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) (x) 作為函數(shù)作為函數(shù) y=f(x) 的近似表達(dá)式的近似表達(dá)式y(tǒng)= f(x) (x)使使 (x0)=y0 , (x1)=y1 , , (xn)=yn ,(a)這類問題稱為這類問題稱為插值問題插值問題。 f(x) 稱為稱為被插值函數(shù)被插值函數(shù)， (x) 稱為稱為插值函數(shù)插值函數(shù)， x0 , x1, . , xn 稱為稱為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)。(a)式稱為式稱為插值條件插值條件。常用的插值函數(shù)是多項(xiàng)式。常用的插值函數(shù)是多項(xiàng)式。插值的任務(wù)插值的任務(wù)就是由已知的觀測(cè)點(diǎn)就是由已知的觀測(cè)點(diǎn),為物理量為物理量(未知量未知量)建立一建立一個(gè)簡(jiǎn)單的、連續(xù)的解析

3、模型，以便能根據(jù)該模型推測(cè)該物個(gè)簡(jiǎn)單的、連續(xù)的解析模型，以便能根據(jù)該模型推測(cè)該物理量在非觀測(cè)點(diǎn)處的特性理量在非觀測(cè)點(diǎn)處的特性。 最簡(jiǎn)單的插值函數(shù)是代數(shù)多項(xiàng)式最簡(jiǎn)單的插值函數(shù)是代數(shù)多項(xiàng)式 Pn(x)=a0+a1x+anxn, . (1)這時(shí)插值問題變?yōu)檫@時(shí)插值問題變?yōu)?求求n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式Pn(x),使?jié)M足插值條件使?jié)M足插值條件 pn(xi)=yi, i= 0,1,2,，n, (2) 只要求出只要求出Pn(x)的系數(shù)的系數(shù)a0 ,a1, an即可即可, ,為此由插值條件為此由插值條件(2)(2)知知P Pn n(x)(x)的系數(shù)滿足下列的系數(shù)滿足下列n+1n+1個(gè)代數(shù)方程構(gòu)成的線性個(gè)代數(shù)方程構(gòu)

4、成的線性方程組方程組 a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 .a0+a1xn+anxnn=yn (3) 而而ai(i=0,1,2,n)的系數(shù)行列式是的系數(shù)行列式是Vandermonde行行列式列式 = (4)由于由于xi互異，所以互異，所以(4)右端不為零，從而方程組右端不為零，從而方程組(3)的解的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。解出存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n), Pn(x)就就可構(gòu)造出來了。但遺憾的是可構(gòu)造出來了。但遺憾的是方程組方程組(3)是病態(tài)方程組是病態(tài)方程組,當(dāng)階數(shù)當(dāng)階數(shù)n越越高時(shí)，病態(tài)越重高時(shí)，病態(tài)越重。為此我們從另一途徑來。為此

5、我們從另一途徑來尋求獲得尋求獲得Pn(x) 的方法的方法-Lagrange插值和插值和Newton插插值。值。xxxxxxxxxxxxnn2nnn1211n0200n10.1.1.1),.,V(niijjixx110)( 2.1 線性插值線性插值 先從最簡(jiǎn)單的線性插值先從最簡(jiǎn)單的線性插值(n=1)開始。這時(shí)插值問題開始。這時(shí)插值問題(2)就是求一次多就是求一次多項(xiàng)式項(xiàng)式P1(x)=a0+a1x 使它滿足條件使它滿足條件P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 ,令令P1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1 ,由于由于l0(x0)=1, l0(x1)=0,l0(x0)=0, l1(x1)=1

6、. 這樣這樣l0(x)含有因子含有因子x-x1, 令令 l0(x)=(x-x1), 再利用再利用 l0(x0)=1確定其中的確定其中的系數(shù)，結(jié)果得到系數(shù)，結(jié)果得到x-x1 l0(x)=- ,x0-x1類似的可得到類似的可得到 x-x0 l1(x)=- , x1-x0這樣這樣x-x1 x-x0P1(x)=-y0 + -y1 , x0-x1 x1-x0 l0(x), l1(x)稱為以稱為以x0 , x1 為節(jié)點(diǎn)的為節(jié)點(diǎn)的插值基函數(shù)插值基函數(shù)。(x0 ,y0)(x1 ,y1)P1(x)f(x)Newton插值Newton插值把直線方程利用點(diǎn)斜式表示：把直線方程利用點(diǎn)斜式表示：101001010001

7、0( )()()()()yyxyxxxxf xf xyxxxx由于函數(shù)由于函數(shù)f(x)在在xi,xj處一階均差的定義是處一階均差的定義是：( )()( ,)ijijijf xf xf x xxx（）（）因此因此, , 是是f(x)f(x) 在在 x x1 1 , x, x0 0處的一階處的一階均差，均差， 利用均差的對(duì)稱性利用均差的對(duì)稱性， （）（）式可以表示為：式可以表示為：這種形式的插值叫做牛頓（這種形式的插值叫做牛頓（NewtonNewton）插值插值0101)()(xxxfxf10001( )()() ,xf xxxf x x定理定理2.12.1：設(shè)給定 x x0 x1 y y0y1

8、是過x0,x1的線性插值函數(shù)，a,b是包含(x0,x1)的任一區(qū)間，并設(shè) 在a,b上存在，則對(duì)任意給定 , 總存在一點(diǎn) 使 且可以證明： 1( ) x( ) , ,( )f xC a bfx , xa b , a b101( )( )( )( )()()2!fR xf xxxxxx210max()|( )|( )|8xxR xfxaxbroll定理 如果函數(shù)f(x)滿足： 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)； 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)； 在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(ab)，使得 f()=0 2.2 二次插值二次插值 線性插值是用兩點(diǎn) 和 來構(gòu)造y=f(x)

9、的插值函數(shù)，下面用三個(gè)點(diǎn) 來構(gòu)造y=f(x)過三點(diǎn)的插值函數(shù)。（過三點(diǎn)可以作一條拋物線）。00(,)xy11( ,)x y011122( ,),( ,),( ,)x yx yx y22012( )xaa xa x 構(gòu)造l0(x):由于l0(x)有x1和x2二個(gè)零點(diǎn)，因此有因子(x-x1)(x-x2)，又因有l(wèi)0(x）是一個(gè)次數(shù)不高于二次的多項(xiàng)式，所以，還可能相差一個(gè)常數(shù)因子，于是把l0(x）寫成：20010202101 1212201222yaa xa xyaa xa xyaa xa x當(dāng)當(dāng)012,x x x互異時(shí)方程組的解唯一互異時(shí)方程組的解唯一為了確定系數(shù)將三點(diǎn)代入方程得：x0 x1x2

10、f(x)f(x)拋物插值拋物插值2( ) x利用條件 ，可求得：那么x0點(diǎn)的二次插值基函數(shù)為：同理構(gòu)造 為：012( )()()lxA xxxx0( )1lx 01011()()Axxxx1200102()()( )()()xxxxlxxxxx12( ), ( )l x lx02110120122021()()( )()()()()( )()()xxxxl xxxxxxxxxlxxxxx插值函數(shù)： 牛頓二次插值多項(xiàng)式：假設(shè)過 的二次插值多項(xiàng)式具有下面的形式：確定系數(shù)A,B,C：利用 我們有：20 11 12 2( )( )( )( )xy l xyl xy l x001122(,),( ,),

11、(,)xyx yxy2001( )()()()xAB xxC xxxx200()xy2000()()Axyf x再利用 有： B =最后 確定C：（為一階均差的均差）其中 211( )xy1211010()()()()f xxyf xB xx20201020212021()()() ( ,)()()()()f xf xxxf x xCxxxxxxxx202020()(),f xf xf xxxx010110)()(,xxxfxfxxf202110210,xxxxfxxfxxxf200121,f xxf xxxxf xi, xj , xk 為f (x)在點(diǎn)xi, xj, xk處的二階差商一般的稱

12、為f (x)在點(diǎn)x0, x1, xn處的n階差商。于是得到二次牛頓插值多項(xiàng)式： , ,ijjkijkikf x xf x xf x x xxxnnnnxxxxxfxxxfxxxf02111010,2001001201( )( ) , () , , ()()xf xf x x x xf x x x x x x x例題：例題： 例例1: 已給已給sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274, 用線性插值及拋物插值計(jì)算用線性插值及拋物插值計(jì)算 sin0.3367 的值并估計(jì)截?cái)嗾`差。的值并估計(jì)截?cái)嗾`差。 解：解： 由題意取由題意取x0=0.3

13、2, y0=0.314567 , x1=0.34 ,y1=0.333487 , x2=0.36 , y2=0.352274 。 用線性插值及拋物插值計(jì)算，取用線性插值及拋物插值計(jì)算，取 x0=0.32 及及 x1=0.34 , 又由公式得又由公式得 0110101100.33670.3367sin0.3367(0.3367)0.330365xxPyyxxxx其截?cái)嗾`差為其截?cái)嗾`差為其中其中 ，因，因 f(x)=sinx，f/(x)= -sinx，可取可取，于是，于是 R1(0.3367) = sin 0.3367 P1(0.3367) 1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033) 0

14、.92 105，若取若取x1=0.34，x2=0.36為節(jié)點(diǎn)，則線性插值為為節(jié)點(diǎn)，則線性插值為，)(2)(1021xxMRxxx)(/10max2xfxxxM211121sin0.33670.3367(0.3367)10.0187870.333487( 0.0033)0.3303870.02()yyyxPxx3335. 0)(110)(max2xSinxxxxSinM其截?cái)嗾`差為其截?cái)嗾`差為，其中其中于是于是 用拋物插值計(jì)算用拋物插值計(jì)算 sin0.3367時(shí)，可得時(shí)，可得)(2)(2121xxMxxxR3523.0)(/102maxxfMxxx51036.1)0233.0)(0023.0)(

15、3523.0(21)3367.0(3367.0sin)3367.0(11LR021201010210120122021444()()()()sin0.33672()()()()()()()()0.7689 103.89 100.3145670.3334870.00080.00040.5511 100.3522740.3303740.0008(0.3367) yxxxxxxxxxxyPxx xxxx xxxxyxx xx這個(gè)結(jié)果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說明這個(gè)結(jié)果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說明查表時(shí)用二次插值精度已相當(dāng)高了。其截?cái)嗾`差得查表時(shí)用二次插值精度已相當(dāng)高了。其

16、截?cái)嗾`差得其中其中于是于是828. 0)(0cos/20max3xxMfxxx62210178. 0)0233. 0)(033. 0)(0167. 0)(828. 0(61)3367. 0(3367. 0sin)3367. 0(LR30122( )|()()()6|xxxxxxxMR例例2: 2: 已測(cè)得某地大氣壓強(qiáng)隨高度變化的一組數(shù)據(jù)已測(cè)得某地大氣壓強(qiáng)隨高度變化的一組數(shù)據(jù)高度高度(m) 0 100 300 1000 1500 2000 .壓強(qiáng)壓強(qiáng) (kgf/m2) 0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485 試用二次插值法求試用二次插值法求1200米處

17、的壓強(qiáng)值米處的壓強(qiáng)值.解：設(shè)x為高度，y為大氣壓強(qiáng)的值， 選取(1000,0.8515) ,(1500,0.7984), (2000,0.7485)三點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式 (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x- x1) p2(x)=- - y0 + - y1 + - y2 (x0- x1)(x0-x2) (x1 -x0)(x1 -x2) (x2-x0)(x2- x1)代入已知的數(shù)值，得 p2(1200)=0.8515(1200-1500)(1200- 2000)/(1000-1500)(1000-2000)+0.7984(1200-1000)(1200-2000

18、)+0.7485(1200-1000)(1200-1500)/(2000-1000)(2000-1500)=300*800*0.8515/500/1000+200*800*0.7984/500/500-200*300*0.7485/500/1000=0.82980所以 y(1200) p2(1200)= 0.82980 (kgf/m2)例3.取節(jié)點(diǎn)x0=0,x1=1和對(duì)建立線性插值多項(xiàng)式和二次插值多項(xiàng)式。解：先構(gòu)造x0=0,x1=1兩點(diǎn)的線性插值多項(xiàng)式。 x01 y1e-1（1）拉格朗日插值多項(xiàng)式先選過(0,1)和(1, e-1)的一次插值函數(shù)01210,1,2xxxxye1001( )(1)

19、,xxlxxxx 0110( )xxl xxxx這樣： =(2)牛頓型插值多項(xiàng)式：因?yàn)?，所以10011( )( )( )xlx yl x y1(1)xex101(,)1f x xe110001( )()() (,)1(1)xf xxxf x xx e 構(gòu)造過01210,1,2xxx的二次插值函數(shù)，因?yàn)?1)拉格朗日二次插值函數(shù)。構(gòu)造過012,x x x 的二次插值基函數(shù)120010202110120122221()()1( )2(1)()()()2()()1( )2 ()()()2()()( )4 (1)()()xxxxlxxxxxxxxxxxl xx xxxxxxxxxlxx xxxxx

20、因此 =因此1211( )2(1)()2 ()22xxxx xe124 (1)x xe（2）牛頓型二次插值函因?yàn)椋?010101111221212110112201202()()(,)1()()( ,)2()(,)( ,)(,)224f xf xf x xexxf xf xf x xeexxf x xf x xf x x xeexx11122( )1(1)(1)(224)xx ex xee 2.3 n次插值設(shè)給定函數(shù)表 xx0 x1xn yy0y1yn要求構(gòu)造一個(gè)插值多項(xiàng)式 滿足條件：（1） 是次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式（2） ( )nx( )nx( )( ),0,1,2,niiixf xyjn把插

21、值多項(xiàng)( )nx表示成01( )nnnxaa xa x寫成方程組形式：20102000nnaa xa xa xy201 12111nnaa xa xa xy2012nnnnnnaa xa xa xy其中系數(shù)行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式當(dāng)互異時(shí)方程組的解存在而且唯一，這說明過n+1個(gè)點(diǎn)的n次插值多項(xiàng)式存在而且唯一， 20002111010211(,)()1nnnijj i nnnnnxxxxxxv x xxxxxxx 拉格朗日型n次插值多項(xiàng)式：（1）先構(gòu)造n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,xn上的n次插值基函數(shù)li(x)（2） li(x)的數(shù)值表： x0 x1 , xn l0(x)

22、1 0 , 0 l1(x) 0 1 , 0 ln(x) 0 0 , 1（3）確定li(x)的零點(diǎn)，構(gòu)造li(x):011( )()()()()iiinl xA xxxxxxxx （4）利用 得：( )1iil x011011()()()()()()()()iiniiiiiinxxxxxxxxAxxxxxxxx0( )( )nni iixyl x（5）這就是拉格朗日型這就是拉格朗日型n次插值多項(xiàng)式的一般形式次插值多項(xiàng)式的一般形式為了得到為了得到n次牛頓型插值多項(xiàng)式次牛頓型插值多項(xiàng)式：（1）構(gòu)造均差表：）構(gòu)造均差表：這里這里 0 x0f x1x1f x01,f x x2x2f x12,f x x0

23、12,f x x x3x3f x23,f x x123,f x x x03,f xx4x4f x34,f x x234,f x x x14,f xx04,f xxx f x一階差商一階差商 二階差商二階差商 三階差商三階差商 四階差商四階差商 01112010,nnnnf x xxf x xxf x xxxx010101020202()(),()(),f xf xf xxxxf xf xf xxxx（2）( )nx Newton-n次插值形式000101012( )()() ,()() ,nxf xxxf xxxxxxf xx x0101()() ,nnxxxxf x xx逐次線性插值（3）0

24、1(1)101201(2)1( )1( )( )nnnnnnnnxxxxxxxxxN次插值表見教材表次插值表見教材表2.700011101()1()f xxxf xxxxx00022202()1()f xxxf xxxxx 例例1:給定數(shù)據(jù)表f(x)=lnx數(shù)據(jù)表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.098611.構(gòu)造差商表2.用二次Newton差商插值多項(xiàng)式，近似計(jì)算f(2.65)的值3.寫出四次Newton差商插值多項(xiàng)式N4(x) 解解:差商表00755. 001646. 006400. 03

25、4495. 009861. 100. 302250. 0073875. 037055. 002962. 180. 2087375. 040010. 095551. 060. 243505. 087547. 040. 278846. 020. 2四階差商三階差商二階差商一階差商iixfxN2(x)=0.87547+0.40010(x-2.40)-0.073875(x-2.40)(x-2.60) f(2.65) N2(2.65)N4(x)= 0.78846 +0.43505(x-2.20） - 0.087375(x-2.20)(x-2.40) +0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2

26、.60) -0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80)073875.037055.002962.180.240010.095551.060.287547.040.2二階差商一階差商iixfx 用代數(shù)多項(xiàng)式作為研究插值的工具，就是所謂的代數(shù)用代數(shù)多項(xiàng)式作為研究插值的工具，就是所謂的代數(shù)插值。插值。 對(duì)代數(shù)插值來說，問題的提法是這樣的，當(dāng)給出了對(duì)代數(shù)插值來說，問題的提法是這樣的，當(dāng)給出了n+1個(gè)點(diǎn)上的一張函數(shù)表后，要構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式個(gè)點(diǎn)上的一張函數(shù)表后，要構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式 (x)，滿滿足下面兩個(gè)條件：足下面兩個(gè)條件： (1) (x)是一個(gè)不超過是一個(gè)不超過 n 次的

27、多項(xiàng)式；次的多項(xiàng)式； (2) 在給定的點(diǎn)在給定的點(diǎn)xi( I =0,1, ,n)上與上與 f(xi)取相同值，取相同值，即即 (xi)=yi (I=0,1, ,n)。 我們稱我們稱 (x) 為為 f(x) 的的，點(diǎn)，點(diǎn) xi 為為。 插值函數(shù)是計(jì)算方法的基本工具。插值函數(shù)是計(jì)算方法的基本工具。若 n 次多項(xiàng)式 lj(x) (j=0,1, ., n)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) x0 x1. xn上滿足條件就稱這n+1個(gè)n次多項(xiàng)式l0(x), l1(x), ,ln(x) 為節(jié)點(diǎn)x0，x1，,xn上的),.,1 , 0,(, 0;, 1)(nijijijxlij ：若在：若在a，b上用上用Pn(x)近似近似 f

28、（x）, 則截?cái)嗾`差為則截?cái)嗾`差為 Rn(x)=f(x) -Pn(x) , 也稱為插值多也稱為插值多項(xiàng)式的項(xiàng)式的。形如形如的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式Pn(x)稱為稱為。0( )( )nniiixxylP2.4 2.4 分段線性插值分段線性插值問題：從余項(xiàng)分析看，插值多項(xiàng)式與被插值多項(xiàng)式逼近的程度是同分點(diǎn)的數(shù)目及位置有關(guān)的，能否說，分點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式對(duì)函數(shù)的逼近程度越好呢？答案是否定的。例 給定函數(shù) 取等距插值節(jié)點(diǎn) 試建立插值多項(xiàng)式 ,并研究它的誤差.21( ), 11125f xxx 21(0,1,10)10ixi i 10( )x例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取21

29、1)(xxf),., 0(105niinxi -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端點(diǎn)附近抖動(dòng)端點(diǎn)附近抖動(dòng)越大，稱為越大，稱為Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象Ln(x) f (x) 分段分段低次低次插值插值在每個(gè)區(qū)間在每個(gè)區(qū)間 上，用上，用1階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式 (直線直線) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf, 1 iixxx記記 ，易證：當(dāng)，易證：當(dāng) 時(shí)，時(shí)，|max1iixxh 0h)()(1xfxPh一致一致失去了原函數(shù)的光滑性。失去了原函數(shù)的光滑性。yxo

30、y= f(x)y=p(x)分段線性插值函數(shù)分段線性插值函數(shù)：設(shè)在區(qū)間a,b上，給定n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值 求一個(gè)插值函數(shù) ，具有下面性質(zhì)： (1)（2） 在每個(gè)小區(qū)間 上是線性函數(shù)，插值函數(shù) 叫做區(qū)間a,b上對(duì)數(shù)據(jù) 的分段線性插值函數(shù)。構(gòu)造 數(shù)值表： 需滿足的條件： 012naxxxxb01,nyyy( )x( ),0,1,2,iixy in( )x1,jjxx( )x,(0,1, )jjxyjn( )il x( )il x101001( )0nxxxxxxxlxxxx11111111( )0 , ,iiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxl xxxxxxa bxx1, 2 ,1i

31、n11101,( )0nnnnnnnxxxxxxxlxxxx圖示0( )l x1x0 xnxnx0 x1ix1ixix( )ilx1nxnxxy( )nlx1分段插值函數(shù)的形式：取等距插值節(jié)點(diǎn)，作分段線性插值函數(shù) ,并計(jì)算 的值。解解 給出區(qū)間-1,0上的函數(shù)表。X -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0Y 0.03846 0.05882 0.10000 0.20000 0.50000 0.00000( )( )ni iixyl x例例3 給定函數(shù)2111125yxx ( )x( 0.9)在0,1區(qū)間上的函數(shù)值可利用對(duì)稱性得到，先構(gòu)造各點(diǎn)的基函數(shù)：根據(jù)公式有：101010( 0.8)

32、0.85(0.8)1 ( 0.8)0.2( )00.81xxxxxxxxxxl xx 11111115(1(1)1 0.2(1)1 0.251( )5(1(1)1 0.21 0.2(1)50 1,1 ,jjjjjjjjjx xxjjxjxxx xl xxjjxjxxxx 10010.8( )5(0.8)0.81xlxxx 那么分段線性插值函數(shù)( )x是0101928( )0.03846( ( )( )0.05882( ( )( )0.10000( ( )( )xlxlxl xlxlxl x34650.20000( ( )( )0.50000( ( )( )( ).1nl xlxlxlxlx計(jì)算

33、當(dāng)x=-0.9的值：( 0.9)0.03846( 5)( 0.90.8)0.058825( 0.91) 0.5 0.038460.5 0.058820.048640與前面的計(jì)算相比，顯然分段插值函數(shù)計(jì)算的結(jié)果是比較滿意的。與前面的計(jì)算相比，顯然分段插值函數(shù)計(jì)算的結(jié)果是比較滿意的。定理定理2.4 設(shè)給定節(jié)點(diǎn)012naxxxxb及相應(yīng)的函數(shù)值01,( ) , ,( )nyyyf xC a bfx在a,b上存在， ( )x是a,b上由數(shù)據(jù) ( ,)(0,1,2, )iix yin構(gòu)成的分段分段線性插值函數(shù).則:證明證明：根據(jù)插值余項(xiàng)定理（2.1）在每個(gè)小區(qū)間上 有由于2|( )| |( )( )|8

34、hR xf xxM其中 1maxmax|,|( )|01iihxxMfxinaxb 1 ,(0,1,1)iix xin211max()|( )|( )|( )8iiiiixxR xfxR xxxx由于由于1( )|( )| |( )( )| |()()|2!iifR xf xxxxxx11222() ()( )|.| |( )|2!22max( )|.| |( )|01888iiiiixxxxfR xfhhfxinhM 定理得證定理得證.2.5 Hermite2.5 Hermite插值插值 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)y=f(x)是是 在在a,b上有一定光滑性的函上有一定光滑性的函數(shù)數(shù),在在xoxn上有上

35、有n+1個(gè)異點(diǎn)個(gè)異點(diǎn),f(x)在這些點(diǎn)上取在這些點(diǎn)上取值值yo.yn.求一個(gè)確定的函數(shù)求一個(gè)確定的函數(shù)p(x)在上面在上面n+1個(gè)個(gè)點(diǎn)上滿足點(diǎn)上滿足p(xi)=yi i=0,1,n.這是最簡(jiǎn)單的插值這是最簡(jiǎn)單的插值問題問題,如果除了知道如果除了知道f(x)在插值基點(diǎn)上的取值外在插值基點(diǎn)上的取值外,還知道還知道f(x)在插值基點(diǎn)上的其他描述在插值基點(diǎn)上的其他描述(如知道如知道f(x)在插值基點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值在插值基點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值)。如何來構(gòu)造插值函。如何來構(gòu)造插值函數(shù)呢?cái)?shù)呢? Hermite插值也叫帶插值也叫帶指定微商值的插值指定微商值的插值,它要它要構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù)構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù),不但在給定節(jié)點(diǎn)上

36、取函數(shù)值不但在給定節(jié)點(diǎn)上取函數(shù)值,而且取已知微商值，使插值函數(shù)和被插函數(shù)的而且取已知微商值，使插值函數(shù)和被插函數(shù)的密和程度更好密和程度更好 。設(shè)給定x0,x1和相應(yīng)的函數(shù)y0,y1以及微商m0,m1,構(gòu)造插值函數(shù)H(x),要求H(x)滿足條件:H(x),是不超過三次多項(xiàng)式,(2) H(x0)=y0 , H(x1)=y1,因?yàn)樵?除函數(shù)值為零外，微商值也是零，所以有 另外， 最多是一個(gè)三次多項(xiàng)式，因此可表示為： 其中：利用 得a=1,在此應(yīng)有 保證 為了確定b對(duì) 求微商： 0mxH 11mxH10,( )x h x21()xx0( )h x210001( )()()xxh xab xxxx0(

37、)1h x 0()xx00()1h x0( )h x20012011( ).().() ()h xab xxxxxx201012011(00().()().2()()xxbxxab xxxxxx把x=x0代入后：20001012011() .().2()()h xb xxaxxxx0120bxx（解出b） 利用00()0h x有：012bxx于是有： ，此外 是一個(gè)不超過三次的多項(xiàng)式，于是函數(shù)可表示為：20101001( )(12)()xxxxh xxxxx同理構(gòu)造1( )h x：20110110( )(12)()xxxxh xxxxx下面構(gòu)造 0( )Hx，因 0( )Hx在01,x x上函

38、數(shù)值為零,在 1x上微商值為零，故有因子 210() ()xxxx0( )Hx210001( )()()xxHxa xxxx同理201110( )()()xxH xxxxx插值多項(xiàng)式可以寫成：001 10011( )( )( )( )( )H xy h xy h xm Hxm H x2.6 分段三次分段三次Hermite插值插值給定給定a,b上的一串分點(diǎn)上的一串分點(diǎn)作一個(gè)分段三次Hermite插值函數(shù)，H（x），要求滿足條件： ,(2)在每個(gè)小區(qū)間 上是三次多項(xiàng)式。 構(gòu)造基函數(shù)：0121nnaxxxxxb及f(x)在分點(diǎn)上的函數(shù)值( )iif xy和微商值 ()(0,1,2, )iifxm i

39、n( ),( ),0,1,2,iiiiH xy H xm in1 ,iix x2010110010(12)() ,( )01nxxxxxxxxxxxh xxx2111012111111(12)() ,( )(12)()0 , ,iiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxh xxxxxxxxa bxx0,1,2,1in2111101(12)() ,( )0nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxh xxxx210010101()() ,( )0nxxxxxxxxxHxxxx2111211111()() ,( )()() ,0 , ,iiiiiiiiiiiiiiixxxxx

40、xxxxxxH xxxxxxxxa bxx1,2,1in211101()() ,( )0nnnnnnnnxxxxxxxxxHxxxx分段三次Hermite插值函數(shù)0( )( )( )niiiiiH xy h xm H x樣條插值函數(shù)（樣條插值函數(shù)（Spline）樣條：這一名詞來源于工程中的樣條曲線，繪圖員為了將樣條：這一名詞來源于工程中的樣條曲線，繪圖員為了將 一些指定點(diǎn)聯(lián)結(jié)成一條光滑曲線，往往用細(xì)長(zhǎng)的木條，一些指定點(diǎn)聯(lián)結(jié)成一條光滑曲線，往往用細(xì)長(zhǎng)的木條，把相近的點(diǎn)聯(lián)接在一起，使之形成一條光滑的曲線。它把相近的點(diǎn)聯(lián)接在一起，使之形成一條光滑的曲線。它的連接點(diǎn)處具有連續(xù)的曲率。的連接點(diǎn)處具有連續(xù)

41、的曲率。 設(shè)在區(qū)間設(shè)在區(qū)間a,b上取上取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn).給定這些點(diǎn)上的函數(shù)值 ,現(xiàn)在要求構(gòu)造一個(gè)三次樣條函數(shù)S（x），使得滿足下列條件：(1)(2)在每個(gè)小區(qū)間 上是一個(gè)三次多項(xiàng)式； (3) .0121nnaxxxxxb( )(0,1,2, )iif xy in( ),0,1,2, ;iis xy in1 ,iix x2 , ( )a bS xc構(gòu)造函數(shù)：假設(shè)在區(qū)間 上三次樣條函數(shù) 存在，并用 來表示 在點(diǎn)xi處的微商值。由于曲線通過點(diǎn) ,并且在每一個(gè)小區(qū)間 上滿足條件： 故可利用Hermite插值公式寫出小區(qū)間 上的三次樣條函數(shù) 的計(jì)算公式： , a b( )S xim( )S x( ,

42、)(0,1,2, )iix yin1 ,iix x1111( )()( ),()iiiiiiiiS xyS xyS xmS xm1 ,iix x( )S x2111( )(12)()iiiiiiixxxxS xyxxxx21111(12)()iiiiiiixxxxyxxxx211()()iiiiixxxxmxx2111()()iiiiixxxxmxx求樣點(diǎn) 上微商值 ，在樣點(diǎn) 上對(duì)x求微商，并令 得： (0,1, )ix inimix1iiihxx112323612612( )()()iiiiiiiiSxxxyxxyhhhh11222626()()iiiiiiiiixxmxxmhhhh1123

43、23612612()()()iiiiiiiiiiiSxxxyxxyhhhh11222626()()iiiiiiiiiixxmxxmhhhh1122261242iiiiiiiiyymmhhhh 由于二階微商連續(xù)，因此 即1123231111612612()()()iiiiiiiiiiiSxxxyxxyhhhh112211112626()()iiiiiiiiiixxmxxmhhhh112211116624iiiiiiiyymmhhhh()()SxSx112211116624iiiiiiiiyymmhhhh11226642iiiiiiiiyymmhhhh 整理：方程兩邊同時(shí)除以2得：22111133

44、12iiiiiiiiyymmhhhh11223322iiiiiiiiyymmhhhh 112211111113()3()11112()iiiiiiiiiiiiiyyyyhhmmmhhhh將方程兩端同時(shí)乘以 得：左端： 其中： 令11iiiihhhh111111133.().()iiiiiiiiiiiiiihhhhyyyyhh hhh h11113()()iiiiiiiiyyyyhh11iiiihhh11iiiihhh11113()()iiiiiiiiiyyyyhh右端： 111111111.2.iiiiiiiiiiiiiiihhhhhhmmhhhhhhh1111.iiiiiihhmh hh11

45、1112iiiiiiiiihhmmmhhhh11(1)2iiiiimmm建立的方程組為： （*） 這是一個(gè)n+1個(gè)未知量 的n+1個(gè)線性方程組，方程組有無(wú)窮多個(gè)解，為了確定唯一解，補(bǔ)充兩個(gè)邊界條件。 常見的邊界條件有：（1）曲線在兩端點(diǎn)x0,xn處的切線斜率已知，即 已知，那么由 構(gòu)成的n-1個(gè)方程的方程組解唯一。（2）函數(shù)在兩端點(diǎn)x0和xn處二階微商的零，即 或，由我們推得 的方程得：11(1)1,2,1iiiiiimmmin01,nm mm00(), ()nns xm s xm01,nm mm00nyy0()()0ns xs x()()0s xs x于（*）式聯(lián)立，也可唯一解出未知數(shù) ,利

46、用 的條件有： 利用 的條件有：0110011132()32()nnnnnmmyyhmmyyh01,nm mm0()0Sx001012200006642()0Sxyymmhhhh 010103()2yymmh()0nSx1112211116624()0nnnnnnnnnSxyymmhhhh11132()nnnnnmmyyh解三對(duì)角方程組的求解過程其中 方程組寫為： 001012(1)2nnnnmmmm0010101331,0,(),()nnnnnyyyyhh00101011212122322(1)2(1)2mmmmmmmm121111(1)2(1)2nnnnnnnnnnmmmmm求遞推公式：將

47、 代入上列方程組，并加以整理得： 記作以此類推得到： 其中 這樣，就可以逐個(gè)解出mi。00100001010222mmmmA mB 00,A B121AmB1101121010(1)2(1)2(1)BmmAA 1,0,1,1iiiimAmB in1,2(1)iiiiAA11(1),2(1)iiiiiiBBA11(1)2(1)nnnnnnnBmBA計(jì)算三次樣條的步驟：（1）根據(jù)給定點(diǎn) 及相應(yīng)的邊界條件計(jì)算方程組及邊界條件系數(shù) 。（2）在給定的邊界條件下解方程組，計(jì)算 。（3）由求得的 ，求出小區(qū)間 上的樣條函數(shù) 。（4）計(jì)算區(qū)間上的樣條插值函數(shù) 。*應(yīng)當(dāng)指出，樣條函數(shù)不一定必須是逐段三次多項(xiàng)式，也可以逐段是一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，且連續(xù)點(diǎn)保持足夠的光滑。但三次多項(xiàng)式計(jì)算簡(jiǎn)單，且滿足一般實(shí)際問題的要求，故用得最多。( ,)iix y,ii 01,nm mmim1 ,iix x( )s x( )s xnnnnnMMMM110110n1 -n221102)1 ( 2 )-(1 2 )-(1 2)1 (2算法算法（1） i = 1, 2, , nhi = xi xi-1 （2） i = 1, 2, n（3）解n 1階三對(duì)角方程組，得M1 , M2 , Mn-1 代入端點(diǎn)條件計(jì)算M0 , Mn1111)(6iiii