數(shù)字信號(hào)課件：數(shù)字信號(hào)習(xí)題3

1、第三章習(xí)題講解第三章習(xí)題講解1,04( )0,nnx nn其他3設(shè) 4( )(2)h nR n令 ， ，6( )( )x nx n6( )( )h nh n試求 與 的周期卷積并作圖。 ( )x n( )h n解：10( )( ) ()Nmy nx m h nm1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 01 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 11 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 00 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 2

2、3 4 5 0 3 4 5 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1n m/x n mhm1hm2hm3hm4hm5hm/h n m14 12 10 8 6 10 ( )y n4. 已知 如圖P3-4（a）所示，為 ，試畫出 ， ， ， ， ， 等各序列。 1,1,3,2( )x n5()xn66()( )xnR n33( )( )x nR n6( )x n55(3)( )x nR n77( )( )x nR n5()xn6( )x n66()( )xnR n55(3)( )x nR n33( )( )x nR n77( )( )x nR n5. 試求以下有限長序列的 點(diǎn) （閉

3、合形式表達(dá)式）：NDFT0( )cos()( )Nx nan Rn(1) 10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：002101()( )2NjnkjnjnNNnaeeeRk2100cos()( )NjnkNNnan eRk002211()()001( )2NNjknjknNNNnnaeeRk000022()()111( )211jNjNNjkjkNNeeaRkee0000002221 21 21 2()()()2221()2()NNNjjjjkjkjkNNNeeeaeee0000002221 21 21 2()()()222()( )()NNNjjjNjkjkjkNNNeee

4、Rkeee0000112200sin()sin()122( )112sin()sin()22NNjkjjkjNNNNNaeeRkkkNN210( )NjnknNNna eRk(2) ( )( )nNx na Rn10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：21( )1NNjkNaRkae210( )nNjkNNnaeRk210( )( )NjnkNNnx n eRk2100()( )NjnkNNnnn eRk02( )jn kNNeRk(3) 0( )()x nnn00nN10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：1( 2/)01()()NjNn kkx nXke

5、N6. 如圖P3-6（a）畫出了幾個(gè)周期序列 ，這些序列可以表示成傅里葉級(jí)數(shù) ()x n（1）哪些序列能夠通過選擇時(shí)間原點(diǎn)使所有的 成為實(shí)數(shù)？ ( )X k（2）哪些序列能夠通過選擇時(shí)間原點(diǎn)使所有的 （除 外）成為虛數(shù)？( )X k(0)X（3）哪些序列能做到 ，( )0X k 2, 4, 6,.k 為共軛對(duì)稱序列，即滿足實(shí)部偶對(duì)稱，虛部奇對(duì)稱（以 為軸）。( )x n0n 即 是以 為對(duì)稱軸的偶對(duì)稱( )x n0n 解:（1）要使 為實(shí)數(shù)，根據(jù)DFT的性質(zhì):( )X k( )( )Re( )ex nx nX k( )0Im( )0ox njX k( )x n( )x n( )()x nxn又

6、由圖知， 為實(shí)序列，虛部為零，故 應(yīng)滿足偶對(duì)稱： 故第二個(gè)序列滿足這個(gè)條件 為共軛反對(duì)稱序列，即滿足實(shí)部奇對(duì)稱，虛部偶對(duì)稱（以 為軸）。( )x n0n 即 是以 對(duì)稱軸的奇對(duì)稱( )x n0n （2）要使 為虛數(shù)，根據(jù)DFT的性質(zhì):( )X k( )0Re( )0ex nX k( )( )Im( )ox nx njX k( )x n( )x n( )()x nxn 又由圖知， 為實(shí)序列，虛部為零，故 應(yīng)滿足奇對(duì)稱： 故這三個(gè)序列都不滿足這個(gè)條件（3）由于是8點(diǎn)周期序列，其DFS:238104411( 1)( )11j kkjnkjkjkneX keee 當(dāng) 時(shí)， 2, 4, 6,.k 1(

7、)0X k 序列2:32442041( )1jkjnkjkneXkee217800( )( )( )NjnknkNnnX kx n Wx n e序列1:當(dāng) 時(shí)， 2, 4, 6,.k 1( )0X k 序列3:311( )( )(4)x nx nx n根據(jù)序列移位性質(zhì)可知31141( 1)X ( )X ( )X ( )(1)1kj kj kjkkkekee 當(dāng) 時(shí)， 2, 4, 6,.k 3( )0X k 綜上所得，第一個(gè)和第三個(gè)序列滿足 ( )0X k 2, 4,.k 8. 下圖表示一個(gè)5點(diǎn)序列 。( )x n（1）試畫出 ； ( )( )x nx n（2）試畫出 ； ( )x n( )x

8、n（3）試畫出 ； ( )x n( )x n( )( )x nx n ( )x n( )x n ( )x n( )x n9. 設(shè)有兩個(gè)序列( ),05( )0,x nnx nn其他( ),014( )0,y nny nn其他 各作15點(diǎn)的DFT，然后將兩個(gè)DFT相乘，再求乘積的IDFT，設(shè)所得結(jié)果為 ，問 的哪些點(diǎn)（用序號(hào) 表示）對(duì)應(yīng)于 應(yīng)該得到的點(diǎn)。( )f n( )f nn( )( )x ny n解: 序列 的點(diǎn)數(shù)為 ， 的點(diǎn)數(shù)為 ，故 的點(diǎn)數(shù)應(yīng)為( )x n16N ( )y n215N ( )( )x ny n12120NNN 0n 4(1)nNL019(1)N ( )f n( )x n

9、( )y n又 為 與 的15點(diǎn)的圓周卷積，即L15。是線性卷積以15為周期周期延拓后取主值序列混疊點(diǎn)數(shù)為NL20155( )f n5n 14n ( )( )x ny n故 中只有 到 的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于 應(yīng)該得到的點(diǎn)。154(1)LN()L1534(1)LN( )L10. 已知兩個(gè)有限長序列為1,03( )0,46nnx nn1,04( )1,56ny nn試用作圖表示 ， 以及 。( )x n( )y n( )( )f nx n( )y n-3 -2 -10 1 2 3 4 5 67 81 2 3 4 0 0 0-1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1

10、-1 -1-1 -1 -1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 -1 1 1 -1 -1 -1-1 -1 -1 1 1 -1 -1-1 -1 -1 -1 1 1 -1-1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1n m/x n m/y n m 77ymRn 771ymRn 772ymRn 773ymRn 774ymRn 775ymRn7ym 7ym 776ymRn0 4 -2 -10 -10 -8 ( )f n-4 11.已知 是N點(diǎn)有限長序列， ?，F(xiàn)將長度變成rN點(diǎn)的有限長序列(

11、 )x n( )( )X kDFT x n( )y n( ),01( )0,1x nnNy nNnrN試求rN點(diǎn) 與 的關(guān)系。( )DFT y n( )X k解：由210( ) ( )( ),01NjnkNnX kDFT x nx n ekN得10( ) ( )( )rNnkrNnY kDFT y ny n W210( )kNjnNrnx n e10( )NnkrNnx n W, 0,1,.,1klr lNkXr210( )NjnkrNnx n e 在一個(gè)周期內(nèi)，Y (k)的抽樣點(diǎn)數(shù)是X (k)的r倍( Y (k)的周期為Nr)，相當(dāng)于在X (k)的每兩個(gè)值之間插入r-1個(gè)其他值（不一定為零）

12、，而當(dāng)k為r的整數(shù)l倍時(shí)，Y (k)與X (k / r)相等。相當(dāng)于頻域插值210( )( ) 01NjnkNnX kx n ekN, 0,1,.,1klr lN( )kY kXr12. 已知 是N點(diǎn)的有限長序列， ，現(xiàn)將 的每兩點(diǎn)之間補(bǔ)進(jìn) 個(gè)零值點(diǎn)，得到一個(gè)rN點(diǎn)的有限長序列 ( )x n( ) ( )X kDFT x n( )x n1r ( )y n(),0,1,.,1( )0,x n rnir iNy nn其他試求rN點(diǎn) 與 的關(guān)系。 ( )DFT y n( )X k解：由10( ) ( )( ),01NnkNnX kDFT x nx n WkN10( ) ( )( )rNnkrNnY

13、kDFT y ny n W得10()NirkrNix ir r W01krN10( )NikNix i W故( )( )( )NrNY kXkRk 離散時(shí)域每兩點(diǎn)間插入 r -1個(gè)零值點(diǎn)，相當(dāng)于頻域以N為周期延拓r次，即Y(k)周期為rN。10( )( ) 01NnkNnX kx n WkN01krN10( )( )NikNiY kx i W14.設(shè)有一譜分析用的信號(hào)處理器，抽樣點(diǎn)數(shù)必須為2的整數(shù)冪，假定沒有采用任何特殊數(shù)據(jù)處理措施，要求頻率分辨力 ，如果采用的抽樣時(shí)間間隔為0.1ms，試確定：（1）最小記錄長度；（2）所允許處理的信號(hào)的最高頻率；（3）在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)。10Hz解:（1

14、）因?yàn)?，而 ，所以001TF010FHz0110Ts即最小記錄長度為0.1s。（2）因?yàn)?，而31110100.1sfkHzT2shff152hsffkHz即允許處理的信號(hào)的最高頻率為 。5kHz 又因N必須為2的整數(shù)冪，所以一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)為 300.13 1010000.1TNT（ ）1021024N 19. 復(fù)數(shù)有限長序列 是由兩個(gè)實(shí)有限長序列 和 組成的，且已知 有以下兩種表達(dá)式： f n x n 01y nnN f nx njy n F kDFTf n 11111NNkkNNabF kjaWbW 21F kjN 其中 為實(shí)數(shù)。試用 求, a b F k ,X kDFT x n

15、,Y kDFT y n ,x n y n 111 11NNkkNNabF kjaWbW ( ) ( ) ( )( )F kDFT f nDFT x njy n解：由DFT的線性性 ( ) ( )DFT x njDFT y n( )( )X kjY k( ) ( )Re ( )X kDFT x nDFTf n( )epFk*1( )()( )2NNF kFNkRk由共軛對(duì)稱性得*11111( )2 1111NNNNNkkN kN kNNNNababjjRkaWbWaWbW*11111( )2 1111NNNNNkkkkNNNNababjjRkaWbWa Wb W*1( )( )()( )2NNX

16、 kF kFNkRk1( )1NNkNaRkaW10( )NnknNNna WRk1( )1NkNNkNaWRkaW( )( )nNx na Rn( ) ( )Im ( )Y kDFT y nDFTf n1( )opFkj*1( )()( )2NNF kFNkRkj*11111( )21111NNNNNkkN kN kNNNNababjjRkjaWbWaWbW*11111( )21111NNNNNkkkkNNNNababjjRkjaWbWa Wb W1( )1NNkNbRkbW10( )NnknNNnb WRk1( )1NkNNkNbWRkbW( )( )nNy nb Rn*111( )2Nj

17、NjNRk111( )2NjNjN Rk ( )NRk( )( )x nn( ) ( )Re ( )X kDFT x nDFTf n( )epFk*1( )()( )2NNF kFNkRk 21F kjN *111( )2NjNjNRkj111( )2NjNjN Rkj ( )NNRk( )( )y nNn( ) ( )Im ( )Y kDFT y nDFTf n1( )opFkj*1( )()( )2NNF kFNkRk20. 已知序列 現(xiàn)對(duì)于x(n) 的 變換在單位圓上 等分抽樣，抽樣值為 試求有限長序列 , 點(diǎn)。 IDFT X k ,01,nx na u nazN 2jkkNNz WeX

18、 kX zN( )( ), 01nx na u na解：由101( )( )1nnX zx n zaz得11( )( )1kNkNz Wz WX kX zaz11kNaW1111NNkNNkNa WaaW1011NnkNNnaWa1011NnnkNNna Wa1( )( )1nNNIDFT X ka Rna ( )()( )kNnkNz WnX kNWznXX zx對(duì)在單位圓上 點(diǎn)等間隔抽樣，得周期序列：( )X kIDFS的：( )()Nrxnx nrN( )( )( )NNX kX k Rk點(diǎn) ( )( )x nIDFT X k1( )1nNNa Rna( )( )NNxn Rn ()( )n rNNrau nrN Rn0( )n rNNraRn0( )rnNNraaRn26. 研究一個(gè)離散時(shí)間序列 ，由 形成兩個(gè)新序列 和 ，其中 相當(dāng)于以抽樣周期為2對(duì) 抽樣而得到，而 則是以2