高二數(shù)學空間兩條直線人教版知識精講

1、用心 愛心 專心高二數(shù)學高二數(shù)學空間兩條直線空間兩條直線人教版人教版【本講教育信息本講教育信息】一. 教學內(nèi)容： 空間兩條直線 目標：空間兩條直線的位置關系；平行公理；等角定理，異面直線。 重點：平行公理、等角定理、異面直線。 難點：異面直線的判斷及所成角。 知識點： 1. 空間兩條直線的位置關系相交平行共面異面不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線。 2./ / / /平行公理：若，則，其中 、 、 為空間三直線。abcbacabc 3. 等角定理：若一個角的兩邊分別與另一角的兩邊平行，且方向相同，則這兩個角的大小相等。 4. 異面直線的判定定理：經(jīng)過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的

2、直線是異面直線。 B A a 5. 異面直線所成角： 過空間任意一點 O，分別作異面直線 a 與 b 的平行線 a、b，則 a與 b所成的銳角或直角叫做 a 與 b 的（夾角）所成角。 6. 異面直線所成角求法： （1）作角：平移 a 或 b，使 a 與 b 相交，得到所求角。 （2）以該角為一可解三角形一內(nèi)角，解三角形、求角的大小。 注意：若 cos0，則所求角為 -。【典型例題典型例題】 例 1. 在空間四邊形 ABCD 的對角線 BD 上取兩點 M、N，分別過點 M、N 在兩個平面內(nèi)各作一條異于對角線 BD 的直線 ME、NF。求證 ME 和 NF 是異面直線。用心 愛心 專心 A E

3、N B M D F C 證法一：證法一：用判定定理證 NFBCDMBCD平面，平面 且，平面MFNFBCD MEFN與是異面直線 證法二：證法二：反證法： 假設 ME 與 NF 不是異面直線，即 N、F、M、E 四點共面 則平面，且平面，EBCDEBCDEBD 這與 E 不在 BD 上矛盾。 ME 與 NF 是異面直線。 例 2. 在正方體 AC1中，M、N 分別是 A1B1、B1B 的中點，求 （1）AM 和 CN 所成角的大??； （2）AM 和 BD 所成角的大?。?（3）AM 和 BD1所成角的大小。 D1 C1 G A1 B1 M N D C A Q P B 解：解：（ ）在上取點 ，

4、使114ABPBPAB 設 AB=4，則CNP 為 AM 與 CN 所成角 在中，CNPPNCNCP52 517用心 愛心 專心 52208525217205NCPN2PCNCPNCNPcos222 CNParccos25 （2）將 BD 平移至 B1D1，再平移至 MG（G 為 A1D1中點） 則AMG 為 AM 與 BD 所成角。 在中，AMGAMMGAG2 52 22 5 cosAMGAMGMAGAMGM22222082022 52 288 101010 AMGarccos1010 （3）補形如下正方體 BEFCB1E1F1C1 取 B1E1中點 H，則 AM/BH HBDAMBD11為

5、與所成角 BHBDD H2 54 32 1311， cosHBDBHBDHDBHBD1212121220485222 54 31515 HBD11515arccos D1 C1 F1 A1 B1 M H E1 F E C B A D 例 3. 如圖所示，在空間四邊形 ABCD 中，E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點。 （1）求證：EFGH 是平行四邊形。 （2）如果 AC=BD，求證 EFGH 是菱形 （3）如果 ACBD，求證 EFGH 是矩形。用心 愛心 專心 A H E D G B F C 證：證：（ ）11212EHBDFGBD/ EFGH 是平行四邊形。 （ ）又

6、是菱形21212FEACFGBDACBDEFGH/ / / （ ）3FGBDEFACAC BD/ / / EF GHEFGHEFGH由（ ）知為平行四邊形為矩形1 例 4. 若直線平面 ，且平面 ，求證：aalal/ / / l b a c 證：證：過 a 分別作平面 、 使，bc aa/ / /，用心 愛心 專心 abacbcb/ / / / / 又，bl blabal/ / / /又，于是， 例 5. 若三個平面兩兩相交于三條直線，證明這三條直線交于一點或互相平行。 已知：abc， a c b 證明：證明：b 與 c 為共面直線 1. 若bcP bPbP 同理，PPa a、b、c 相交于

7、P 點 2./ / / /若bcbcbaba abc/ / / / P a c b 用心 愛心 專心【模擬試題模擬試題】一. 選擇題 1. 若 a、b 為異面直線，直線 c/a，則 c 與 b 的位置關系是（ ） A. 相交B. 異面 C. 平行D. 異面或相交 2. 兩兩相交的四條直線確定平面的個數(shù)最多的是（ ） A. 4 個B. 5 個 C. 6 個D. 8 個 3. 正方體 ABCD-A1B1C1D1中，所有各面的對角線能與 AB1成 60角的異面直線的條數(shù)有（ ） A. 2 條B. 4 條 C. 5 條D. 6 條 4. 在空間四點中，三點共線是四點共面的（ ） A. 充分必要條件 B

8、. 必要非充分條件 C. 充分非必要條件 D. 既非充分又非必要條件 5. 教室內(nèi)有一把尺子，無論怎樣放置，地面上總有這樣的直線與該直尺所在直線（ ） A. 平行B. 垂直 C. 相交但不垂直D. 異面 6. 如圖所示，點 P、Q、R、S 分別在正方體的四條棱上并且是所在棱的中點，則直線PQ 與 RS 是異面直線的一個圖是（ ） 7. 在空間四邊形 ABCD 的邊 AB、BC、CD、DA 上分別取 E、F、G、H 四點，如果 EF與 HG 交于點 M，則（ ） A. M 一定在直線 AC 上 B. M 一定在直線 BD 上 C. M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上 D. M 不在 AC

9、上，也不在 BD 上 8. 如圖所示是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題： （1）AB 與 CD 所在直線垂直； （2）CD 與 EF 所在直線平行； （3）AB 與 MN 所在直線成 60角； （4）MN 與 EF 所在直線異面。 其中正確命題的序號是（ ）用心 愛心 專心二. 填空題 9. 若 a、b、l 是兩兩異面的直線，a 與 b 所成的角是，所成的角都是3lalb與 、 與，則 的取值范圍是（ ） 10. 如圖所示，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，E、F、G 分別為 AB、BC、CC1的中點，則 EF 與 BG 所成角的余弦值為（ ）三. 解答題 11. 空間四邊形

10、ABCD 中，E、F 分別是 AB、BC 的中點。求證：EF 和 AD 為異面直線。 12. 已知：四邊形 ABCD 中，AB/CD，AB、BC、DC、AD（或其延長線）分別與平面 相交于 E、F、G、H 四點，求證：E、F、G、H 四點共線。 13. ABC 是邊長為 2 的正三角形，在ABC 所在平面外有一點P，延長 BP 至 D，使，E 是 BC 的中點，求 AEPBPC72PA 32BD 7和 CD 所成角的大小。用心 愛心 專心用心 愛心 專心【試題答案試題答案】一. 選擇題 1. D2. C3. B4. C 5. B6. C7. A8. （3） （4）二. 填空題 9. 62， 10. 105三. 解答題 11. 證明：反證若 EF 與 AD 共面 EFABC 平面 ADABC平面 即 ABCD 共面，這與 ABCD 是空間四邊形矛盾 EF 與 AD 異面 A E D B F C 12. 證明； ABCD/ / ABCD