關(guān)于實(shí)數(shù)理論的幾點(diǎn)思考

1、 關(guān)于實(shí)數(shù)理論的幾點(diǎn)思考 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)04級(jí) 鄭維堅(jiān)請(qǐng)證明兩者的等價(jià)性這對(duì)實(shí)數(shù)系來(lái)說，當(dāng)然是這樣。但前三條都與實(shí)數(shù)系的“序”有關(guān)，而柯西列卻與“序”無(wú)關(guān)，所以完備性不叫連續(xù)性一、 實(shí)數(shù)理論的引入實(shí)數(shù)理論的引入是具有其歷史必然性的。盡管牛頓、萊布尼茲早在十七世紀(jì)時(shí)便建立了微積分的演算體系，但這套微積分的概念與演算，是以直觀的基礎(chǔ)的，概念并不準(zhǔn)確，推導(dǎo)公式有明顯的邏輯矛盾。直至19世紀(jì)，矛盾已積累到非解決不可的程度，于是在這種形勢(shì)下，實(shí)數(shù)理論作為極限理論的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)被引入了，并使微積分的演算體系嚴(yán)格化。（以上內(nèi)容參考了數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程）二、 實(shí)數(shù)系各種性質(zhì)的等價(jià)表述概論經(jīng)過這幾個(gè)月來(lái)的學(xué)習(xí)，我

2、對(duì)實(shí)數(shù)理論有了一些自己的體會(huì)。我認(rèn)為，對(duì)實(shí)數(shù)系中與實(shí)數(shù)有關(guān)的各種性質(zhì)（如實(shí)數(shù)連續(xù)性、完備性、實(shí)數(shù)閉區(qū)間的緊致性，連通性等）的描述，無(wú)外乎有兩種方式：一種是用集合的觀點(diǎn)來(lái)闡述，如戴德金分劃，非空有上界的實(shí)數(shù)子集有上確界、有限覆蓋定理、區(qū)間套定理及聚點(diǎn)定理，另一種是用序列的觀點(diǎn)來(lái)描述，如有理數(shù)基本列的等價(jià)類，單調(diào)上升有上界的序列有極限，緊致性定理以及柯西收斂原理。1、實(shí)數(shù)的連續(xù)性對(duì)于數(shù)系的連續(xù)性戴德金是這樣定義的：如果一個(gè)有大小順序的稠密的數(shù)系S，它的任一個(gè)分劃都有S中唯一的數(shù)存在，它不小于下類中的每一個(gè)數(shù)，也不大于上類中的每一個(gè)數(shù)，那么稱數(shù)系S是連續(xù)的。以上的定義是通過集合（即下類與上類）來(lái)表述

3、的，不過我覺得也能按照康托的思路用序列的方式加以定義，即對(duì)于一個(gè)有大小順序的稠密數(shù)系S，若所有（有理數(shù)）基本列的等價(jià)類與S中的所有數(shù)一一對(duì)應(yīng)，則稱S是連續(xù)的。言歸正傳，實(shí)數(shù)連續(xù)性是極限理論的基礎(chǔ)，微積分正是在實(shí)數(shù)系這樣一個(gè)連續(xù)的數(shù)系中才有了大顯身手的舞臺(tái)。關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)性的等價(jià)描述共有三種：(1) 對(duì)于實(shí)數(shù)系的每一個(gè)分劃AB，存在唯一的實(shí)數(shù)r，使得對(duì)任意aA，bB,有arb(2) 非空有上界的實(shí)數(shù)子集必有上確界存在。(3) 單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列必有極限存在。我認(rèn)為其實(shí)柯西收斂原理也反映了實(shí)數(shù)連續(xù)性，而且如果我先前補(bǔ)充的定義可行的話，則康托對(duì)實(shí)數(shù)的定義“每一個(gè)（有理數(shù)）基本列的等價(jià)類都代表一個(gè)實(shí)

4、數(shù)”也可視為實(shí)數(shù)連續(xù)性的一種描述，不過它是建立在另一種定義之上的下面談?wù)勎覍?duì)這三個(gè)等價(jià)描述的理解： （1）很直觀的描述了實(shí)數(shù)連續(xù)性。 （2）（3）的表述則較為“含蓄”一些，其實(shí)（2）與（3）描述實(shí)數(shù)連續(xù)性的思路是一樣的，即表明實(shí)數(shù)系在數(shù)軸上的任何地方都沒有空隙，二者所不同的只是（2）從集合的角度來(lái)描述，而（3）從序列的角度來(lái)表述。課本中已證明了（1）（2），（1）（3）及（2）（3），現(xiàn)在證明（3）（2）。設(shè)M為實(shí)數(shù)子集E的上界，來(lái)證明r = supER。若有E最大值，則此最大值即為上確界。若E無(wú)最大值，任取x0E，將x0，M二等分，若右半?yún)^(qū)間含有E中的點(diǎn)，則記右半?yún)^(qū)間為a1, b1,否則就記

5、左半?yún)^(qū)間為a1,b1。然后將a1,b1再二等分，用同樣的方法選出a2,b2，如此無(wú)限分下去，我們便得到一個(gè)閉區(qū)間的集合an , bn，同時(shí)得到兩串序列an，bn，其中an單調(diào)上升有上界（如b1）, bn單調(diào)下降有下界（如a1），且bn an = ( b1 a1 ) / 2n 0(n時(shí)）。由單調(diào)上升有上界知有r存在，使得r = an , 又bn= an + ( b1 a1 ) / 2n 知對(duì)任意ran , bn (對(duì)任意n) ，又由于an單調(diào)上升，r = an an . 若存在kN , s.t. E中有一點(diǎn)x1r, bk,則按二等分法的規(guī)則，ak r , 這與ran(對(duì)任意n) 相矛盾。所以E中

6、任何一點(diǎn)x r. 又由an= r知對(duì)任意，存在 N，s.t. aNr r.這也就是說存在x2E，s.t. x2 aN r.于是就證明了r 是E的上確界。 2、 實(shí)數(shù)閉區(qū)間的緊致性緊致性是點(diǎn)集拓?fù)渲械母拍?，它是用?lái)描述一類集合的，在Rk中，集合E是緊致的 E是閉且有界的 E的每個(gè)無(wú)限子集在E內(nèi)有極限點(diǎn)。實(shí)數(shù)閉區(qū)間是R中既閉且有界的集合，因此實(shí)數(shù)閉區(qū)間具有緊致性，這是實(shí)數(shù)開區(qū)間所不具備的一個(gè)性質(zhì)。（以上關(guān)于緊致性的介紹參考了Rudin的數(shù)學(xué)分析原理） 對(duì)于實(shí)數(shù)閉區(qū)間的緊致性，我們也可以從集合與序列的角度分別加以描述。(1) 緊致性定理是從序列的角度來(lái)描述實(shí)數(shù)閉區(qū)間緊致性的，下面用緊致 性定理證明單

7、調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列有極限。 設(shè)Xn單調(diào)上升有上界，由緊致性定理， Xn 存在收斂子序列 Xnk ,設(shè)a = Xnk Xn 單調(diào)上升， Xnk 為其子序列對(duì)任意 n n1 , k, s. t. Xnk Xn Xnk+1n 時(shí) k 由夾逼性定理知 Xn存在且等于a(2) 區(qū)間套定理與有限覆蓋定理是從集合的角度來(lái)描述實(shí)數(shù)閉區(qū)間緊致性的。我個(gè)人覺得這兩個(gè)定理是作為一對(duì)矛盾而對(duì)立統(tǒng)一地存在的，理由如下：有限覆蓋定理中描述緊致性的工具是開區(qū)間，而區(qū)間套定理描述緊致性的工具是閉區(qū)間。閉區(qū)間與開區(qū)間本身便是一對(duì)矛盾，對(duì)立而統(tǒng)一的。有限覆蓋定理說的是有限個(gè)小的開區(qū)間覆蓋住一個(gè)大的閉區(qū)間，其功能在于把每一點(diǎn)的局

8、部性質(zhì)轉(zhuǎn)化到整個(gè)閉區(qū)間上，這即是由局部到整體的思想；而區(qū)間套定理說的是一個(gè)大區(qū)間里套一個(gè)小區(qū)間，小區(qū)間里再套一個(gè)小小區(qū)間，如此下去，最后套出一個(gè)點(diǎn)來(lái)，其功能是由點(diǎn)集的整體性質(zhì)得出某一點(diǎn)的局部性質(zhì)，這即是由整體到局部的思想。從以上兩點(diǎn)來(lái)看，有限覆蓋定理與區(qū)間套定理是非常辯證地聯(lián)系在一起的。盡管這兩個(gè)定理歸根到底都是運(yùn)用集合的語(yǔ)言闡述閉區(qū)間的緊致性（這正是它們的“統(tǒng)一”之所在），但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，我們卻可通過它們相互“對(duì)立”的方面來(lái)判斷對(duì)于一個(gè)命題證明用哪一個(gè)定理更方便。1。 對(duì)于那些由整體到局部的命題常常適合用區(qū)間套定理來(lái)證明。如確界定理、單調(diào)有界原理、柯西收斂原理的充分性、緊致性定理、聚點(diǎn)原理都

9、屬于這一類型，它們都指出，在某一條件下，作為整體的實(shí)數(shù)閉區(qū)間中有某種“點(diǎn)”存在（這種“點(diǎn)”包括確界點(diǎn)，極限點(diǎn)，收斂點(diǎn)以及聚點(diǎn)） 下面舉幾個(gè)例子 用區(qū)間套定理證明非空有界的實(shí)數(shù)子集必有上確界： 證明證明過程與本文先前用單調(diào)有界原理證明確界定理的過程大致相同，只是當(dāng)構(gòu)造出區(qū)間套an,bn時(shí)，直接由區(qū)間套定理得出 存在ran,bn (對(duì)任意n )，且 an= bn= r 用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界原理可用的方法構(gòu)造區(qū)間套并由區(qū)間套定理得出an= r對(duì)任意，存在N, s.t. aNr r 存在N0, s.t. XN0 an r rXN0N0時(shí)（XnX N0）有rXnrXn0，x00， s.t. f (x

10、) Mx0 (x(x0x0 , x0 +x0) 設(shè)E = （x0x0 , x0 +x0）x0a,b，則E是a, b的一個(gè)覆蓋，則此時(shí)存在a,b的一個(gè)有限覆蓋： E = （xixi , xi +xi）i = 1,2,n 設(shè)f (x) Mxi , x (xixi , xi +xi）(i = 1,2,n) 記M = max Mxii=1,2,n,則有f (x)M,x(xixi , xi +xi)(對(duì)任意i)。注意到E 構(gòu)成a,b的一個(gè)有限覆蓋，故 f (x) M（xa,b）B、對(duì)于那些由整體到局部的命題常常適合用(運(yùn)用了有限覆蓋定理的)反證法來(lái)證明，即構(gòu)造一個(gè)與欲證結(jié)論有關(guān)的覆蓋，然后再通過子覆蓋的

11、有限性來(lái)推出矛盾結(jié)果。（因?yàn)橛梅醋C法時(shí)，這些由整體到局部的命題又顛倒過來(lái)，變成由局部到整體以至推出矛盾，因此還是適合用有限覆蓋定理）下面舉兩個(gè)例子，用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理。（聚點(diǎn)定理是由點(diǎn)集的整體性質(zhì)得出某一點(diǎn)的局部性質(zhì)） 證： 設(shè)S為直線上的有界無(wú)限點(diǎn)集，于是存在a,b使Sa,b用反證法，假設(shè)a,b中任何點(diǎn)都不是S的聚點(diǎn)，則對(duì)每一點(diǎn)xa,b存在相應(yīng)的x0，使得U(x, x)內(nèi)至多包括S的有限多個(gè)點(diǎn)，令H = U(x, x)xa,b則H是a,b的一個(gè)開覆蓋，由有限覆蓋定理，H中存在有限個(gè)鄰域 U(x1, x1), ,U(xn, xn)，它們構(gòu)成了a,b的有限覆蓋，從而也覆蓋了S，由于每個(gè)鄰

12、域至多含有S的有限個(gè)點(diǎn)，故這n個(gè)領(lǐng)域的并集也至多只含S的有限個(gè)點(diǎn)，于是S有點(diǎn)自己的體會(huì)，不錯(cuò)！集也至多只為有限點(diǎn)集，這與題設(shè)S為無(wú)限點(diǎn)集矛盾，故得證。（此命命題證明參考了裴禮文數(shù)學(xué)分析典型問題與方法） 設(shè)f（x）在a,b上無(wú)界，求證存在ca,b , s.t.對(duì)任意 0,函數(shù)f (x) 在（c , c + ）a,b上無(wú)界（此命題也是由點(diǎn)集的整體性質(zhì)得出某一點(diǎn)的局部性質(zhì)，因此用有限覆蓋定理的反證法） 證：用反證法，設(shè)對(duì)任意xa,b，存在x 0，s.t. f (x)在（xx , x+x）上有界。設(shè)E = （xx, x +x）xa,b,則E是a,b的一個(gè)覆蓋，則此時(shí)存在a,b的一個(gè)有限覆蓋E = （xixi , xi +xi）i = 1,2,n 設(shè)f (x) Mxi ,