量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題

1、量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題1量子力學(xué)習(xí)題課量子力學(xué)習(xí)題課早期量子論早期量子論量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題2基本概念基本概念1. 單色輻出度：單色輻出度：2. 輻出度：輻出度：0( )( )dM TMT3. 德布羅意波：德布羅意波： 單位時(shí)間單位時(shí)間內(nèi)從熱力學(xué)溫度為內(nèi)從熱力學(xué)溫度為T的物體的物體單位表面積單位表面積發(fā)出的波長在發(fā)出的波長在附近單位波長范圍內(nèi)的附近單位波長范圍內(nèi)的電磁波的能量，用電磁波的能量，用M(T)表示。表示。 單位時(shí)間單位時(shí)間內(nèi)從熱力學(xué)溫度為內(nèi)從熱力學(xué)溫度為T的物體的物體單單位表面位表面輻射的各波長電磁波的能量總和。輻射的各波長電磁波的能量總和。與實(shí)物粒子相聯(lián)系的波，又稱為與實(shí)物粒

2、子相聯(lián)系的波，又稱為物質(zhì)波或概率波物質(zhì)波或概率波4. 黑體：黑體：任何溫度下對任何波長的光的吸收比恒等于任何溫度下對任何波長的光的吸收比恒等于1的物體的物體量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題31. 斯特藩斯特藩-玻爾茲曼定律：玻爾茲曼定律： (黑體）黑體） 40( )M TTmTb2. 維恩位移定律：維恩位移定律：m輻出度峰值對應(yīng)波長輻出度峰值對應(yīng)波長3. 普朗克公式及普朗克能量子假說：普朗克公式及普朗克能量子假說：2521( )1hc k ThcMTe基本規(guī)律基本規(guī)律一一. . 黑體輻射基本規(guī)律黑體輻射基本規(guī)律3022( )1hkThMTce量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題4二二. . 光電效應(yīng)光電效應(yīng) 光子

3、的波粒二象性光子的波粒二象性212hmAvA金屬中電子的逸出功金屬中電子的逸出功00UAhK紅限頻率（截止頻率）紅限頻率（截止頻率）光電效應(yīng)的愛因斯坦方程光電效應(yīng)的愛因斯坦方程光子光子Ehhp截止電勢差截止電勢差212cmeUmv0ceUeKeU截止電壓截止電壓INhheK0AeU量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題5三三. . 康普頓效應(yīng)康普頓效應(yīng)1.1.波長改變量與散射物質(zhì)無關(guān)波長改變量與散射物質(zhì)無關(guān)2001 cos2sin2chm c物理本質(zhì)：入射光子物理本質(zhì)：入射光子與自由電子的完全彈性碰撞與自由電子的完全彈性碰撞能量守恒能量守恒：2200hm chmc 動量守恒：動量守恒：00hhnnmcc v

4、式中康普頓波長：式中康普頓波長： c = h /m0 c = 0.0024 nm.2.2.原子量較小的物質(zhì)康普頓效應(yīng)明顯原子量較小的物質(zhì)康普頓效應(yīng)明顯推導(dǎo)過程要推導(dǎo)過程要清晰！清晰！0221/mmvc 量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題6四四. . 玻爾的氫原子理論玻爾的氫原子理論nmhEE3）軌道角動量量子化假設(shè)）軌道角動量量子化假設(shè)2hLrmvnn2）躍遷條件）躍遷條件1.玻爾的量子理論玻爾的量子理論 1）定態(tài)假設(shè)）定態(tài)假設(shè)2.玻爾的氫原子理論結(jié)果玻爾的氫原子理論結(jié)果121nEEn21nrn r113.6 eVE 10.0529nmr 玻爾半徑玻爾半徑基態(tài)能量基態(tài)能量量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題74.記

5、住幾個(gè)重要的結(jié)論記住幾個(gè)重要的結(jié)論 證明汞原子吸收電子的能量是不連續(xù)的實(shí)驗(yàn)證明汞原子吸收電子的能量是不連續(xù)的實(shí)驗(yàn)是是弗蘭克弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)赫茲實(shí)驗(yàn) 玻爾氫原子理論的成功之處提出玻爾氫原子理論的成功之處提出定態(tài)假設(shè)定態(tài)假設(shè)和和能能級躍遷決定輻射頻率級躍遷決定輻射頻率，是現(xiàn)代量子力學(xué)的重要概，是現(xiàn)代量子力學(xué)的重要概念念3.氫原子譜線氫原子譜線22111()mnEERhcmn量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題8五五. . 德布羅意物質(zhì)波假設(shè)德布羅意物質(zhì)波假設(shè)2. 德布羅意關(guān)系式：德布羅意關(guān)系式：1. 德布羅意假設(shè)：德布羅意假設(shè)：2Emchhhhpmv實(shí)物粒子具有波粒二象性實(shí)物粒子具有波粒二象性3. 德布羅意波

6、的統(tǒng)計(jì)解釋：德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋： 在某處德布羅意波的強(qiáng)度與粒子在該處附在某處德布羅意波的強(qiáng)度與粒子在該處附近出現(xiàn)的概率成正比近出現(xiàn)的概率成正比量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題9六六. . 不確定性關(guān)系不確定性關(guān)系粒子位置和粒子位置和動量之間的不確定關(guān)系：動量之間的不確定關(guān)系： 2xxp 物理意義物理意義: (1) 微觀粒子微觀粒子位置和動量不可能位置和動量不可能同時(shí)同時(shí)精確測定精確測定 (2) 微觀粒子不可能靜止微觀粒子不可能靜止零點(diǎn)能零點(diǎn)能的存在的存在 (3) 給出了宏觀物理與微觀物理的分界線給出了宏觀物理與微觀物理的分界線 h2Et 粒子能量和粒子能量和時(shí)間之間的不確定關(guān)系：時(shí)間之間的不確定關(guān)系

7、： xxp xxph 量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題10量子力學(xué)習(xí)題課量子力學(xué)習(xí)題課量子力學(xué)量子力學(xué) 量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題11一一. .量子力學(xué)基本原理之一量子力學(xué)基本原理之一波函數(shù)波函數(shù) 微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)可以用波函數(shù)微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)可以用波函數(shù) 完全完全描述。描述。( , ) r t2,r tr tr t表示表示 t 時(shí)刻時(shí)刻, 微觀粒子在空間微觀粒子在空間 點(diǎn)出現(xiàn)的相對點(diǎn)出現(xiàn)的相對概率密度概率密度。r2) 要求要求2,tr單值單值3) 波函數(shù)的波函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性4) 粒子在空間各點(diǎn)的概率的總和為粒子在空間各點(diǎn)的概率的總和為 1 - 波函數(shù)波函數(shù)歸一化歸一化條件條件1) 空間任何有限體積

8、元中找到粒子的概率為空間任何有限體積元中找到粒子的概率為有限值有限值量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題12二二. .量子力學(xué)基本原理之二量子力學(xué)基本原理之二薛定諤方程薛定諤方程22( , )( , )( , )2ir tU r tr ttm （2）其解波函數(shù)）其解波函數(shù) 是一個(gè)是一個(gè)復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)。只有其模。只有其模方才有直接的物理意義方才有直接的物理意義tr,（1）它的解滿足態(tài)的疊加原理）它的解滿足態(tài)的疊加原理若若 和和 是薛定諤方程的解，是薛定諤方程的解，),(2tr),(1tr則則 也是薛定諤方程的解。也是薛定諤方程的解。),(),(2211trctrc（3）它是）它是非相對論非相對論形式的方程。形

9、式的方程。定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程222( )()( )0mrEUr量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題13 2sin(0)nnxxxaaa 0(0,)nxxxa 本征函數(shù)：本征函數(shù)：本征值：本征值：,.)2, 1(22222nnmaEn1. 一維無限深方勢阱一維無限深方勢阱0 (0)( )(0,)xaU xxxa量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題143. 線性諧振子線性諧振子 mkkxxmxU,2121222零點(diǎn)能零點(diǎn)能(基態(tài)能量基態(tài)能量)為為:210E1,0,1,2,32Enn 能量本征值和零點(diǎn)能能量本征值和零點(diǎn)能2. 方勢壘的穿透方勢壘的穿透 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng) 隧道效應(yīng)是微觀粒子波動性的體現(xiàn)隧道效應(yīng)是微觀

10、粒子波動性的體現(xiàn) 已完全被實(shí)驗(yàn)證實(shí)已完全被實(shí)驗(yàn)證實(shí), 并制成掃描隧道顯微鏡并制成掃描隧道顯微鏡 （STM )量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題15三三. .量子力學(xué)基本原理之三量子力學(xué)基本原理之三力學(xué)量算符力學(xué)量算符1.1.量子力學(xué)中力學(xué)量為什么要用算符代替？量子力學(xué)中力學(xué)量為什么要用算符代替？由于很多力學(xué)量中既有由于很多力學(xué)量中既有“坐標(biāo)坐標(biāo)”，又有，又有“動量動量”，必，必須統(tǒng)一在同一表象中計(jì)算其平均值。須統(tǒng)一在同一表象中計(jì)算其平均值。2.2.給定力學(xué)量，能夠?qū)懗銎鋵?yīng)的算符給定力學(xué)量，能夠?qū)懗銎鋵?yīng)的算符常常用用算算符符piijkixyz (能量算符能量算符) 動量算符動量算符 動能算符動能算符2

11、222222()2mxyz哈密頓算符哈密頓算符222( )( )22pHU rU rmm 22pTm222m量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題16角動量算符角動量算符Lrp i r()xLiyzzy ()yLizxxz ()zLixyyx 2222xyzLLLLijkixyzxyz 位置算符位置算符rr量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題17其平均值其平均值( )nrF的的本征方程本征方程( )( )nnnFrr和本征值和本征值 n可求得本征函數(shù)可求得本征函數(shù)在量子力學(xué)中，力學(xué)量用一個(gè)算符在量子力學(xué)中，力學(xué)量用一個(gè)算符 表示，表示，通過通過F1.當(dāng)體系處在當(dāng)體系處在 n態(tài)時(shí)，態(tài)時(shí)， 力學(xué)量有力學(xué)量有確定值確定值，即

12、，即本征值本征值 n2.當(dāng)體系處在當(dāng)體系處在疊加態(tài)疊加態(tài) 時(shí)，時(shí)，( )( )nnnrCr力學(xué)量一般沒有確定值，力學(xué)量一般沒有確定值，2nnnFC2nC表示粒子處在表示粒子處在 的概率的概率n量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題18基本對易關(guān)系基本對易關(guān)系 , 0 x y ,0yx p ,xx pi ,0zx p,0 xypp,yzxL Li Lh,zxyL Li Lh不對易，不能同時(shí)具有確定值不對易，不能同時(shí)具有確定值,xyzL LL0,2xLL0,2yLL0,2zLL2L因而因而 分別和分別和 同時(shí)有確定值。同時(shí)有確定值。,xyzL LLCABBABA,算符算符 和和 的對易式的對易式AB0C0CAB

13、和和 相互對易相互對易A, B同時(shí)有確定值同時(shí)有確定值A(chǔ), B不能同時(shí)有確定值不能同時(shí)有確定值和和 相互不對易相互不對易AB量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題19四四. 量子力學(xué)中的氫原子問題量子力學(xué)中的氫原子問題1、能量量子化和主量子數(shù)、能量量子化和主量子數(shù)式中式中 n 稱為主量子數(shù)稱為主量子數(shù).n=1, 2, 3, 422220132nmeEn 2、角動量量子化和角量子數(shù)、角動量量子化和角量子數(shù)) 1( llL式中式中 l 稱為角量子數(shù)或副量子數(shù)稱為角量子數(shù)或副量子數(shù).0,1, 2, (1)ln3、角動量空間量子化和磁量子數(shù)、角動量空間量子化和磁量子數(shù)lzmL 式中式中 ml 稱為磁量子數(shù)稱為磁量子

14、數(shù).lml2, 1, 0角動量在空間的取向只有角動量在空間的取向只有 (2l+1) 種可能。種可能。量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題20施特恩施特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)蓋拉赫實(shí)驗(yàn)烏倫貝克和高斯密特假設(shè)烏倫貝克和高斯密特假設(shè) - 電子自旋假設(shè)電子自旋假設(shè)自旋磁量子數(shù)自旋磁量子數(shù)21sm4、電子自旋、電子自旋電子自旋角動量在外磁場方向上的分量電子自旋角動量在外磁場方向上的分量 zsSm 自旋角動量大小自旋角動量大小3(1)4Ss s自旋量子數(shù)自旋量子數(shù)s=1/25、原子的電子殼層結(jié)構(gòu)、原子的電子殼層結(jié)構(gòu)主量子數(shù)：主量子數(shù)：n=1, 2, 3, 4, K, L, M, N 最大電子數(shù)：最大電子數(shù)：2n2角量子數(shù)：角量

15、子數(shù)：l=0, 1, 2, 3, s, p, d, f 最大電子數(shù)：最大電子數(shù)：2(2l+1)量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題21四個(gè)量子數(shù)四個(gè)量子數(shù) (1) 主量子數(shù)主量子數(shù) n 大體上確定原子中電子的能量大體上確定原子中電子的能量 (2) 角量子數(shù)角量子數(shù) l 確定電子的軌道角動量確定電子的軌道角動量 (3) 磁量子數(shù)磁量子數(shù) ml 確定軌道角動量在外磁場方向上的分量確定軌道角動量在外磁場方向上的分量 (4) 自旋磁量子數(shù)自旋磁量子數(shù) ms 確定自旋角動量在外磁場方向上的分量確定自旋角動量在外磁場方向上的分量電子以四個(gè)量子數(shù)為標(biāo)志的可能狀態(tài)數(shù)分布如下：電子以四個(gè)量子數(shù)為標(biāo)志的可能狀態(tài)數(shù)分布如下：

16、n , l , ml 相同相同 ，但，但 ms 不同的可能狀態(tài)有兩個(gè)。不同的可能狀態(tài)有兩個(gè)。 n , 相同相同 ，但，但 l , ml ，ms 不同的狀態(tài)有不同的狀態(tài)有 1202(21)2nlln 個(gè)，組成一個(gè)殼層。個(gè)，組成一個(gè)殼層。 n , l , 相同相同 ，但，但 ml ，ms 不同的可能狀態(tài)有不同的可能狀態(tài)有 2( 2l +1)個(gè)，個(gè)， 組成一個(gè)次殼層。組成一個(gè)次殼層。量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題221）全同粒子系）全同粒子系四四. 量子力學(xué)基本原理之四量子力學(xué)基本原理之四全同粒子體系全同粒子體系全同粒子所組成的體系中，任意二全同粒子相互交全同粒子所組成的體系中，任意二全同粒子相互交換位置

17、，不引起體系物理狀態(tài)的改變。換位置，不引起體系物理狀態(tài)的改變。全同性原理全同性原理全同粒子系的特征：全同粒子系的特征：全同粒子系波函數(shù)具有的交換對稱性。全同粒子系波函數(shù)具有的交換對稱性。全同粒子：全同粒子：量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題23在一個(gè)原子系統(tǒng)內(nèi)，不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子具有在一個(gè)原子系統(tǒng)內(nèi)，不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子具有相同的狀態(tài)，亦即相同的狀態(tài)，亦即不可能不可能具有具有完全相同完全相同的的四四個(gè)量子數(shù)。個(gè)量子數(shù)。 a. a.泡利不相容原理泡利不相容原理原子系統(tǒng)處于正常狀態(tài)時(shí)，每個(gè)電子趨向占有原子系統(tǒng)處于正常狀態(tài)時(shí)，每個(gè)電子趨向占有最低的能級最低的能級b.b.能量最小原理能量最小原

18、理2）原子中的電子分布）原子中的電子分布可用可用（ n+0.7 l ) 的值確定能級的高低。的值確定能級的高低。能級能量高低次序如下：能級能量高低次序如下：1 , 2 , 2 , 3 , 34 , 3, .sdsspsp量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題24基本問題基本問題1 1熱輻射問題熱輻射問題4. 氫原子中譜線波長、能級躍遷頻率、電離能及氫原子中譜線波長、能級躍遷頻率、電離能及定態(tài)能級的計(jì)算定態(tài)能級的計(jì)算2. 光電效應(yīng)問題光電效應(yīng)問題3. 康普頓效應(yīng)問題康普頓效應(yīng)問題5. 德布羅意波長的計(jì)算德布羅意波長的計(jì)算6. 測不準(zhǔn)關(guān)系的簡單應(yīng)用測不準(zhǔn)關(guān)系的簡單應(yīng)用量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題25(1) (1)

19、定態(tài)薛定諤方程對一維問題的簡單應(yīng)用定態(tài)薛定諤方程對一維問題的簡單應(yīng)用基本問題基本問題2 2一維無限深勢阱薛定諤方程解的物理意義一維無限深勢阱薛定諤方程解的物理意義諧振子的能量諧振子的能量隧道效應(yīng)及掃描隧道顯微鏡隧道效應(yīng)及掃描隧道顯微鏡一維定態(tài)問題解所得結(jié)果的量子圖象與經(jīng)典圖像區(qū)別一維定態(tài)問題解所得結(jié)果的量子圖象與經(jīng)典圖像區(qū)別(2) 四個(gè)量子數(shù)及其物理意義四個(gè)量子數(shù)及其物理意義(4) 電子自旋及施特恩電子自旋及施特恩-格拉赫實(shí)驗(yàn)格拉赫實(shí)驗(yàn)(5) 原子的電子殼層結(jié)構(gòu)，泡利不相容原理，能量最低原理原子的電子殼層結(jié)構(gòu)，泡利不相容原理，能量最低原理(3) 量子力學(xué)中的算符量子力學(xué)中的算符量子力學(xué)習(xí)公式概

20、念和習(xí)題26例例1: 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)基態(tài)氫原子可吸收能量為實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)基態(tài)氫原子可吸收能量為12.75ev的光子的光子. (1)試問氫原子吸收該光子后將被激發(fā)到哪個(gè)能級試問氫原子吸收該光子后將被激發(fā)到哪個(gè)能級? (2)受激發(fā)的氫原子向低能級躍遷時(shí)受激發(fā)的氫原子向低能級躍遷時(shí),可能發(fā)出哪幾可能發(fā)出哪幾 條譜線條譜線? 定性畫出能級圖以及躍遷圖定性畫出能級圖以及躍遷圖. (3)在該能級上電子軌道半徑，電離能是多少？在該能級上電子軌道半徑，電離能是多少？ (4)與該能態(tài)對應(yīng)的極限波長是多少？與該能態(tài)對應(yīng)的極限波長是多少？量子力學(xué)習(xí)公式概念和習(xí)題27例例2. H2分子中原子的振動相當(dāng)于一個(gè)諧振子，其勁度分子中原子的振動相當(dāng)于一個(gè)諧振子，其勁度系數(shù)為系數(shù)為 k=1.13103N/m，質(zhì)量是，質(zhì)量是m=1.6710-27kg。此分子的能量本征值（以此分子的能量本征值（以eV為單位）多大？當(dāng)此諧為單位）多大？當(dāng)此諧振子由某一激發(fā)態(tài)躍遷到相鄰的下一激發(fā)態(tài)時(shí)，所放振子由某