專題九解析幾何第二十五講直線與圓答案

1、專題九解析幾何第二十五講直線與圓答案局部1. A【解析】圓心(2.0)到直線的距餉=2+( 伐- 21=2 血,72所以點(diǎn)P到直線的距藹 心w返3珈.根據(jù)直線的方程可知 A , B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A( 2,0), 3(0,-2),所以 AB 1=2A,所以MB啲而積S=J ABd =嚴(yán).因?yàn)樯絜返2 丁所以S e2, 6,即AABP面積的取值范圍是2, 6.應(yīng)選A. J【解析】線的普通方程為x + y 2 = 0,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2+v2 = b 22.圓心為C(l,0),半徑為1,點(diǎn)C到直線x+y-2 =0的距離d =ll +2lA2 21=2以IAB豳？ 2 vT2由題土一得m

2、.=I cos。一 zsinO 2 I I 也 sin。一 cos6+ 2 I C【解析】 3.I &+ 1( z " sin&- cos&) + 2lJ F+1J2F+IJ nF +1(其中 cos0= / :,sin (p =|_ 廠 +sin(Q_0) +21>/ +1),T 1 Wsin( & 0) W1,.I2AA2 + 1 I 一2 + J +i 2 + 如 +1 =cij_ 、-m2Vnr+1?當(dāng)加=0時，d取得最大值3,應(yīng)選C.4. A【解析】以線段 AA為直徑的圓是x2+y2 = n2,直線bx-ay+2ab = 0與圓相切,

3、C I所以圓心到直線的距離 d= -=a= = a.整理為a2=3by/A+b1HP a2 =3(6/2 小=>2彳=3c2?即 _ = _ ,e =汞,A. a2 3 a 35. A【解析】如圖建立直角坐標(biāo)系，那么A(O,1) , 5(0, 0) , D(2,l) , P(x, y),由等而積法可得圓的半彳錯 所以圓的方程為(x-2)2 + /=所以AP = (x 9y-l) 7 AB = (09-ljT AD = (2 9 0),f x= 2/ x £由育=AAB + pAD0 '所以兄 1+= X 兮 +1設(shè) z = y + 即一一 y+l z = 0,2點(diǎn)P(x

4、,y)在圓上，所以圓心到直線亍-,+1-2 = 0的距離小于半徑，所以12-乙12艮解得所肌的最大值為3,即2 + /的最大值為3,選A.6. D【解析】(-2,-3)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3),設(shè)反射光線所在直線為I _3k _ 2 _ 3 Iy + 3 = k(x - 2),即好一 y-2R-3 = 0,貝一/ °1,y/k215A+51= JFAT,解得 k =-347. A【解析】設(shè)所求直線的方程為2x + y + c = 0(cHl),那么=f所以A/22 + 12C=故所求直線的方程為 2x+y+5 = 0或2x+y-5 = 0.2 28. C【解析】設(shè)過三點(diǎn)的圓

5、的方程為x + y +Dx + Ey + F=0 ,f D + 3E+F + 0 = 0貝U UD + 2E + F+20 = 0 ,解得 D = -2,E = 4,F = -20 ,D-7E+F+50 = 0所求圓的方程為疋+) , 2 一"+4)'-20 = 0,令x = 0,得b+4y-20 = 0,設(shè) M(O,yJ, MO,%),那么才 + > '2 = 一 4 ,升少二一 20,所以IMV 1=1 >-y 2i=曲+審-4小討9. C【解析】圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2) 2+(y-l) 2=4,圓心為C(2,l),半徑為r = 2,因此 2 + ax

6、l_l=0, a = - , 即 A(-4, l),= QAC,_ / = J(_4_2 于 + (_1 _F _4 = 6. 選 C.10. A【解析】當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)時，圓上存在點(diǎn)N(1,0),使得ZOMN = 45 ；所以氐=1符合題意，排除B、D ；當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(、任1)時，0M=過點(diǎn)M作圓0的一條切線 MN',連接 ON',那么在 Rt OMW sin ZOMM =小，貝ijZOMMv。，故此時在圓 O上不存在點(diǎn)N ,使得ZOMN = 45°即x =邁不符 合題意，排除 C, 應(yīng)選 A.11. D 【解析】直線 /過點(diǎn)(0,3),斜率為 1,所以直

7、線/的方程為 x->- + 3=0.12. B 【解析】因?yàn)閳A C 的圓心為 (3, 4), 半徑為 1, IOCI=5, 所以以原點(diǎn)為圓心、以加為半徑與圓C有公共點(diǎn)的最大圓的半徑為 6,所以加的最大值為6,應(yīng)選B.13. C【解析】由題意得 0(0,0)八2(3,4), r,= l,r 2= A25 - m ,I CjC 2l=打 + 門=1+J25 - ? = 5 ,所以加=9 .7t 7t14. D【解析】設(shè)直線/的傾斜角為由題意可知Amin= 0A|ax=2x_= ?6315. B【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l)2+(y-l)2=2-?,那么圓心C(-1J),半徑/?滿足那么圓心

8、C到直線x+y + 2 = 0的距離=yf +所以 r2=4 + 2 = 2-a,故 a = 416. B【解析】易知直線x + ? = 0過左點(diǎn)A(0,0),直線沈一)，一加+ 3 = 0過泄點(diǎn)B(l,3),且龍sin(ZPAB+_)兩條直線相互垂直，故點(diǎn) P在以A3為直徑的圓上運(yùn)動，cos ZPAB+ ABI sin ZPAB =尿eV6?2Ab 應(yīng)選 B.17. A【解析】由題意可知以線段 AB為直徑的圓C過原點(diǎn)O,要使圓C的面積最小，只需圓C得走的半徑或直徑最小.又圓C與直線2x + y-4 = 0相切，所以由平面幾何知識，知圓的直徑的最小值為點(diǎn)O到直線2x + y - 4 = 0的距

9、離，此時2廠=圓C的面積的最小值為 S=rrF = l兀？518. A【解析】根據(jù)平面幾何知識，直線A3 泄與點(diǎn)(3, 1), (1,0)的連線垂直，這兩點(diǎn)連線的斜率為，故直線AB的斜率一定是-2 ,只有選項(xiàng)A中直線的斜率為-2 .219. A【解析】圓6 Q的圓心分別為Ci, Ci.由題意知IPMRPGI 1, IPNRPC2I-3,AIPA/I+ PN>PCi 14-IPC2I-4,故所求值為 IPCil+IPC 21-4 的最小值.又G關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為C3(2, 3),所以 IPGI+IPC2I-4 的最小值為 IC3C2l-4= 7 (2-3)2+(-3-4) 2 - 4 =邁

10、一 4,應(yīng)選A.1+4? 5胡廠C【解析】圓心(1,2),圓心到直線的距離 =7= =1,半徑r = V5，所以最J5后弦長為2J(3P 1，=4.B【解析】(1)當(dāng)y = ax + bA A(-LO )與3C的中點(diǎn)D時，符合要求，此/?= I3當(dāng)y = ov + b 位于位置時 A-",0"I" 4*',I T I 11 7T+T 7T+T 11b2令當(dāng) y = ax + b位于位置時一'l-b a + bnrr'=_ 得"=/ a > 0/?v _2l 2b2令S = 1 ,KP 1 (-h八b-b心匕MS 2 2 +1

11、 1- 丿 2化簡得-a2=2b2-4b+V : a>0,A 2/? 2-4Z? + l<0, 解得 1 - F < b<1+ FT V綜上：1-Jlvbv丄，選B2 222. B【解析】點(diǎn)M(“, b)在圓？ + /= 1夕卜，? .a2+b2> 1 .圓0(0,0)到直線+ by = 1 距離d = .一 <1=圓的半徑，故直線與圓相交？所以選B.)a 2+ b223. C【解析】設(shè)直線斜率為R,那么直線方程為y-2 = k(x-2),即kx-y + 2-2k = 0 ,圓心(1,0)到直線的距離 X : 2 - 2*| = &即 _:的=小，解

12、得?=-.因?yàn)橹?腫+1 VP+1 2 線與直線ax-y+=0垂直，所以k = - L=- L即d = 2,選C.a 224. A【解析】？?？圓心到直線的距離等于r = l,排除B、C:相切于第一象限排除 D,選A.直接法可設(shè)所求的直線方程為：y = -x + k(k>0),再利用圓心到直線的距離等于r = l,求得 k = A2.25. C【解析】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為,設(shè)Ax ,B(X29y2),那么因?yàn)?IAfl=3IBFI,所以 “+1= 3(吃 + 1)，所以 x =3x2+2,因?yàn)?I y I =3 II ? x =9 x > 所以 x =

13、3? x =，當(dāng) x =3 時，y =1212122 亍 I |所以此時 >'i = ± W2 = ± 2yj3 ,假設(shè) >'!= 2 y/3 ?那么 A(3，&/5),B(_,二A1),此時kAB = A3，此時直線方程為y =-1)。假設(shè)刃=-2,那么A(3,-尹),卑,華)，此時&防不?此時直線方程為y = -73(x-l).所以/的方程是y = J亍(x 1)或)，=J亍(x 1),選C.26. A【解析“直線厶：=0與直線厶：x+("+1 4 = 0平行的充要條件是“+1) = 2解得，a = l或。=一 2,

14、所以是充分不必要條件。27. D【解析?.?直線伽 +1 壯+( +1), -2 二 0 與圓(x-l) 2弦 A 的長 AB = 2>Jr -d =2八?30. A【解析設(shè)點(diǎn)c(r,r2),直線A3的方程是x + y 2 = 0, 143 1伍，由于AABC的而積為2,貝J這個三角形中AB邊上的髙力滿足方程1 x2A7/ = 2,即h=2l lr + r-21由點(diǎn)到直線的距離公式得血 =,即lr+r-2l=2,解得有4個實(shí)根，V2故這樣的點(diǎn)C有4個.31? B【解析C:(x 1)2+), = 1, C表示兩條直線即x軸和直線/ : y = m(x+),1 2+(y-l) 2=l 相切，

15、二圓心(1,1)到直線的距離為d j)+E+m二1,所以加=m + “ +1 <(m +，1嚴(yán)，J(m+1)2+5+1 尸2設(shè) t=m + n,那么 lr >/+1,解得/w(y),2 2JT u2+2/7+ S).4'28. A【解析要使直線將圓形區(qū)域分成兩局部的而積之差最大，必須使過點(diǎn)P的圓的弦長達(dá) 到最小，所以需該直線與直線OP垂直即可.又點(diǎn)P(l? l)，那么k°P = ,故所求直線的 斜率為-1 ?又所求直線過點(diǎn)A1.1),故由點(diǎn)斜式得.所求直線的方程為一仁一(兀一 1),即x + y 2 = 0?應(yīng)選A.|-5|29. B【解析圓x2 + y2= 4的

16、圓心0(0,0)到直線3x + 4y-5 = 0的距離二1顯然X軸與G有兩個交點(diǎn)，由題意/與C?相交，所以G的圓心到/的距離 =丨 ？( 1)01 < .=解得聽(£巴又當(dāng)川=o時，2yJm33直線/與x軸重合，此時只有兩個交點(diǎn)，不符合題意.應(yīng)選B.32. D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),即所求圓的圓心，又圓過原點(diǎn)，所以圓的半徑為尸=1,故所求圓的方程為(x-l)2+y2 = l,即蘭一2r + F=0,選D.33? D【解析】設(shè)圓心 0(么0)<0),那么循=，川,即1。仁5,解得？ = -5 ,所以VI2+22圓0的方程為(x + 5) 2+y2= 5 .

17、乳3【解析】因?yàn)锳B CD = 0.所以A3丄CD,又點(diǎn)C為A3的中點(diǎn)，所以設(shè)直線/的傾斜角為直線 AB的斜率為那么tan A=2 , k = tan(&+蟲)=一 3?又405,0),所以直線A3的方程為y = -3(x-5),又A為直線/ : y = 2x上在第一象限f y = 3(x 5)x = 3內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立直線 A3與直線/的方程，得2八-解得？，所以點(diǎn)A的I y =y=6橫坐標(biāo)為3.35. -5 亦【解析】設(shè) P(x,y),由PA? PB 20,得 2r y + 5W 0,如圖由2x y + 5 W 0可知，P在MN匕2x-y + 5 = 0由 I，夕“,解得 M (1,7

18、), N( 5, 5),If + )廠=50所以P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范用為一 5返1: ?36. ( I > (x-l) 2+(yV2) 2=2； (II)?【解析】由題意，設(shè)C(l,r) (/?為圓C的半徑)，因?yàn)锳B仁2,所以= yJl 22 =A2 ,所以圓心C(l,dT故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2 + (y-八)2=2.x = 0(II)由彳fx = 0,解得廠或?y = y/2 +1(x_l)-+ (y_Q , 2因?yàn)锽在A的上方，所以A(0,A-l). 3(0,血+ 1).不妨令直線MN的方程為x = 0,M(0, l)N(0,l),所以 皿人=屁 MB=2 + 邁，NA=2-

19、邁，NB=邁,所以所以INB IIMAI /r,所以地一理=咅_(后1) = 2IMAI 2-血正確結(jié)論的序號.2產(chǎn)解析】圓心(2-1)到直線x + 2y-3=0的距離12-2-313曲大+ 2), 3 = 0被圓仗一 2)2+? + 1)2=4 截得的弓玄長為2 38. 4 ±15【解析】由題意知圓心 C(l"到直線Q+y 2 = 0的距 離等于不即 11 : "-21 =館，解得 “土后？ J/+139. 2【解析】由題意得，直線/截圓所得的劣弧長為'，那么圓心到直線/的距離為£,:上! = £,得a = h同理可得b2= 1,那么

20、/+尸=2.* a/2 240. (x-2)2 + (y-l)2=4【解析】設(shè)圓心為(2?b),那么圓的半徑為2 ，圓心到x軸的距離為方，所以2j4bj =2仃0,解得b=l,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為41. # + ( > ，一 1)2=1【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y = A對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),所以所求 圓的圓心為(0,1),半徑為1,于是圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為F +(y i)2=i?42. 0或6【解析】圓C:的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l)2+(y-2)2=9 ,所以圓心為C( 1,2),半徑為3?因?yàn)锳C丄BC ,所以圓心C到曲線x v + " = 0的距離詛32即1-2 +化

21、護(hù),所以“或6.243.【解析】設(shè) M x, v，貝U F + b = l$ = l &戸 +%+ b 295+4x222 2 2 2 2 2 2IMBI x一b-+y_x> - 2bx + +1犬-b-+l2bxA-I MA2 x + 2 2 + y2 x2 +4x + 4 + l-x 25 + 4x 2?.?久為常數(shù)，.？ .b2 + /2 + l = 0,解得 b = -'_ 或 =一 2 舍去，.？.才=一 1 1_2 2241 1解得2 = _或z = -_ 舍去.2 244? 4炳【解析】圓心為(3, 4),半徑為5 ,圓心到直線y = 2x + 3的距禽為所

22、以弦長1 = 2擰一圧=4躬.45. 4【解析】由題意圓心到該直線的距離為L而圓半徑為$>2,故圓上有4個點(diǎn)到該 直線的距離為1.46-恥圖圓心？ 2倒直線的距離杯寧",圓的半徑為2,刪所求弦長為2>/22-a2 =2邁47. 1【解析】當(dāng)加=0時，兩直線不垂直，故加工0?因?yàn)橹本€x 2y + 5 = 0與直線1 ? 1 2 2x + my - 6 = 0的斜率分別為和二,由_ x (二)=一 1 ,故加=1 ?2 m2 m48. (x-2)2 + y2 = 10【解析】以題意設(shè)圓 C的方程為(x-a) + y =r,把所給的兩點(diǎn)2(5 匕) +1 =r ( a = 2坐

23、標(biāo)代入方程得V,解得V ,所以圓。(x-2)2 + y2 = 10 .t(l-6/f+9 = r廠=1049. x2+/ = 2【解析】由題意可知原點(diǎn)到直線x+y-2 = 0的距離為圓的半徑，即r=貼紗“2 ，所求圓的方程為V +長=2 .50. (x-3)2 + y2=2【解析】設(shè)圓C的方程為(x-?)2+(y-/A) 2=r2,由題意得,解得卩=°所以圓C的方程為(x-3)2+y2=2.廠=y/251?【解析】(】)因?yàn)?I AD1=1 ACI , EB II AC、故 AEBD = ZACD =ZADC,所以 IE3I=IEDI, MEA + EB=EA + ED =AD L又

24、圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+V) 2+y2 = 6 ,從而AD仁4,所以I EA I + I 3如4由題設(shè)得4( 1,0),B(l,0) , AB仁2,由橢圓定義可得點(diǎn) E的軌跡方程為:匚匚=1 (yH0) ?43(II)當(dāng)/與X軸不垂直時，設(shè)/的方程為y = k(x 1)伙工0),N(X2,y0.y = k(x-)郵x2 y2得(4疋+3慶一 8疋兀+ 4加-12 = 0.+ ?=廠12 2Sk24k2-2那么"滬4FTT "產(chǎn)茁百所以 IMNI= J1 + 疋 xi-X2、=12 伙？+ 1)於+3 ?1 ?過點(diǎn)3(10)且與/垂直的直線 7: y = _(x l), A到也

25、的距藹為 所以k|0| Ab £ + 2,?故四邊形MPNQ的而積飛 VP7T2+1PC 仁12 L,122 丫 4k +3可得當(dāng)/與兀軸不垂直時，四邊形 MPNQ而積的取值范用為邁；83)?當(dāng)/與x軸垂直時，其方程為 x=h MN=3, PQ=S,四邊形MPV0的而積為12.綜上，四邊形 MPNQ而積的取值范用為 12,&$) ?52.【解析】如圖，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，0C所在直線為x軸，建立平而直角坐標(biāo)系 xOy?由條件知 4(0,60), C(170,0),線BC的斜率燈c=-kmZBCO又因?yàn)锳B丄BC,3 所以直線AB的斜率2?4設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為上)，b_04貝 1&qu

26、ot;肌=-=_,6/-17O3方一 60 3k AB=7 9。一 04解得"=80 b=120.4直3所以 BC=7 (17O-8O) 2 + (0 -120) 2 = 150.因此新橋BC的長是150 m.(II)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓 M的半徑為rm, OM= m, (0W W60) ?4由條件知，直線 BC的方程為y = -(x-170),即4x + 3y - 680 = 0由于圓 M 與直線 BC 相切，故點(diǎn) M0, 到宜線 BC 的距離是 r.13d-6801680-3J即廠= =3 5因?yàn)?和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于 80 m他型_心80解得 10 W d W 35所

27、以廠一即I 5、r- ( 60-J)A8068°-3d_(6o_d )$8o?5680 一 3d故當(dāng) =10時丿=最大，即圓而積最大5所以當(dāng)aw =10 m 時，圓形保護(hù)區(qū)的而積最大解法二：(I)如圖，延長O£CB交于點(diǎn)F.4 43因?yàn)?tanZBCO=_ ?所以 sinZFCO=_ , cosZFCO-?3 55680 因?yàn)?04=60,00170, 所以 0F=OCanZFCO=OC 850500CF= ，從而 AF = OF-OA =cos ZFCQ534 因?yàn)镼A丄QC,所以cosZAFB=sinZFCQ=-,5又因?yàn)槌鮼A肚，所以曲罟，從而BC=CF-A150.因此

28、新橋BC的長是150 m.(II)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓 M與BC的切點(diǎn)為D連接MD,那么MD丄BG且MD是圓M的半徑，并設(shè) MD=rm, QM=d m(0W60)因?yàn)?04 丄 QC,所以 sinZCFQ =cosZFCQ.r 3680 - 3d-=_，所以廠=5580 HLMD MD 故由(1)知，sinZCFQ =-= =MF QQM鳴 _ 3 因?yàn)镼和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于680 - 3 _ 二只。所以 fr-JA80 即一5 解得 10W dW 35一 (60-d&80、68Q 3d_ (6o_d ) $8o.5680 - 3d故當(dāng)d=10時"= 最大，即圓而積

29、最大.5所以當(dāng)QM= 10m 時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.53.劇0由題設(shè)點(diǎn) C(a,2a-4),又 C 也在直線 y = x-l ，土 2r?-4 =1,. ? = 3/. QC:(x-3) 2+(y-2) 2=l,由題，過 A點(diǎn)切線方程可設(shè)為 y = kx+3,I3W + 113即匕一，+ 3 = 0,貝V=1,解得：£=0, ? _VF+T4?所求切線為y = 3或y = ° + 34, ?(II)設(shè)點(diǎn) C(a,加一 4), MT?/MA = 2MOA(03), 0(0、0),/. x2+(.y-3) 2=4(x2+y2),即 x2+y2=3-2y ,又點(diǎn) M 在圓 C

30、±,0 0 0 0 0 0 0? .(x d)2+(y 2a + 4)2=l,兩式相減得0 0億八+/ - 3)兒-(斗-+ 9) = 0,由題以上兩式有公共點(diǎn)，2 5/a +(2 一 3)(2 °-4) 一 ( -8a+9)1.?.二 2 ?yja 2+(2a-3)5 礦 222整理得：| 一-6a+3isj5 宀 12“ +9 即(5a -2a+6) <4(5a-12A/ + 9),2令 r = 5/ 12a + 6,貝卩ior<4(r + 3),解得：-2<r<6, ? . 一 2 5 5/ 12。+ 6 5 6,解得：0<a_<5