時(shí)間序列整理資料

1、考試題型：1.判斷題（10分）；2.計(jì)算題（5題，75分）；3.分析題（1題15分） 鄭重聲明：此資料僅供參考（還有標(biāo)注為考點(diǎn)，只是我個(gè)人的觀點(diǎn)，僅供參考） 第2章時(shí)間序列的預(yù)處理1. 計(jì)算序列的樣本自相關(guān)系數(shù) 。（考點(diǎn)）n _k_（ Xt -'X” xt k x）（k） = （ 1）基于全體觀察樣本計(jì)算出來(lái)的延遲K自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值。n -kn_瓦（xt -x）2（0） -（ 2）總體方差的估計(jì)值。n _1合 ?（k）POwk < n 延遲K自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值。:'k :細(xì)）當(dāng)延遲階數(shù)K遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于樣本容量 n時(shí)，n _k_送（xt x）（xt*x）A .G =亠一n0

2、: k : n二：（xt _ x）2t呂2. 平穩(wěn)性的檢驗(yàn)。對(duì)序列的平穩(wěn)性有兩種檢驗(yàn)方法，一種是根據(jù)時(shí)序圖和自相關(guān)圖顯示的特征做出判斷 的圖檢驗(yàn)方法；一種是構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法。圖檢驗(yàn)方法：（1）時(shí)序圖檢驗(yàn)：如果觀察序列的時(shí)序圖顯示出該序列有明顯的趨勢(shì)性或周期性，那它通常不是平穩(wěn)序列。（2）自相關(guān)圖檢驗(yàn)：平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來(lái)描述就是隨著延遲期數(shù) K的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)：.-k會(huì)很快地衰減向零。反之，非平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù) ;；衰減向零的速度通常比較慢，這就是我們利用自相關(guān)圖進(jìn)行平穩(wěn) 性判斷的標(biāo)準(zhǔn)。3. 純隨機(jī)序列首先并不是所有的平穩(wěn)序列都值得建模

3、，只有那些序列值之間具有密切的相關(guān)關(guān)系， 歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)的發(fā)展有一定影響的序列，才值得我們花時(shí)間去挖掘歷史數(shù)據(jù)中的有效信息，用來(lái)預(yù)測(cè)序列未來(lái)的發(fā)展。純隨機(jī)序列：該序列值彼此之間沒(méi)有任何相關(guān)性，也就是一個(gè)沒(méi)有記憶的序列，過(guò)去的 行為對(duì)將來(lái)的發(fā)展沒(méi)有絲毫影響。我們稱之為純隨機(jī)序列。也稱為白躁聲序列。簡(jiǎn)記為：xtWN（h2）。4. 純隨機(jī)序列檢驗(yàn)（1）假設(shè)條件 由于序列值之間的變異是絕對(duì)的，而相關(guān)性是偶然的，所以假設(shè)條件如下： 原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間相互獨(dú)立。備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間有相關(guān)性。該假設(shè)條件用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述即為:Ho： Pi 二 P2 二二 Pm =

4、 0, f H 1 :至少存在某個(gè)P k = 0, -皿1，K 乞 m（2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量m 2Q=n；k （m）在大樣本場(chǎng)合（n很大的場(chǎng)合）檢驗(yàn)效果好，在小樣本場(chǎng)合就不太精確。k=12mLB = n（n 2p （ k ） （m）（適合小樣本場(chǎng)合）k4 n -kLB統(tǒng)計(jì)量就是Q統(tǒng)計(jì)量的修正，其中 n為序列觀測(cè)期數(shù)；m為指定延遲期數(shù)。在各種檢驗(yàn)場(chǎng)合普遍采用的Q統(tǒng)計(jì)量通常指的都是 LB統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)統(tǒng)計(jì)量大于 2 （ m）分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的p值小于a時(shí)，則可以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該1-a序列為非白噪聲序列；否則，接受原假設(shè)，認(rèn)為該序列為純隨機(jī)序列。2.3習(xí)題1. 考慮序列123,4,5，,20（1）判斷該序

5、列是否平穩(wěn)（2） 計(jì)算該序列的樣本自相關(guān)系數(shù)幾（k=1,2.，6）（考點(diǎn)）（3）繪制該樣本自相關(guān)圖，并解釋該圖形。解：（1）因?yàn)樾蛄芯哂忻黠@的趨勢(shì)，所以序列非平穩(wěn)。（2）樣本自相關(guān)系數(shù)：n ±(k)(0)Xt = 1 (12 3， 吃0) =10.520 (Xt - X )( Xt -k - x)nx (Xt -X)2t 土1 20 F(x"351 19 _ _(1)= 1929.75. 1 18 _ _(2)(xt - x)(xt 2 -x) =25.916718 t#(4) =17.25(5)=12.41671=0.85( 0.85)2 =0.7405( 0.702).

6、 1 17 _ _(3)(Xt - X)(Xt 3 - X)二 21.7517 t#(6)=7.253=0.6214( 0.556)4 =0.4929( 0.415)?5 =0.3548( 0.280)?6 =0.2071( 0.153)注：括號(hào)內(nèi)的結(jié)果為近似公式所計(jì)算。（3）樣本自相關(guān)圖（已省略圖）：該圖的自相關(guān)系數(shù)衰減為 0的速度緩慢，可認(rèn)為非平穩(wěn)。4.若序列長(zhǎng)度為100,前12個(gè)樣本自相關(guān)系數(shù)如下：（考點(diǎn)）嘉=0.05；?6=0.01：6=0.01p7 =°12A:-_0, 068A=0.089該序列能否視為純隨機(jī)序列？=0.02；-2 =0.053=0.10嘉=-0.02m2

7、p =_0.05£ =0 0 2 f =-0. 0 510 11 12解:LB2八k三ln:?LB(6)=1.6747, LB(12)=4.989520.05 (6)=12.59yt二人則 yt為 Xt的中心化序列。230.05 （12）=21.0（此時(shí)的分位值是從右邊看的）顯然，LB統(tǒng)計(jì)量小于對(duì)應(yīng)的臨界值，接受原假設(shè)，認(rèn)為該序列為純隨機(jī)序列。第3章平穩(wěn)時(shí)間序列分析1. 一個(gè)序列經(jīng)過(guò)預(yù)處理被識(shí)別為平穩(wěn)非白噪聲序列，那就說(shuō)明該序列是一個(gè)蘊(yùn)含著相關(guān) 信息的平穩(wěn)序列。 ARMA模型是目前最常用的平穩(wěn)序列擬合模型。2 了解P階差分、K步差分、延遲算子、還有用延遲算子表示差分運(yùn)算。（42頁(yè)）用

8、延遲算子表示差分運(yùn)算：p（1）p 階差分：i pXt = （1 - B） p Xt 二 '、（- 1），C Pxt_ii 9k（2）K步差分：' kXt 二 Xt - X k =（1 一 B ） Xt3. ARMA模型的全稱是自回歸移動(dòng)平均模型，它是目前最常用的擬合平穩(wěn)序列的模型。 它又可以細(xì)分為 AR（自回歸）模型、 MA （移動(dòng)平均）模型、 ARMA模型。4 具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 P階自回歸模型，簡(jiǎn)記為 AR（ P）：（45頁(yè)）Xt =01人2人上 pXt_p ；t （3.5）當(dāng)0=0時(shí)，自回歸模型又稱為中心化AR（ p）模型。AR（ p）系列。非中心化AR（ p）序列都

9、可以通過(guò)下面的變換轉(zhuǎn)化為中心化引進(jìn)延遲算子，中心化AR（ p ）模型又可以簡(jiǎn)記為：G （B）xt=-；：t式中，:：J（B） =1 - ；B2 -'pBp，稱為P階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式。還有模型的均值與方差（49頁(yè)）但并非所有的AR模5. AR模型平穩(wěn)性判別：AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一,型都是平穩(wěn)的。而判別的方法有兩種：(1)擬合該序列的序列值，并繪制時(shí)序圖。這種圖示法只是一種粗糙的直觀判別方法，(2)特征根判別和平穩(wěn)域判別。特征根判別：AR( P)模型平穩(wěn)的充要條件是它的P個(gè)特征根都在單位圓內(nèi)。根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，AR模型平穩(wěn)的等價(jià)判別條件是該AR模

10、型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根，即G(u)二0的根，都在單位圓外。平穩(wěn)域判別：對(duì)于一個(gè) AR( P)模型而言，如果沒(méi)有平穩(wěn)性的要求，實(shí)際上也就意味著對(duì)參數(shù)向量(廠2 . - p)'沒(méi)有任何限制，它們可以取遍 P維歐式空間的任意一點(diǎn)，但是如果加上了平穩(wěn)性限制，參數(shù)向量(. -p)'就只能取P維歐式空間的一個(gè)子集， 使得特征根都在單位圓p|特征根都在單位圓內(nèi)被稱為AR( P)模型的平穩(wěn)域。II： 1AR（ 2）模型的平穩(wěn)域。(考點(diǎn))(1) AR( 1)模型的平穩(wěn)域。(考點(diǎn))AR (1 )模型為：Xt = Xt d t其特征方程為：，-=0特征根為：，=根據(jù)AR模型的平穩(wěn)的充要條件| &#

11、39;卜：1，容易推出AR (1)模型平穩(wěn)的充要條件是:所以，AR ( 1)模型的平穩(wěn)域就是 | -1 ： < 1 oAR（ 2）模型為：x 1Xt J2Xtt 其特征方程為:特征根為:根據(jù)AR模型的平穩(wěn)的充要條件，AR (2 )模型平穩(wěn)的充要條件是| ' 1卜：1且| ' 2卜：1 o根據(jù)一元二次方程的性質(zhì)和AR (2)模型的平穩(wěn)條件，有：12二1 ,'1 '2二-2 ,且| '訂叮，| '2卜：1,可以推導(dǎo)出：(1) | 2F|t2 卜：1(2) 21= 一 1 ' 2 川J 川九 2= 1- (1-' 1 )(1-2

12、)： 1(3) 2一1=一1'2"1九2=1'(11)(1，2)：1計(jì)算題可看(49頁(yè)，例3.1)(考點(diǎn))6. 求平穩(wěn)模型 AR( p)的均值(49頁(yè))，與AR( 1)模型的方差(51頁(yè)，例3.2)(考點(diǎn))7 平穩(wěn)AR( P)模型的自相關(guān)系數(shù)有兩個(gè)顯著的性質(zhì)：一是拖尾性；二是呈負(fù)指數(shù)衰減。(自相關(guān)性以指數(shù)衰減的性質(zhì)就是第2章利用 自相關(guān)圖判斷平穩(wěn)序列所說(shuō)的“短期相關(guān)”性。它是平穩(wěn)序列的一個(gè)重要特征。這個(gè)特征表明對(duì)平穩(wěn)序列而言通常只有近期的序 列值對(duì)現(xiàn)時(shí)值的影響比較明顯，間隔越遠(yuǎn)的過(guò)去值對(duì)現(xiàn)時(shí)值的影響越小。)8. 滯后K偏自相關(guān)系數(shù)實(shí)際上就等于K階自回歸模型(55頁(yè),(

13、3.21)式)第K個(gè)回歸系數(shù)9.kk的值。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)容易計(jì)算偏自相關(guān)系數(shù)的值。偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性：平穩(wěn) AR( P)模型的偏自相關(guān)系數(shù)具有p步截尾性，所謂 p步截尾性是指，- kk =0(-K P)。10.AR ( p)模型自相關(guān)系數(shù)拖尾性和偏自相關(guān)系數(shù)的P步截尾性是 AR( P)模型重要的識(shí)別依據(jù)。11.平穩(wěn)AR( 1)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式為:ik , k 一 0平穩(wěn)AR( 2)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式為:1,k=0電- k二 11-2；1k-2'k 二k推 導(dǎo) 過(guò) 程：E(Xt,xtA iE(xtJ1xtAr 2E(xt,xtA) E( ；tlxtA)= l'k_

14、'心)(考點(diǎn))12 平穩(wěn)AR (1)模型的偏自相關(guān)系數(shù)為:平穩(wěn)AR (2)模型的偏自相關(guān)系數(shù)為:'啊 1 _ ©2，kk =2 ，0,計(jì)算題看(57頁(yè)，例3.5)(考點(diǎn))與(以上兩個(gè)公式的證明在56頁(yè))13 具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為q階移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為 MA (q)： (59頁(yè))Xt 一；t 一 K ；t一屯；t/ 一 Jq ；u ( 3.33)當(dāng)二-0時(shí)，移動(dòng)平均模型又稱為中心化 MA (q)模型。非中心化MA (q)序列都可以通過(guò)下面的變換轉(zhuǎn)化為中心化MA (q)系列。yt = Xt -就可以轉(zhuǎn)化為中心化 MA （q）模型。使用延遲算子，中心化 MA （q）模型

15、又可以簡(jiǎn)記為：xt - v（B）；t式中，二（B） =1 -“B -B2 - -Bq，稱為q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式。14. 懂求MA（q）模型的均值和方差（59頁(yè)）（考點(diǎn)）Ex =E(，t T ii-2 i2 "q 乜)“ 宀2 * 二220,如果該模型為中心化 MA（ q）模型，該模型均值為零。2 2Var(K)二Var(亠 4 - 訪；t- 2 '' -q 心 一 J 匸 '-q15.MA(q)模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾，自相關(guān)系數(shù)q階截尾。16.MA(1)模型自相關(guān)系數(shù)為:?k1,71 20,1,日t +6217.MA(2)模型自相關(guān)系數(shù)為:?k1 * R2

16、* 6218.MA(q)模型的可逆性條件（63頁(yè)）19.MA （1）模型可逆的條件是： 已卜：1MA（2）模型可逆的條件是:戸2卜：1門2 - ： 120.計(jì)算看（64頁(yè)，例3.6）（考點(diǎn)）21.MA （ q）模型的逆函數(shù)和逆轉(zhuǎn)形式（64頁(yè)）具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為ARMA( P, q)： ( 66 頁(yè))回憶AR （1）模型平穩(wěn)域:1卜：1 AR（ 2） | ；卜:1，2 - : 1 （考點(diǎn)）Xt = %+%X4 + '"pXrt曰1%_( 3.38)右0=0時(shí)，該模型又稱為中心化 ARMA （ p，q）模型。中心化 ARMA （ p，q）簡(jiǎn)寫為:引進(jìn)

17、延遲算子，中心化 ARMA （ p, q）模型又可以簡(jiǎn)記為：G（B）Xt - v（B）；t也可以表示為：甞式中，（B）4宀'I - pBP，稱為P階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式。r（B） =1 -yB -tB2 - -VqBq，稱為q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式。顯然，當(dāng)q=0時(shí)，ARMA（ p, q）模型就退化成了 AR（ p）模型；當(dāng)p=0時(shí)，ARMA（ p，q）模型就退化成了 MA（ q）模型；所以，AR（ p）模型和MA（ q）模型實(shí)際上是 ARMA（ p，q）模型的特例，它們都統(tǒng)稱 為ARMA模型。其次ARMA（ p，q）模型的平穩(wěn)條件與可逆條件也就是AR（ p）模型的平穩(wěn)條件和 MA（q）模型

18、的可逆條件。23 假如某個(gè)觀察值序列通過(guò)序列預(yù)處理，可以判定為平穩(wěn)非白噪聲序列，我們就可以利用模型對(duì)該序列建模。建模的基本步驟如圖3-8所示。（69頁(yè)）24. 參數(shù)估計(jì)（76頁(yè)），還有77頁(yè)例3.10，例3.11.25. ARMA模型定階的基本原則。樣本自相關(guān)系數(shù)樣本偏相關(guān)系數(shù)模型定階拖尾p階截尾AR(p)模型q階截尾拖尾MA(q)模型拖尾拖尾ARMA(p，q)模型26.序列預(yù)測(cè)：（考點(diǎn)）（1） AR（p）序列預(yù)測(cè)（93頁(yè)，例3.14） ；（ 2） MA（ q）序列預(yù)測(cè)（95頁(yè)，例3.15）（3） ARMA（ p，q）預(yù)測(cè)（97 頁(yè)，例 3.16） ；（ 4）修正預(yù)測(cè)（99 頁(yè)，例 3.14）

19、。習(xí)題3.5 （考點(diǎn)）21.已知 AR（ 1 ）模型為：X t 一 0.7 x t _1；t, ；t WN （0,二）。求E （ xt） ，Var （xt） ， 2 和 22。解：（1）因?yàn)?=0.7 <1，所以AR（ 1）是平穩(wěn)的。因此 E（xD 二丄，一T，所以 E（xJ 二 E（xt）。又因?yàn)?E（ =0，所以 E（x=0.7* E（XtJ E（ ；J （1 0.7）E（Xt） =0 所以 E（Xt）=0（2）原模型可變?yōu)椋? -0.7B） xt二；t呂00°°Xt'(0.7B)j；t=，0.7j；t_jGree函數(shù)為 Gj 二 T,j=0,1,21 0

20、.7 Bj _0j _0所以平穩(wěn)AR( 1)模型的方差為：Var(xt)八GjParCt)八l2j；2 j=0j=02%仁I2-2所以：如小丁.72-2=濟(jì) 十62看課本(51頁(yè)，例3.2 )求平穩(wěn)AR (1)模型的方差。(考點(diǎn))(3)平穩(wěn)AR (1)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式為:所以 e=1 =0.7 =0.049(4)平穩(wěn)AR( 1)模型的偏自相關(guān)系數(shù)為:kk所以t WN (0,2.已知某 AR (2)模型為： Xt = 1 Xt j 2 Xt _2 "且1 = 0.5， j = 0.3，求 1，2 的值。解：對(duì)于AR(2)模型：(推導(dǎo)過(guò)程：(人必丄)=店(人，焉丄)2E(Xt2X

21、tJJ E( ；t,xtJJ邸 1 =7/15聽(tīng)=1/15> kk2 2 U D=0.5 (因?yàn)樨斑?解得:卩2 =曾匕+鴨P° “匕+2 =0.323.已知某 AR(2)模型為 U -O.SBX1 -0.3B)Xt 二；t, ；t WN(0，匚)，求 E ( xt)，Var (xt)，5，瓜，其中 k=1,2, 3.解：原模型可變?yōu)椋簒t =0.8xt-0.15xt, ；t1 =0.8, 2 工0.15，| 2 戶0.15 <1，21 =0.65 ： 1，2 一 1 =0.95 ：1所以該模型平穩(wěn)。因此 E(xt)二'-r T，所以E(Xt)二E(x J = E

22、(Xtd)。又因?yàn)?E( ；J =0，所以 E(xJ =0.8E(Xt4)0.15E(Xtm) 0 ,因此 E(xJ =0。Var (Xt)122(1 +2)(1 - 一 憶)(1 + W - 2)(10.15)平穩(wěn)AR( 2)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式為:1,11譏一1+忖2,1k _2平穩(wěn)AR (2)模型的偏自相關(guān)系數(shù)為:kk0,1 /(1 - 2)=0.6957 P2 =$1耳 +<|>2卩0 =0.4066P3 =電 P2 +% R =0.2209爲(wèi)=4 =0.6957« ©22 = ©2 = 0.15°33 = 04. 已知AR (2

23、)序列為Xt二XtJ Cxt2，；t，其中；t為白噪聲序列。確定 C的取值范圍，以保證 Xt為平穩(wěn)序列，并給出該序列 k的表達(dá)式。2解：原模型可變形為：(1-B -cB )xt二；t(1)由其平穩(wěn)域判別條件知：當(dāng) 2 I",: 1且 - 1 : 1時(shí)，模型平穩(wěn)。由此可知c應(yīng)滿足：|c|：1， c-1 ：1且c 1 ：1即當(dāng)一1<c<0時(shí)，該AR(2)模型平穩(wěn)。(2) 由平穩(wěn)AR(2)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式為:k =0k=1k _2I 1k = 0且 =1, %=c，所以得到：珥=* 1/(1-c)k = 1二 +cPk,心7. 已知某中心化 MA (1)模型1階自相關(guān)系

24、數(shù)，求該模型的表達(dá)式。2 2 0 =1.9823 cr(1 -0.15)(1 -0.8 0.15)(10.8 - 0.15)解：由MA ("模型自相關(guān)系數(shù)為：1,-01i2所以：宀=-11 -4 ： 1 j , MA(1)模型的表達(dá)式為:1 E2Xt-1 t _。9.已知 MA (2)模型為：Xt ；:t-0.7 ；td 0.4 ；t/ ,。求 E(xJ ,Var(xJ，及?k(k _1)。由E( ；t) =0顯然E(x=0已知R = 0.7 , y2 - -0.4。11.(1)(3)(5)Var (xj = (1 二；二由MA (2)模型自相關(guān)系數(shù)為:)二221.65 二1,日1

25、+01日21 +盯M日21 R2 時(shí)0,二 0得:-0.980.5939 1.650.40.2424-0, k _3檢驗(yàn)下列模型的平穩(wěn)性與可逆性，其中；t為白噪聲序列:XtXtXt(2)(3)= 0.5xt 1 1.2xtt=；t 一 0.9 ；t j 0.3 ；t_2= 0.7xt十 ® 0.6gt2 1 = 1.21，模型非平穩(wěn);| 2 卜03：1，21=0.8 1戸21 = 03 ： 1, 1 弓=0.6 ：1，(6)Xt=1.1 xt- 0.3 xt_2；txt = ； t 1.3 ； t_1 - 0.4 ； t_2xt = -0.8xt0.5Xt 4t _ 1.1 ;t j

26、= 1.3738， 2 = -0.87362 1 =一1.4 ： ：1,石-弓=一1.2 ：1,模型平穩(wěn)。1 = 0.6 ,匕=0.5模型可逆。=0.45 + 0.2693i ' 2 =0.45 0.2693i(4) | 可 1=04 ：1,2 弓二Q9 ：1,2 -弓=17 1,模型不可逆。1 二 0.2569， 2 =-1.5569(5) | j| = 0.7 : 1，模型平穩(wěn)； j = 0.7| 3 | = 0.6 ：: 1，模型可逆；'= 0.6(6) | 2 0-5 1 , 2-03 1, 2 - 1=13 1,模型非平穩(wěn)。1=0.4124, 2-1.2124| R

27、|=1.1 1，模型不可逆。1 =1.112ARMA (1,1)模型為：Xt二°.6xt ;t - 0.3 ;t_i確定該模型的 Green函數(shù)， 使該模型可以的等價(jià)表示為無(wú)窮MA階模型形式。解：(1 -0.6B)Xt =(1 -0.3B) ；t1 -0.3B“0.3B0.3B；tXtt = (1) ；t = ；t一1 -0.6B1 -0.6B1 -0.6BQO二；t 0.3、(0.6B)j ；tj=0QO=；t 0.3、0.6j ；t 令 i=j+1, i=1,2,3 所以：j=0QOO0=；t 0.37 0.6j * j) =；t ' 0.37 0.6iJ ；tj=0i

28、呂=；t0.3*0.6 j；t_j所以：G0 =1，Gj =0.3*0.6jJj呂13 某 ARMA(2,2)模型為：門(B ) Xt = 3 *。( B )氣，求 E ( X t).其中：；t WN(0, ；2)( B ) = (1 - 0.5 B )2 。解：EZ(B)Xt二 E3 n(B) ；JE(1-0.5B)2Xt=3(1 _0.5B)2Xt =3 0(B) l；片=焉0.25xt/ 3 0(B) 丫 所以=1， 2 = -0.25，| 2 I =0.25 : 1，21 =0.75 ： 1，2 一 1 = T.25 ： 1所以該模型平穩(wěn)，因此 E(xt) = -r T，所以E(xt)

29、二E(XtG = E(Xt)。因此 E(10.5B)2Xt =EXt -山 0.25心=3 也就得到 0.25 -：，所以 E(xt)=)=12214.證明 ARMA ( 1,1)序列 Xt =0.5X2；t - 0.25 ； tv ；tWN(0 的自相關(guān)系數(shù)為:Pk 才 0.27,°.5Pkj_k _21一刊)(1一婦1)0.25(0.5*0.25)解：證明： 訂=：訊0)/ (0)=1 ；' 122U.27(0)1 于 -2刊 11 0.25-2* 0.5*0.256 = 1 6=0.5 6 k 亠 216.對(duì)于AR( 1)模型：xt - "二1(Xt-rt，根

30、據(jù)t個(gè)歷史觀察值數(shù)據(jù)10.1,9.6已求出 =10 ,1 =0.3 ,9，求：(1) x t . 3的95%的置信之間。(2) 假定新獲得觀察值數(shù)據(jù)Xt 10.5，用更新數(shù)據(jù)求x t . 3的的95%的置信之間。解：(1)冷 -10 =0.3* (xt-10)；t，Xt =9.6XT(1) =E(xt J =E10 0.3* (xT 10)；T 訂=9.88xT(2) =E(Xt=E10 0.3* (xt 1 -10)下=9.964洱(3) = E(xt 3) = E10 0.3* (xT 2 -10)；T 3 =9.9892已知AR(1)模型的Green函數(shù)為：Gj = *， j =1,2，

31、eT(3) =G° ；t 3 ' G1 ；t 2 ' G2 ；t 1 =彳 3 1 ；t：2 1 ；t 1VareT(3) =(1 0.32 0.092)* 9 = 9.8829xt 3 的95%的置信區(qū)間：9.9892-1.96* ,9.8829 , 9.9892 + 1.96* - 9.8829 即3.8275,16.1509。(2)T d = xT 1 - xT (1) =10.5 - 9.88 二 0.62xT ,(1) -E(xt 2) =0.3* 0.62 9.964 =10.15xT 1(2) =E(Xt 3) =0.09* 0.62 9.9892 =1

32、0.045Varep 2(2) =(1 * 0.32)*9=9.81 Xt 3 的95%的置信區(qū)間：10.045-1.96 x 9.81 , 10.045 + 1.96*，9.81 即3.9061,16.1839第4章非平穩(wěn)序列的確定性分析1. 對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列的分析方法可以分解為確定性時(shí)序分析和隨機(jī)時(shí)序分析兩大類，本章 主要介紹一些常用的確定性時(shí)序分析方法。2. Wold分解定理、Cramer分解定理。（課本111頁(yè)）3 wold分解定理：對(duì)于任何一個(gè)離散平穩(wěn)過(guò)程 x，它都可以分解為兩個(gè)不相關(guān)的平穩(wěn) 序列之和，一個(gè)為確定性的，另一個(gè)為隨機(jī)性的。而ARMA（ p, q）模型的分析實(shí)際上主要是對(duì)隨

33、機(jī)平穩(wěn)序列進(jìn)行分析。4Cramer分解定理：任何一個(gè)時(shí)間序列xt，都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分 是由多項(xiàng)式?jīng)Q定的確定性趨勢(shì)成分，另一部分是平穩(wěn)的零均值誤差成分。說(shuō)明了任何一個(gè)序列的波動(dòng)都是可以視為同時(shí)受到了確定性影響和隨機(jī)性影響的綜 合作用。平穩(wěn)序列要求這兩方面的影響都是穩(wěn)定的，而非平穩(wěn)序列產(chǎn)生的機(jī)理就在于它所受到的這兩方面的影響至少有一方面是不穩(wěn)定的。5在自然界中，由確定性因素導(dǎo)致的非平穩(wěn)，通常顯示出非常明顯的規(guī)律性，比如有顯著的趨勢(shì)或者有固定的變化周期，這種規(guī)律信息通常比較容易提取，而由隨機(jī)因素導(dǎo)致的波動(dòng)則非常難以確定和分析。根據(jù)這種性質(zhì)，傳統(tǒng)的時(shí)序分析方法通常都把分析的重點(diǎn)放在確

34、定性信息的提取上，忽視對(duì)隨機(jī)信息的提取，通常將序列簡(jiǎn)單地假定為：Xt二7 ；t式中， t為零均值白噪聲序列。這種分析方法就稱為確定性分析方法。6. 近年來(lái)，人們對(duì)四大因素的確定性分析做了改進(jìn)，現(xiàn)在通常把序列分解為三大因素的綜合影響：（1 ）長(zhǎng)期趨勢(shì)波動(dòng)， 它包括長(zhǎng)期趨勢(shì)和無(wú)固定周期的循環(huán)波動(dòng)（2）季節(jié)性變化，它包括所有具有穩(wěn)定周期的循環(huán)波動(dòng)。（3） 隨機(jī)波動(dòng)，除了長(zhǎng)期趨勢(shì)波動(dòng)和季節(jié)性變化之外，其他因素的綜合影響歸為隨機(jī)波動(dòng)。7. 有些時(shí)間序列具有非常顯著的趨勢(shì)，有時(shí)我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢(shì)，并利用這種趨勢(shì)對(duì)序列的發(fā)展做出合理的預(yù)測(cè)。8. 趨勢(shì)擬合法 就是把時(shí)間作為自變量，相應(yīng)的

35、序列觀察值作為因變量，建立序列值隨時(shí)間變化的回歸模型的方法。 根據(jù)序列所表現(xiàn)的線性或非線性特征，我們的擬合方法又可以具體分為線性擬合和曲線擬合。9. 平滑法：是指進(jìn)行趨勢(shì)分析和預(yù)測(cè)時(shí)常用的一種方法。它是利用修勻技術(shù)，消弱短期隨機(jī)波動(dòng)對(duì)序列的影響，使序列平滑化，從而顯示出變化的規(guī)律。10. 根據(jù)所用的平滑技術(shù)的不同，平滑法又可以具體分為：移動(dòng)平均法 和指數(shù)平滑法。11. 移動(dòng)平均法可以分為兩類：（1）n期中心移動(dòng)平均（2）n期移動(dòng)平均（課本117頁(yè)）12n期移動(dòng)平均還是一種常用的預(yù)測(cè)方法（課本 118頁(yè)）計(jì)算題看（118頁(yè)，例4.3）（考點(diǎn)）13指數(shù)平滑法可以分為兩類：（1）簡(jiǎn)單指數(shù)平滑（2）H

36、olt兩參數(shù)指數(shù)平滑14我們考慮到時(shí)間間隔對(duì)事件發(fā)展的影響，各期權(quán)重隨著時(shí)間間隔的增大而呈指數(shù)衰減。這就是指數(shù)平滑法的基本思想，也是跟移動(dòng)平均法的區(qū)別 （移動(dòng)平均法的權(quán)重都是1/n ）。15.簡(jiǎn)單指數(shù)平滑：（考點(diǎn)）xt - ： xt 亠二（1 - :） xt亠二（1 -）2 xt_2 式中，：為平滑系數(shù)，它滿足 0 ： : ： 1。因?yàn)椋篨t=xtd 亠'：（1 -<-）Xt_2 ；t（1-<-）2Xt 才所以xt又等價(jià)于 X t -X t （- -） x t -1簡(jiǎn)單指數(shù)平滑面臨一個(gè)確定X0初始值的問(wèn)題。我們有許多方法可以確定X0的初始值，最簡(jiǎn)單的方法是指定 xo =，經(jīng)

37、驗(yàn)白表明 芒的值介于0.050.3之間，修勻效果比較好。16指數(shù)平滑法也是一種常用的預(yù)測(cè)方法，XT常常作為1期預(yù)測(cè)值：（考點(diǎn)）Xt+1 二 Xt = ' Xt （1 一）Xt-1 r （1 -）2 XT-2 r A.XT （-）XT指數(shù)平滑2期預(yù)測(cè)值為：AAXt+2 _Xt+1+： （1 八）Xt 4=（1）2Xt-1 .AAA=- Xt +1 +（1 - -） Xt +1 = Xt +1AA容易驗(yàn)證，指數(shù)平滑期預(yù)測(cè)值都具有如下關(guān)系：XT+'二XT+1， ' - 2計(jì)算題看課本120頁(yè)例4.4 （考點(diǎn)）17Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑（120頁(yè)）（1） 第t期的估計(jì)值就應(yīng)該等

38、于第t-1期的觀察值加上t-1期的趨勢(shì)變動(dòng)值：Ax t 二 x t _1 r t _1（ 1）（2） 考慮用第t期的觀察值和第t期的估計(jì)值的加權(quán)平均數(shù)作為第t期的修勻值：xt =二 Xt （1 - :一 ） x t01=：Xt（1一 ： ）（Xtdrt4）（2）（3） 因?yàn)橼厔?shì)序列訃也是一個(gè)隨機(jī)序列，為了讓修勻序列xt更平滑，我們對(duì)"也進(jìn) 行一次修勻處理：rt 二（xt xt）（1 一）rt（3）（4） 把（3）代入（2），就能得到比較光滑的修勻序列xt。這就是Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑 法的構(gòu)造思想，它的平滑公式為：xt = ： xt （1 - ： ）（ xt _irt j）十<

39、； 八丿（4）（ 120 頁(yè)）=；，'（ xt 一 xt_i）（1 一 ）rt 式中，:-,為兩個(gè)平滑系數(shù)，也稱為兩個(gè)平滑參數(shù)，它們滿足0 ： :, ： 1。平滑系數(shù)的選擇原則和簡(jiǎn)單指數(shù)平滑的原則一樣。（5）在此我們需要確定兩個(gè)序列的初始值：（a）平滑序列的初始值xo。最簡(jiǎn)單的是指定X。= Xi。（b）趨勢(shì)序列的初始值ro。和確定xo 一樣，我們又許多方法確定它，最簡(jiǎn)單的方法是：在任意指定一個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度n,用這段區(qū)間的平均趨勢(shì)作為趨勢(shì)初始值:r° 二X1。n（6）假定最后一期的修勻值為xt，那么使用Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑方法，向前期的預(yù)測(cè)值為：Xt ，二 Xt rT。習(xí)題4.7 （考點(diǎn)）1. 使用4期移動(dòng)平均作預(yù)測(cè)，求在2期預(yù)測(cè)值A(chǔ).XT彳中的xT與xT-1前面的系數(shù)分別等于多少?解：? 1Xt；)= 4(?t 14XtXT -1XT -2 )=Xt16 T 16 T 1 16x-2討5所以，在XT 2中XT與XT 4前面的系數(shù)均為一。165.2 6已知序列觀察值xt = 5.25，2. 使用指數(shù)平滑法得到 xt-1 = 5，xt 1 =xt5.5求指數(shù)平滑系數(shù)Xt = ： Xt(1 - ：)Xt_1解:代入數(shù)據(jù)得:Xt 1二：Xt 1(1 -)Xtxt=5.25 二 亠 5( 1 -)解得:5.26=5.5 很亠(1 -