時間序列分析與預測心得報告

1、時間序列分析與預測心得報告所謂時間序列分析(Time Series Analysis)，乃探討一串按時序列間的關係，並籍由此關 係前瞻至未來。時間序列分析模式是計量經濟模式的一般化，可分為狹義及廣義。狹義 的時間序列分析是Box and Jankins在1961年所提出的ARIMA模式和後人延伸的 ARIMA相關系統(tǒng)；廣義的時間序列除了 ARIMA及其相關體系外，還包括趨勢預測、時 間序列分解、譜系分析及狀況空間分析等模式。其中，ARIMA轉移函數(shù)為高度一般化的模式，其特例簡化為自我迴歸模式及多項式遞延落差模式；而向量 ARIMA模式更可簡 化為聯(lián)立方程式模式。ARIMA、ARIMA轉移函數(shù)及

2、向量ARIMA構成了 ARIMA系統(tǒng)。事實上，除了 ARIMA模式外，尚有其他可用以預測外生變數(shù)之統(tǒng)計模式，但每種模式 皆適用於不同的研究特性，如表4.1-1所示。表中，依模式誤差、變數(shù)性質、資料特性, 可產生六種不同情況的組合，每一組合的預測，均有適當?shù)慕y(tǒng)計模式可用。預測模式之適用場合模式特性變數(shù)特性資料特性連續(xù)性季節(jié)性非隨機性外生變數(shù)趨勢預測時間序列分解隨機性外生變數(shù)ARIMASARIMA內生變數(shù)ARIMATSARIMAT模式依特性可分為非隨機模式和隨機模式。非隨機模式(Non-stochastic Model)的誤差項 背後無隨機過程的假定，亦即時間序列不是由隨機過程產生。典型的非隨機模

3、式為趨勢 預測模式。這種模式非常單純，僅用一個數(shù)學函數(shù)，配適在所觀察到的時間序列上，再 用函數(shù)的特性，產生未來的預測。趨勢預測模式有誤差項，假定遵循NID(0, ；2)。非隨機模式的特例為確定性模式(Deterministic Model)，模式中無誤差項，純?yōu)閿?shù)學結 構，不是統(tǒng)計推理的應用，沒有假說檢定，也沒有常態(tài)分配的觀念存在。典型的確定性 模式，就是時間序列分解模式。這種模式用數(shù)學的方式，將時間序列分解成長期趨勢、 循環(huán)變動、季節(jié)變動、不規(guī)則變動。預測時，捨棄不規(guī)則變動，將其他三個因子分別預 測至未來，再組合起來即得。另一類模式是隨機模式 (Stochastic Model) ，假定所觀

4、察到的時間序列是一個隨機樣本， 共有 T 個觀察值，抽取自我一個隨機過程( Stochastic Process )。隨機模式中，時間序 列是樣本，而隨機過程是母體。 ARIMA 體系內的所有模式，包括 ARIMA 、ARIMAT 、 SARIMA 、SARIMAT ，均屬隨機模式。 變數(shù)依特性可分為外生變數(shù)與內生變數(shù)。外生變數(shù)( Exogenous Variable )不受其他變 數(shù)影響，內生變數(shù)( Endogenous Variable )是會受其他變數(shù)的影響。奱數(shù)之外生性或 內生性，不是與生具來的本質，而要視在研究架構中所扮演的角色。例如，行銷研究中， 單位需求受國民所得的影響 ，國民所

5、得為外生變數(shù) ；而在經濟研究中 ，國民所得受消費、 投資、政府支出的影響，故國民所得為內生變數(shù)。同樣是國民所得，在兩個研究領域中 所扮演的角色，郤截然不同。不過，這兩個研究郤彼此相關，行銷研究預測市場需求時， 要先預測經濟環(huán)境，而經濟環(huán)境的預測，是由經濟研究完成的。 資料依特性可分為連續(xù)性資料( Consecutive Data )與季節(jié)性資料( Seasonal Data )， 連續(xù)性資料不會定期循環(huán)，季節(jié)性資料則會定期循環(huán)。年資料因不會產生定期循環(huán)，大 多為連續(xù)性資料。而季資料、月資料，是否為季節(jié)性資料，就要視是否會產生定期循環(huán) 而異了。例如，可樂銷售量月資料，會產生夏天高、冬天低的定期循

6、環(huán)，屬季節(jié)性資料； 而利率月資料，不會有定期循環(huán)的情況產生，屬連續(xù)性資料。ARIMA 有狹義與廣義之分。狹義指 ARIMA 模式。而廣義則指 ARIMA 體系，包括四個 模式，分別為ARIMA模式、ARIMAT模式、SARIMA模式、SARIMAT模式。僅提ARIMA, 未特別指明是哪一個模式的話，基本上，視為廣義的 ARIMA，泛指四個模式中的一個。 茲以每人牛奶用量預測為例，說明 ARIMA 體系的應用。長期預測適合以年資料為基礎， 如以過 30 年資料預測未來 5 年，解釋變數(shù)為國民所得，早期所得低時，消費者喝不起 牛奶，量會較少。短期預測適合以月資料為基礎，如以過去 36 個月資料預測

7、未來 3 個 月，解釋變數(shù)則為月均溫，天氣熱時，每人用量會較多。ARIMA 與 AIRMAT 適用於以年資料產生長期預測。 ARIMA 模式適用於外生變數(shù)、連續(xù) 性資料之預測，可用以預測國民所得。 ARIMAT 為 ARIMA 轉移函數(shù)( Transfer Function )，適用於內生變數(shù)、連續(xù)性資料之預測，可用以估計每人用量與國民所得之轉 移函數(shù)，並將國民所得預測代入轉移函數(shù)，產生每人用量預測。SARIMA 與 SAIRMAT 適用於以月資料產生短期預測。 SARIMA 模式為季節(jié)性 ARIMA (Seasonal ARIMA )模式，適用於外生變數(shù)、季節(jié)性資料之預測，可用以預測月均溫。

8、 SARIMAT 為季節(jié)性 ARIMA 轉移函數(shù)( Seasonal ARIMA Transfer Function )模式，適 用於內生變數(shù)、季節(jié)性資料之預測，可用以估計每人用量與月均溫之轉移函數(shù)，並將月 均溫預測代入轉移函數(shù)，產生每人用量預測。模型設定與估計：ARIMA (p,d,q)模式，如下所示：1一 B _ B2 一-pBp k、1 B fB2 - vqBq etARIMA(p,d,q)模式可改寫為：1 一 1B -2B2 - pBp yt = 1 - “B -七B2 - -qBq et二(B)yt"Betd之辨認d是序列之差分階數(shù)，通?？山逵尚蛄兄厔輬D加以判定，若趨勢為

9、水平，則設定 d=0 ； 若趨勢為直線，則不論是直線上升或直線下降，皆設定 d=1 ;若趨勢為二次式，皆設定 d=2。在辨認d值之後，應對原始序列進行差分 d階之工作。將差分後之序列C dYt)減去差分 後之均值(叭 即產生一差分後之新序列yt，亦即yt dYt-卩。差分之目的，就是在使新 序列yt滿足定態(tài)之要求。(p,q)之辨認模式設定之第二個步驟是(p,q)之辨認，依據準則是ACF、PACF等二圖之型式，在辨認 (p,q)時，應先檢驗模式是否為單純 AR(p)或單純MA(q)模式，若二者皆不是，便可判定 模式為 ARMA(p,q) 0(p,q)辨認準則 模式相關函數(shù)ACFIACFPACFA

10、R(p)尾部收斂p階後切斷p階後切 斷MA(q)q階後切斷尾部收斂尾部收斂ARMA(p,q)尾部收斂尾部收斂尾部收斂F圖，由於ACF為尾部收斂，PACF皆在一階後切斷，故可辨認出模式為 AR(1)1-3+1 -1i + 1 .102丨-；012 1 1 10一 -| 3 |1-1 -1 -(a) ACF(b) PACF圖1單純AR之相關函數(shù)另一方面，根據辨認準則,單純MA之相關函數(shù)如圖9.8-3所示。若ACF在q階後切斷， PACF皆為尾部收斂，則可辨認出模式為MA(q)。圖中，由於ACF在一階後切斷，PACF 皆為尾部收斂，故可辨認出模式為 MA(1)型式。ACPA CJ+ 1 -j+1 -

11、02|0121丨0 11 11 i3"-1 -1 (a) ACF(b) PACF圖2單純MA之相關函數(shù)然而，若ACF、PACF等二圖都沒有明顯的切斷點時，序列很可能屬於ARMA(p,q)模式。 遇到ARMA(p,q)模式時，實務上可用試誤法(Try and Error)。將所有可能的模式分別進 行分析，最後由模式診斷來判定何者較為合適?；蛘?，從差分後之序列的自我相關係數(shù)估計值可以觀察出。以自我相關系數(shù)估計值落在 信賴區(qū)間外之最大落差項為q。為要考驗落差項高於q之自我相關系數(shù)是否為零，可用 Bartlett計算第k項落差(k>q)之 自我相關系數(shù)(rk)之變異數(shù)，並假設rk為為一平均值為零之常態(tài)分配變數(shù)，從而建立一 個信賴區(qū)間。Bartl