材料力學習題答案1概述

1、材料力學習題答案12.1 試求圖各桿1-1、2-2、3-3截面上的軸力，并作軸力圖解：(a)F1JL=40+3020=50(kN),F2/=3020=10(kNF3=20kN)(b)Fj=F,F2/=F-F=0,F3壬=F(c)Fj=0，F(xiàn)2/=4FF33 =4F - F =3F軸力圖如題2.1圖（a） 、（ b ）、（ c）所示2.2 作用于圖示零件上的拉力F=38kN試問零件內(nèi)最大拉應(yīng)力發(fā)生在哪個截面上？并求其值。解截面1-1的面積為A=（50-22F20=560（mm2）截面2-2的面積為2A=151550-22=840mm因為1-1截面和2-2截面的軸力大小都為F,1-1截面面積比2-

2、2截面面積小，故最大拉應(yīng)力在截面1-1上，其數(shù)值為:、-maxF38103A一560=67.9MPa2.9冷鍛機的曲柄滑塊機構(gòu)如圖所示。鍛壓工件時連桿接近水平位置，承受的鍛壓力F=1100kN連桿截面是矩形截面，高度與寬度之比為h=1.4。材料為45鋼，許用應(yīng)力bb=58MPa,試確定截面尺寸h及b。解連桿內(nèi)的軸力等于鍛壓力F,所以連桿內(nèi)正應(yīng)力為二=上。A根據(jù)強度條件，應(yīng)有仃=F=E乜b,將h=1.4Abhb代入上式，解得bF.1100103"-1.4匕J1.458106=0.1164mp116.4mmh由-=1.4,得h之162.9(mm)所以，截面尺寸應(yīng)為b>116.4(m

3、m),h>162.9(mm)o2.12在圖示簡易吊車中，B鋼桿，A明木桿。木桿AB勺橫截面面積A=100cm2,許用應(yīng)力b=7MPa；鋼桿BC勺橫截面面積A=6cm2，許用拉應(yīng)力k=160MPa。試求許可吊重F。解B較鏈的受力圖如圖（b）所示，平衡條件為Fx Fx = 0 ,F NBcos3-0F N AB 0£ Fy =0, FNBSi n 30F =0解（1）、（2）式，得F NBC 2F ,Fnab =、.3f(1)(2)(3)（1）按照鋼桿的強度要求確定許可吊重鋼桿的強度條件為：:-2=區(qū)軍工2A由上式和（3）式可得F1一1F=-NBC=-2A2=-1601066104

4、8000N尸48kN（2）按木桿的強度要求確定許可吊重木桿的強度條件為：:-1=縣建A1由上式和（3）式可得F1'16上F一NAB二一1A：7101001040415N140.4kN333比較上述求得的兩種許可吊重值，可以確定吊車的許可吊重為IF】=40.4（kN卜油缸內(nèi)徑D二試校核活塞:卜， 32.14某銃床工作臺進給油缸如圖（a）所示，缸內(nèi)工作油壓p=2MPa,75mm活塞桿直徑d=18mm已知活塞桿材料的許用應(yīng)力b】=50MPa,桿的強度。解活塞桿的受力圖（b）所示,由平衡條件可得其承受的拉力為：Fn =p二 D2 -d2活塞桿的應(yīng)力:= 32700000 Pa ) =32.7

5、MPa2 1060.0752 -0.0182720.018與許用應(yīng)力k】 = 50MPa比較可知,活塞桿可以安全工作。2.18變截面直桿的受力如圖（a）所示。已知：A =8cm2, A2 =4cm2, E =200GPa。求桿的總伸長l。解 桿的軸力圖如圖（b）所示，各段的伸長分別為：1FN1l1EAEA236,：l，4“2 = 2 型EA1EA2則總的伸長為33-20100.240100.2"_9"_/"_9_42001081020010410=0.000075m10.075mm2.20設(shè)圖（a）中CG桿為剛體（即CG桿的彎曲變形可以忽略），BC桿為銅桿，DG桿

6、為鋼桿，兩桿的橫截面面積分別為A和A2,彈性模量分別為Ei和E2。如要求CG干始終保持水平位置，試求X1解CG干的受力圖如圖（b）所示，其平衡條件為£ Fy =0,Fni . Fn2 =F£Mc=0,由拉壓胡克定律得二桿的軸向變形為：M=旦山，川2=豆生EiAE2A2欲使CG桿始終保持水平狀態(tài)，必須M=&2,即F NlllE1aF N2I2聯(lián)立、式，解得:ll1E2AX = OI2E1A1liE2A2<b)2.43在圖（a）所不結(jié)構(gòu)中，假設(shè)A（M為羊干羊剛桿，桿1、2、3的橫截面面積相等，1:,14-Ld材料相同。試求三桿的軸力。M%"解桿ABC勺受

7、力圖如圖（b）所示，1平衡條件為：工Fy=0,FN1+FN2*FN3=FMMa=0,Fn2a+2Fn3a=0變形的幾何關(guān)系如圖（b）所示，變形協(xié)調(diào)方程為與+頌=22利用胡克定律將式變?yōu)镕niI十Fn31_2Fn21EAEAEA聯(lián)立、式，解得511Fni=F,Fn2=F,Fn3=一F6362.44 如圖(a)所示剛桿A幅掛于1、2兩桿上，桿1的橫截面面-V積為60mm2,桿2為120mm2,且兩桿材料相同。若F=6kN,試求兩桿的軸力及支座A勺反力。解桿1、2的受力圖如圖（b）I- 1 m L I J iTnl-lTTM 1MA =0,Fn1 1 Fn2 2 -F 3所示，這是個一次超靜定問題，

8、可利用的平衡方程只有一個。變形協(xié)調(diào)方程為:11FN1I1EA2FN12312010$_Fn11“2-EAFN2I2-6010*Fn243-Fn2-2解、式，得FN1=3.6(kN),FN2=7.2(kN)由平衡條件：£Fy=0,Fn1+Fn2-F-FRAy=0得：FRAy=4.8(kN)。2.58 圖示凸緣聯(lián)軸節(jié)傳遞的力偶矩為Me=200N-my凸緣之間用四只螺栓連接，螺栓內(nèi)徑d由10mm,對稱地分布在D0=80mm的圓周上。如螺栓的剪切許用應(yīng)力k】=60MPa,試校核螺栓的剪切強度。解假設(shè)每只螺栓所承受的剪力相同，都為Fs。四個螺栓所受剪力對聯(lián)軸節(jié)軸線的力矩之和與聯(lián)軸節(jié)所傳遞的力偶

9、矩Me平衡，所以有:D0Me=4FS0eS2因此，每只螺栓所承受的剪力為:FS=膽=2003=1250N;=1.25kN2Do28010每只螺栓內(nèi)的切應(yīng)力為:FS=號=412；3=15900000Pa=15.9MPa:60MPa所以，螺栓能安全工作。2.59 一螺栓將拉桿與厚為8mml兩塊蓋板相連接。各零件材料相同，許用應(yīng)力為島】=80MPa,【T】=60MPa,kbs】=160MPa。若拉桿的厚度5二15mm拉力F=120kN,試設(shè)計螺栓直徑d及拉桿寬度bo解(1)按拉伸強度要求設(shè)計拉桿的寬度拉桿的軸力Fn=f,其強度條件為：二二色二F二月.口二AAb解上式，得120 10315 10，80

10、 106= 0.1 m i：-100 mm(2)按剪切強度要求設(shè)計螺栓的直徑螺栓所承受的剪力為FS=二，應(yīng)滿足剪切強度條件為:2.上=/FEL12A2二d解上式，得,一2F12120103八d-JJ60106=0.0357m=357mm(3)按擠壓強度要求設(shè)計螺栓的直徑拉桿擠壓強度條件為："-'bsF<l>bsd、.解上式，得=0.05 m = 50 mmd>F_120M103一、I：丁15I。"3160106蓋板的擠壓強度條件為:F/2AbsF/23-810dF3-1610dks1解上式，得F16 103 kbs 1120 10316 104 1

11、60 106=0.047 m = 47 mm比較以上三種結(jié)果，取d=50mmb=100mm3.1作圖示各桿的扭矩圖TJ1今缶M*10kN30*di解圖（a）,分別沿1-1、2-2截面將桿截開，受力圖如圖（a1）所示。應(yīng)用平衡條件可分別求得：Ti=-2Me,T2=-Me根據(jù)桿各段扭矩值，作出的扭矩圖如圖（a2）所示。用同樣的方法，可作題圖（b）、（c）所示桿的扭矩圖，如圖（b1）、（c1）所示3.8階梯形圓軸直徑分別為di=40mmd2=70mm軸上裝有三個皮帶輪，如圖（a）所示。已知由輪3輸入的功率為R=30kW輪1輸出的功率為Pi=13kVy軸作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速n=200r/min,材料的剪切

12、許用應(yīng)力k】=60MPa,G=80GPa許用扭轉(zhuǎn)角H=2/m。試校核軸的強度和剛度。解首先作階梯軸的扭矩圖P13Me1=95491=9549=621N1mn200Me3=9549P3=95492=1433Nmn200階梯軸的扭矩圖如圖(b)所示。(1)強度校核Me1 _621W1 二 0.043A英最大切應(yīng)力為:=49400000PaV-49.4MPa"-60MPa16A堡的最大工作切應(yīng)力小于許用切應(yīng)力，滿足強度要求。c酸的扭矩與aco勺相同，彳a其直徑比Ada的大，所以c酸也滿足強度要求。D酸上最大切應(yīng)力為:T2Me3 1433此一 Wt2 一 二 0.073= 21300000

13、Pa =21.3 MPa < I. .1 - 60 MPa16故口戚的最大工作切應(yīng)力小于許用切應(yīng)力，滿足強度要求。(2)剛度校核ACS的最大單位長度扭轉(zhuǎn)角為:621GIp 二49 二 0.0480 10 "0 =1.77 :/m J I - 2 /m32D酸的單位長度扭轉(zhuǎn)角為:1433GIp 二80 109二 0.074-0.435 ,/m - ： I - 2 /m32綜上所述可知，各段均滿足強度、剛度要求。3.11實心軸和空心軸通過牙嵌式離合器連接在一起。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min,傳遞的功率P=7.5kW材料的許用切應(yīng)力Id=40MPa試選擇實心軸的直徑d1和內(nèi)外徑比

14、值為0.5的空心軸的外徑D2。"LTTVJ-L解軸所傳遞的扭矩為P7.5T =9549 =9549 100= 716 NLm由實心圓軸的強度條件T16Tmax3Wt-：d1可得實心圓軸的直徑為:di - 316 716二 40 106=0.045 m =45 mm空心圓軸的外徑為:16 7163 二 40 106 1 -0.54= 0.0516 m)=51.6 mm=0.046m=46mm3.13 橋式起重機如圖所示。若傳動軸傳遞的力偶矩Me=1.08kN材料的許用應(yīng)力U=40MPaG=80GPa同時規(guī)定M=0.5d/m)。試設(shè)計軸的直徑解由圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件T16Me.,1.max

15、二二丁三LWt二d3可確定軸的直徑為：d316Me_3161.08103-1.1'二40106由圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件工理二班鷲GIP二G二d 32 1.08 103 180 80 109 0.5 二2二可確定軸的直徑為32Me 180u0.063m)：=63mm比較兩個直徑值，取軸的直徑d=63(mm)3.14 傳動軸的轉(zhuǎn)速n=500r/min,主動輪1輸入功率R=368kW從動輪2、3分別輸出功率P2=147kWP3=221kW已知k】=70MPa伸1=1/m,G=80GPa(1)試確定A瑕的直徑d1和B樊的直徑d2。(2)若ABBCM段選用同一直徑，試確定直徑do(3)主動輪和從動輪

16、應(yīng)如何安排才比較合理？解首先計算外力偶矩Me1R368-9549 =9549 500- 7028 N1m ： 7030 NmMe3Pa221= 9549 =9549 500= 4220 Nm應(yīng)用以上外力偶矩數(shù)值，作軸的扭矩圖如圖(b)所示。(1)確定A瑕的直徑d1和B第的直徑d2根據(jù)強度條件：. abTAB16M e13Wt二 d1<&可確定軸A段的直徑為:16M d1 -3,e1 =316 70306 =0.080 m =80 mm二 70 10理二 32MlG1P4二 G 二 d1可確定軸A段的直徑為:di - 432Me 180 二 4 32 7030 1809.2二 80

17、 101 二= 0.0846 m 7-84.6 mm比較由強度條件和剛度條件計算的A段的直徑值，取d1=85mm。根據(jù)強度條件確定軸BCg的直徑為:d2 -16Me23116 M 4220二 70 106= 0.0675 m 167.5 mm根據(jù)剛度條件確定BCg的直徑為:d2-432Me2180_4324220180G二<92二,801091=0.0745m=74.5mm比較由強度條件和剛度條件計算的A段的直徑值，取d2=75mm。(2)若ABB樊選用同一直徑，則軸的直徑取di=85mm。(3)主動輪放在兩從動輪之間，可使最大扭矩取最小值，所以，這種安排較合理。4.1試求圖(c)和所示

18、各梁中截面1-1、2-2、3-3上的剪力和彎矩，這些截面無限接近于截面質(zhì)截面D。設(shè)F、q、a均為已知。解(c) 截面1-1內(nèi)力為:FS1 二 F qa = 2qaM1 =-Fa -qa2 = -qa222截面2-2內(nèi)力為:Fs2 F - qa 2qa1212M2=MC-Fa- - qa =-qa 22(f) 截面1-1內(nèi)力為:Fs1=qa,M11 2-qa19MMC(Fi)=0,FR2a-MC-2Fa+qa2=02由上式可得：FR2=qa2qa-1qa=5qa22截面2-2內(nèi)力為:32FS2=-FR2+F=qa,M2-Mc-Fa-2qa。24.4設(shè)圖(a)、(d)、(h)、(j)和(l)所示各

19、梁的載荷F、q、M4口尺寸a。(1)列出梁的剪力方程和彎矩方程；(2)作剪力圖和彎矩圖；(3)確定Fmax及M|max。q="kYjmF20kNOkN/mq/0 二 x 二 aa三x三2a(2)作剪力圖、彎矩圖解(a)受力如圖所示(1)列剪力方程和彎矩方程用假想截面截開，取右段進行研究可得剪力方程和彎矩方程:2FFSx二S0V(2x-a)M(x)=4''Fa如題圖(a2)所示(3)梁的最大剪力和彎矩gmax=2FiMmax=Fa(d)受力如圖(d)所示(1)計算支反力Fa和Fb由£MA(Fi)=0可得：2aFBMeFa=0,Fb=F由£Ry=0可得

20、：Fa=0(2)列剪力方程和彎矩方程剪力方程為：00：x:二aFSI.x;-Fa<x<2a彎矩方程為：00：x二aMx=F2a-xa<x<2a(3)作剪力圖、彎矩圖如題圖(d2)所示。(4)梁的最大剪力和彎矩箱產(chǎn)Smax=F(h)受力如圖(h)所示(1)計算支反力Fc和Fb由£ Mc (F )=0可得：_ _52aFB -6Fa + Fa = 0 , FB = F2由£ Fiy =0可得：_ _9_b=9f(2)列剪力方程和彎矩方程Mmax=Fa剪力方程為:-FFsx)=2f0三x：二aa三x:2a2a_x_3a0 < x : aa 三 x ：

21、 2a2a _ x _ 3a(j)F = ZOkN q - 30liN/niqJ TH“f舟C D*E S -1 mJ. m -Itii-lb彎矩方程為:-FxFMx=-7x-9a52F(3a-x)(3)作剪力圖、彎矩圖如題圖(h2)所示。(4)梁的最大剪力和彎矩L_7匚jiFSmax-2FlMmax=2Fa受力如圖(j)所示(1)計算支反力Fc和Fe由£Mc(F)=0可得：2Fe-3012.5-2013010.5=0由上式可得Fe=40kN由Z0=0可得：Fc=230120-40=40kN(2)列剪力方程和彎矩方程剪力方程為：30x0<x<1101<x<2F

22、S=S-102<x<330(4-x)3MxM4彎矩方程為：F = ZOkNq - 30liN/niIq=3州JHHfl!-15x0<x<110x251<x<2M(xi115-10x2<x<32-15(4-x)3<x<4(3)作剪力圖、彎矩圖如題圖(j2)所示。(4)梁的最大剪力和彎矩FSmax=30(kN)UMLx=15(kNLm)(l)受力如圖(l)所示用假想截面截開，取左段進行研究可得剪力方0 _ x ： aa - x :二 2a(1)列剪力方程和彎矩方程程和彎矩方程:-qxFSx【qa12Mx=*32qax產(chǎn)(2)作剪力圖、彎矩

23、圖如題圖(12)所示。(3)梁的最大剪力和彎矩FSmax=qa.12,ML=2qa5.4矩形截面懸臂梁如圖所示，已知1=4mb2-=-，q=10kN/m,b=10MPa。h3試確定此梁橫截面的尺寸。解顯而易見，梁的最大彎矩發(fā)生在固定端截面上Mmax=jql2=；1042=80kNLm梁的強度條件為：:二W3804-bh26將h=3代入上式得18M80M103 _3|18父80M1032 10 106=0.416 m = 416 mmb=型=3二335.12，形截面鑄鐵懸臂梁，尺寸及載荷如圖(a)所示。若材料的拉伸許用應(yīng)力bJ=40MPa,壓縮許用應(yīng)力HJ=160MPa,截面對形心軸zc的慣性矩

24、Iz=10180cm4,hi=9.64cm,試計算該梁的許可載荷F。cM1 =0.8F , M2 = 0.6F。解梁的彎矩圖如圖(b)所示，彎矩的兩個極值分別為:根據(jù)彎曲正應(yīng)力的強度條件_Mmaxymax.,maxIZC由A截面的強度要求確定許可載荷由抗拉強度要求得:k/Q401061018010$F-2=52800N=52.8kN0.8h0.89.6410由抗壓強度要求得:l<c IF160 106 10180 100.8%0.8 15.4 10= 1322000 N =132.2 kN由C截面的強度要求確定許可載荷由抗拉強度要求得:F _-C0.6h24010610180103Z_Z

25、20.615.410=44100N=44.1kN顯然盛面的壓應(yīng)力小于A截面同側(cè)的拉應(yīng)力，不必進行計算。許用載荷為F<44.1(kN)。5.16鑄鐵梁的載荷及橫截面尺寸如圖(a)所示。許用拉應(yīng)力k=40MPa,許用壓應(yīng)力kc】=160MPa。試按正應(yīng)力強度條件校核梁的強度。若載荷不變，但將T形橫截面倒置，即翼緣在下成為，形，是否合理？何故？解截面的幾何性質(zhì)yc20 3 10 20 3 21.52 20 3= 15.8 cm133 2031221320 3 5.82 20 33 20123 21.5-15.8)卜 6012(cm4k二yiAi（組合面積的形心：yc=一,平行軸定理：Iz=Iz

26、c+Ad2）'、Ai1作梁的彎矩圖如圖（b）所示根據(jù)彎曲正應(yīng)力的強度條件maxM max y maxIZc< fcr B截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力為:max ymaxIZCmax y max20 1 03 23 -15.8 1 0上6012 10,20 103 15.8 1026012 106= 23.95 106 Pa =24.0 MPa 二 l.l-40 MPa= 52.56 106 Pa =52.6 MPa 二 Lc l-160 MPaC截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力為:Mmaxymax10 103 15.8 10，Iz -6012 10,ZC= 26.28 106 P

27、a V-26.3 MPa J-J-40 MPamax y max3910 1023-15.8 106012 10,= 11.98 106 Pa =12.0 MPa :卜，IT60 MPa由此可知，最大應(yīng)力小于許用應(yīng)力，安全。若截面倒置呈，形，則B截面的最大拉應(yīng)力將增大為:-52.56 106 Pa V-52.6 MPa k J - 40 MPaMmaxymax2010315.8107IzC-601210"顯然，這樣抗拉強度不夠，因而截面倒置使用不合理。5.18 試計算在均布載荷作用下，圓截面簡支梁內(nèi)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力,并指出它們發(fā)生于何處。解求支反力Fa和FbLL1, L，一F

28、a = Fb - _ ql =5 kN剪力和彎矩分別為:Fs(x)=Fa-qx=5-10x(kN卜0<x<1M(x)=Fax-gqx2=5x-5x2(kN|_m),0<x<1畫出的簡支梁的剪力圖和彎矩圖如圖(b)、(c)所示。由剪力和彎矩公式可得：Mmax=1.25(kNLm),Fsmax=5(kN)、-maxM max32 1.25 103二 0.053= 101860000 Pa =101.9 MPa最大正應(yīng)力如圖所最大正應(yīng)力發(fā)生在跨中點處圓截面豎向直徑的上、下端點上,示。最大切應(yīng)力注：書P152:=吟(5-12)3二R2_34F4510max二常=34=33950

29、00Pa=3.4MPa最大切應(yīng)力發(fā)生在A、B截面的中性軸上。5.19 試計算圖（a）所示工字鋼截面梁內(nèi)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力解利用平衡條件求出工字梁的約束反力和彎矩圖，分別如圖（c）、（d）所示。No.16工字鋼截面的幾何性質(zhì)可查附錄三型鋼表獲得。20 2-10 2Fb =4= 5（ hN ）,Fa =10 20-5 =25 kN并標示在圖（b）中，作剪力圖lukN9I 幺=13.8cm , d = 6mm（腹板寬度）43Iz=1130cm,Wz=141cm式中，I%是截面對中性軸的慣性矩與半截面的靜矩之比。最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力:二maxMmax20103WZ-14110*=1418000

30、00Pa=141.8MPaFSmaxSzmax15103max_3_261013.810=18100000Pa=18.1MPa（注：maxFSmaxSzmax._*FsSz書P151,在中性軸處，切應(yīng)力最大）6.10 用疊加法求圖（a）、（c）所示各梁截面A的撓度和截面B的轉(zhuǎn)角。EI為已知常數(shù)。解（a）圖的受力可分解為如圖（a1）的受力。查附錄二可得（注：P188:l=l/2）Fl3wA ，24EI2Me l/2Fl371& = ?A =由疊加原理有2EI8EIFl28EIFl3M elFl2EIFl3wA = Wa WA = -2 8EI 24EIFl36EIFl2 Fl29Fl 28EIEI(c)如圖、(c1)、(c2)所示。II訃mrrJinfrfcili d II H iTnn<c：')由圖(c)、(c1)可見Wa =Wa 1 -WA2因 Wa =Wa2 , 查附錄二得Wa 15ql4384EI所以，Wa5ql4768EI(J )由圖(c)、(c