第三章試驗的方差分析

1、第三章 試驗的方差分析 什么是方差分析?n飲料企業(yè)飲料企業(yè): :研制新型飲料。研制新型飲料。n顏色顏色: :橘黃色、粉色、綠色和無色透明。影響銷售量橘黃色、粉色、綠色和無色透明。影響銷售量的因素的因素: :營養(yǎng)含量、味道、價格、包裝等可能全部相營養(yǎng)含量、味道、價格、包裝等可能全部相同。同。n地理位置相似、經(jīng)營規(guī)模相仿的五家超級市場地理位置相似、經(jīng)營規(guī)模相仿的五家超級市場n試分析飲料的顏色是否對銷售量產(chǎn)生影響。試分析飲料的顏色是否對銷售量產(chǎn)生影響。方差例子分析 檢驗飲料的顏色對銷售量是否有影響，也就是檢驗飲料的顏色對銷售量是否有影響，也就是檢驗四種顏色飲料的檢驗四種顏色飲料的平均銷售量平均銷售量

2、是否相同是否相同 設(shè)設(shè)1:1:無色，無色，2:2:粉，粉，3:3:橘黃，橘黃，4:4:綠色綠色 檢驗下面的假設(shè)檢驗下面的假設(shè) H H0: 1 = 2 = 3 = 40: 1 = 2 = 3 = 4 方差分析方差分析只有隨機(jī)誤差只有隨機(jī)誤差真值真值方差分析的必要性方差分析的必要性nt t檢驗法：樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)及兩樣本平均數(shù)間檢驗法：樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)及兩樣本平均數(shù)間的差異顯著性檢驗的差異顯著性檢驗n經(jīng)常會遇到比較多個處理優(yōu)劣的問題經(jīng)常會遇到比較多個處理優(yōu)劣的問題, , 需進(jìn)行多個平均需進(jìn)行多個平均數(shù)間的差異顯著性檢驗。數(shù)間的差異顯著性檢驗。1 1、對原始資料的利用率很低；、對原始資料

3、的利用率很低；2 2、破壞了原先的整體設(shè)計，將本屬于單因素多水平或者多因素設(shè)計或、破壞了原先的整體設(shè)計，將本屬于單因素多水平或者多因素設(shè)計或重復(fù)測量設(shè)計割裂成多個單因素二水平的設(shè)計重復(fù)測量設(shè)計割裂成多個單因素二水平的設(shè)計3.3.犯假陽性錯誤的概率大大增加犯假陽性錯誤的概率大大增加4.4.因素之間往往存在不可忽視的交互作用，而因素之間往往存在不可忽視的交互作用，而t t檢驗割裂了因素之間的檢驗割裂了因素之間的內(nèi)在聯(lián)系內(nèi)在聯(lián)系對于多個總體樣本均值的假設(shè)檢驗，需要用方差分析方法對于多個總體樣本均值的假設(shè)檢驗，需要用方差分析方法方差分析的基本思想n方差分析的實(shí)質(zhì)方差分析的實(shí)質(zhì)就是檢驗多個正就是檢驗多個

4、正態(tài)總體均值是否態(tài)總體均值是否相等。相等。試驗試驗次數(shù)次數(shù)A1A2Ai Ar1x11x21xi1 xr12x12x22xi2 xr2 jx1jx2jxij xrj nix1n1x2n2xini xrnrr個水平個水平每個水平下每個水平下重復(fù)重復(fù)N次試驗次試驗rn試驗試驗n表中的數(shù)據(jù)是參差不齊的，表中的數(shù)據(jù)是參差不齊的，n可能原因：一可能原因：一: :由于因素的水平不同由于因素的水平不同 二二: :來自偶然來自偶然n條件誤差條件誤差: :因素的水平的變化引起的試驗數(shù)據(jù)波動；因素的水平的變化引起的試驗數(shù)據(jù)波動；試驗誤差試驗誤差: :由隨機(jī)因素引起的試驗數(shù)據(jù)波動由隨機(jī)因素引起的試驗數(shù)據(jù)波動n方差分析

5、就是把試驗數(shù)據(jù)的總波動分解為兩部分方差分析就是把試驗數(shù)據(jù)的總波動分解為兩部分隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差條件誤差條件誤差同一種顏色的飲料在不同同一種顏色的飲料在不同超市上的銷售量的差異：超市上的銷售量的差異：隨機(jī)隨機(jī)同一顏色：一個總體同一顏色：一個總體不同顏色飲料的銷售量也是不同的不同顏色飲料的銷售量也是不同的可能可能是由于抽樣的是由于抽樣的隨機(jī)性隨機(jī)性所造成的，所造成的，也可能也可能是由于顏色本身所造成的是由于顏色本身所造成的組內(nèi)方差組內(nèi)方差組間方差組間方差系統(tǒng)性系統(tǒng)性因素因素數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的波動原因？波動原因？方差的比較方差的比較n1.1.如果不同顏色如果不同顏色( (水平水平) )對銷售量對銷售量( (

6、結(jié)果結(jié)果) )沒有影響，那么在沒有影響，那么在組間方差中只包含有隨機(jī)誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。這時，組間方差中只包含有隨機(jī)誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。這時，組間方差與組內(nèi)方差就應(yīng)該很接近，兩個方差的比值就會組間方差與組內(nèi)方差就應(yīng)該很接近，兩個方差的比值就會接近接近1 1n2.2.如果不同的水平對結(jié)果有影響，在組間方差中除了包含如果不同的水平對結(jié)果有影響，在組間方差中除了包含隨機(jī)誤差外，還會包含有系統(tǒng)誤差，這時組間方差就會大隨機(jī)誤差外，還會包含有系統(tǒng)誤差，這時組間方差就會大于組內(nèi)方差，組間方差與組內(nèi)方差的比值就會大于于組內(nèi)方差，組間方差與組內(nèi)方差的比值就會大于1 1。n3.3.當(dāng)這個比值大到某種程度時，就

7、可以說不同水平之間存當(dāng)這個比值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在著顯著差異在著顯著差異n方差分析實(shí)質(zhì)是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析。方差分析實(shí)質(zhì)是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析。方差分析方差分析數(shù)據(jù)的總偏差平方和數(shù)據(jù)的總偏差平方和S ST T分解分解反映必然性的各個因素的偏差平方和（反映必然性的各個因素的偏差平方和（SASA，SBSB，SCSC，）反映偶然性的偏差平方和（反映偶然性的偏差平方和（SeSe）, ,并計算它們的平均偏差平方并計算它們的平均偏差平方和。和。兩者進(jìn)行比較，借助兩者進(jìn)行比較，借助F F檢驗法，進(jìn)行假設(shè)檢驗，從而確定因素檢驗法，進(jìn)行假設(shè)檢驗，從而確定因素對試驗結(jié)果的影響

8、是否顯著。對試驗結(jié)果的影響是否顯著。3.1 3.1 單因素試驗的方差分析單因素試驗的方差分析3.1.1 3.1.1 單因素試驗方差分析基本問題單因素試驗方差分析基本問題（1 1）目的：檢驗一個因素對試驗結(jié)果的影響是否顯著性）目的：檢驗一個因素對試驗結(jié)果的影響是否顯著性（2 2）基本命題：）基本命題：n設(shè)某單因素設(shè)某單因素A A有有r r種水平：種水平：A A1 1，A A2 2，A Ar r，在每種水平下，在每種水平下的試驗結(jié)果服從正態(tài)分布的試驗結(jié)果服從正態(tài)分布n在各水平下分別做了在各水平下分別做了n ni i（i i1 1，2 2，r r）次試驗）次試驗n判斷因素判斷因素A A對試驗結(jié)果是否

9、有顯著影響對試驗結(jié)果是否有顯著影響 （3 3） 單因素試驗數(shù)據(jù)表單因素試驗數(shù)據(jù)表 試驗次試驗次數(shù)數(shù)A1A2AiAr1x11x21xi1xr12x12x22xi2xr2jx1jx2jxijxrjnix1n1x2n2xinixrnr總體均值總體均值A(chǔ)1A1下的均值下的均值rnrn次次試驗試驗3.1.2 3.1.2 單因素試驗方差分析基本步驟單因素試驗方差分析基本步驟 （1 1）計算平均值）計算平均值n組內(nèi)平均值組內(nèi)平均值 ：111inrijijxxn11iniijjixxnn 總平均總平均 ：（2 2）計算離差平方和）計算離差平方和總離差平方和總離差平方和SSSST T211()inrTijijS

10、Sxxn 表示了各試驗值與總平均值的偏差的平方和表示了各試驗值與總平均值的偏差的平方和n 反映了試驗結(jié)果之間存在的總差異反映了試驗結(jié)果之間存在的總差異 組間離差平方和組間離差平方和 SSSSA A 22111()()inrriiAiijiSSxxn xxn 反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度n 由于因素由于因素A A不同水平的不同作用造成的不同水平的不同作用造成的 組內(nèi)離差平方和組內(nèi)離差平方和 SSSSe e （sum of square for error）n反映了在各水平內(nèi)，各試驗值之間的差異程度反映了在各水平內(nèi)，各試驗值之間的差異程度 n由于隨機(jī)誤差的作用產(chǎn)

11、生由于隨機(jī)誤差的作用產(chǎn)生 211()inrieijijSSxx三種離差平方和之間關(guān)系：三種離差平方和之間關(guān)系： TAeSSSSSS（3 3）計算自由度）計算自由度 n總自由度總自由度 ：dfdfT Tn n1 1n組間自由度組間自由度 ：dfdfA A r r1 1n組內(nèi)自由度組內(nèi)自由度 ： dfdfe e n nr r 三者關(guān)系：三者關(guān)系： dfdfT T dfdfA A dfdfe e（4 4）計算平均平方）計算平均平方n均方離差平方和除以對應(yīng)的自由度均方離差平方和除以對應(yīng)的自由度 /AAAMSSSdf/eeeMSSSdfMSA組間均方組間均方MSe組內(nèi)均方組內(nèi)均方/誤差的均方誤差的均方（

12、5 5）F F檢驗檢驗n服從自由度為（服從自由度為（dfdfA A, ,dfdfe e）的）的F F分布（分布（F distributionF distribution）n對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平 ，從，從F F分布表查得臨界值分布表查得臨界值F F ( (dfdfA A，dfdfe e) ) n如果如果F FA A F F ( (dfdfA A，dfdfe e) ) ，則認(rèn)為因素，則認(rèn)為因素A A對試驗結(jié)果有顯著對試驗結(jié)果有顯著影響否則認(rèn)為因素影響否則認(rèn)為因素A A對試驗結(jié)果沒有顯著影響對試驗結(jié)果沒有顯著影響 AAeMSFMS組間均方組內(nèi)均方（6 6）方差分析表）方差分析表

13、n若若 F FA A F F0.010.01( (dfdfA A，dfdfe e) ) ，稱因素，稱因素A A對試驗結(jié)果有非常顯對試驗結(jié)果有非常顯著的影響，用著的影響，用 “ “* * * *”號表示；號表示； n若若 F F0.050.05( (dfdfA A，dfdfe e) ) F FA A F F0.010.01( (dfdfA A，dfdfe e) ) ，則因素，則因素A A對對試驗結(jié)果有顯著的影響，用試驗結(jié)果有顯著的影響，用“* *”號表示；號表示； n若若 F FA A F F0.050.05( (dfdfA A，dfdfe e) ) ，則因素，則因素A A對試驗結(jié)果的影響不顯對

14、試驗結(jié)果的影響不顯著著單因素試驗的方差分析表單因素試驗的方差分析表 差異源差異源SSdfMSF顯著性顯著性組間（因素組間（因素A）SSAr1MSASSA（r1）MSAMSe組內(nèi)（誤差）組內(nèi)（誤差）SSenrMSeSSe（nr）總和總和SSTn1例題：單因素方差分析例題：單因素方差分析 為了考察溫度對某化工產(chǎn)品得率的影響，選取為了考察溫度對某化工產(chǎn)品得率的影響，選取5 5種不同的溫種不同的溫度，在同溫度下作了度，在同溫度下作了3 3次試驗，數(shù)據(jù)如下表所示：問題，溫次試驗，數(shù)據(jù)如下表所示：問題，溫度對得率的是否存在影響？度對得率的是否存在影響？次數(shù)次數(shù)60度度65度度70度度75度度80度度190

15、979684842929396838638892938882n解題解題單因素方差分析，單因素為溫度，水平為單因素方差分析，單因素為溫度，水平為5 5每一水平下作了每一水平下作了3 3次試驗，總次數(shù)次試驗，總次數(shù)1515次次次數(shù)次數(shù)6065707580190979684842929396838638892938882組內(nèi)和組內(nèi)和TI270282285255252組內(nèi)均值組內(nèi)均值9094958584總平均總平均 89.6n計算總方差計算總方差n計算自由度計算自由度nF F檢驗檢驗3.2 3.2 雙因素試驗的方差分析雙因素試驗的方差分析重復(fù)試驗重復(fù)試驗3.2.1 3.2.1 雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分

16、析雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析（1 1）雙因素?zé)o重復(fù)試驗）雙因素?zé)o重復(fù)試驗B1B2BsA1x11x12x1sA2x21x22x2sArxr1xr2xrs雙因素重復(fù)試驗方差分析試驗表雙因素重復(fù)試驗方差分析試驗表 B1B2BsA1A2Ar11111211,.,cxxx12112212,.,cxxx1 11 21,.,ssscxxx21121221,.,cxxx22122222,.,cxxx2 12 22,.,ssscxxx11121,.,rrr cxxx21222,.,rrr cxxx12,.,rsrsrscxxx考慮交互作用考慮交互作用無交互作用無交互作用總體均值總體均值A(chǔ)1A1下的均值下的均值B

17、1B1下的均值下的均值rsrs次次試驗試驗rscrsc次次試驗試驗（2 2）雙因素?zé)o重復(fù)試驗方差分析的基本步驟）雙因素?zé)o重復(fù)試驗方差分析的基本步驟 計算平均值計算平均值 n總平均總平均 ：111rsijijxxrs 11siijjxxs11rjijixxrn A Ai i水平時水平時 ：n B Bj j水平時：水平時： 計算離差平方和計算離差平方和 n總離差平方和：總離差平方和：n因素因素A A引起離差的平方和：引起離差的平方和：n因素因素B B引起離差的平方和：引起離差的平方和：n誤差平方和：誤差平方和：211rsTijABeijSSxxSSSSSS22111()()srriiAjiiSSx

18、xsxx22111()()rssjjBijjSSxxrxx211()rsijeijijSSxxxx計算自由度計算自由度 nSSA的自由度：的自由度：dfA r1nSSB的自由度：的自由度：dfBs1 nSSe的自由度：的自由度：dfe（r1）（）（s1）nSST的自由度：的自由度：dfTn1rs1 ndfT dfA dfB dfe計算均方計算均方 1AAAASSSSMSdfr1BBBBSSSSMSdfs(1)(1)eeeeSSSSMSdfrsF F檢驗檢驗 nF FA A服從自由度為（服從自由度為（dfdfA A, ,dfdfe e) )的的F F分布；分布；nF FB B服從自由度為（服從自

19、由度為（dfdfB B, ,dfdfe e) )的的F F分布；分布；n對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平 ，查，查F F分布表：分布表： F F （dfdfA A, ,dfdfe e) )， F F （dfdfB B, ,dfdfe e) )n若若F FA AF F （dfdfA A, ,dfdfe e) )，則因素，則因素A A對試驗結(jié)果有顯著影響，否對試驗結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；則無顯著影響； n若若F FB BF F （dfdfB B, ,dfdfe e) )，則因素，則因素B B對試驗結(jié)果有顯著影響，否對試驗結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；則無顯著影響；BBeMSFMS

20、AAeMSFMS差異源差異源SSdfMSF顯著性顯著性因素因素ASSAr1因素因素BSSBs1誤差誤差SSe總和總和SSTrs1無重復(fù)試驗雙因素方差分析表無重復(fù)試驗雙因素方差分析表 1AASSMSrAAeMSFMS1BBSSMSsBBeMSFMS(1)(1)rs(1)(1)eeSSMSrs無重復(fù)試驗雙因素方差分析表無重復(fù)試驗雙因素方差分析表n為了考查pH值和CuSO4溶液濃度對化驗血清中的白蛋白和球蛋白的影響，對蒸餾水中的pH（A）取了4不同的水平，對CuSO4（B）取了3個不同的水平，在不同的水平組合下各測了一次白蛋白和球蛋白之比，結(jié)果如下表，試檢驗兩周對試驗結(jié)果有無顯著影響。pHB1B2B

21、3A13.52.32.0A22.62.01.9A32.01.51.2A41.40.80.3pHB1B2B3Ti.Ti.2Qi.A13.52.32.07.860.8421.54A22.62.01.96.542.2514.37A32.01.51.24.722.097.69A41.40.80.32.56.252.69T.j9.56.65.4T=21.5 Q=46.29T.j290.2543.5629.16Q.J24.9712.189.14因素因素B1B2BsA1A2Ar3.2.2 3.2.2 雙因素重復(fù)試驗的方差分析雙因素重復(fù)試驗的方差分析 （1 1）雙因素重復(fù)試驗方差分析試驗表）雙因素重復(fù)試驗方差

22、分析試驗表 11111211,.,cxxx12112212,.,cxxx1 11 21,.,ssscxxx21121221,.,cxxx22122222,.,cxxx2 12 22,.,ssscxxx11121,.,rrr cxxx21222,.,rrr cxxx12,.,rsrsrscxxx雙因素重復(fù)試驗方差分析試驗表雙因素重復(fù)試驗方差分析試驗表 總體均值總體均值A(chǔ)1A1下的均值下的均值B1B1下的均值下的均值rscrsc次次試驗試驗Ti.A1B1A1B1均值均值（2 2）雙因素重復(fù)試驗方差分析的基本步驟）雙因素重復(fù)試驗方差分析的基本步驟計算平均值計算平均值n總平均總平均 ：n任一組合水平（

23、任一組合水平（A Ai i，B Bj j）上）上 ：nA Ai i水平時水平時 ：nB Bj j水平時水平時 ：1111rscijkijkxxrsc 11cijijkkxxc11siijkjxxsc11rjijkixxrc計算離差平方和計算離差平方和n總離差平方和：總離差平方和：n因素因素A A引起離差的平方和：引起離差的平方和：n因素因素B B引起離差的平方和：引起離差的平方和：n交互作用交互作用A AB B引起離差的平方和：引起離差的平方和：n誤差平方和：誤差平方和：2111()rscTijkABABeijkSSxxSSSSSSSS 21()riAiSSscxx21()sjBjSSrcxx 211()rsijijA BijSScxxxx 2111()rscijeijkijkSSxx 計算自由度計算自由度nSSSSA A的自由度：的自由度：dfdfA A r r1 1nSSSSB B的自由度：的自由度：dfdfB Bs s1 1 nSSS