相似多邊形的判別

1、相似多邊形的判別 兩個多邊形（三角形除外）相似，需同時具有對應(yīng)角相等，且對應(yīng)邊成比例，才能確定這兩個多邊形相似。否則只滿足對應(yīng)角相等或?qū)?yīng)邊成比例其中一項都不能確定兩個多邊形相似，由下面範(fàn)例得知。 【範(fàn)例】菱形與正方形，雖然對應(yīng)邊成比例，但對應(yīng)角未必相等，故不一定相似。在下面的圖形中，菱形ABCD每邊都是5，正方形ABCD每邊都是5。 ：5：5（對應(yīng)邊成比例） AA、BB、CC、DD（對應(yīng)角不相等） 菱形ABCD與正方形ABCD不相似 【範(fàn)例】矩形與正方形，雖然對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊未必成比例，故不一定相似。在下圖的長方形ABCD與正方形ABCD對應(yīng)角都為90，但是對應(yīng)邊比例並不相同。 ：5：5

2、7：5：（對應(yīng)邊不成比例） AA90、BB90、CC90、DD90（對應(yīng)角相等） 矩形ABCD與正方形ABCD不相似相似三角形 相似三角形則是比較特殊，兩三角形中，只需（1）對應(yīng)角相等；或（2）對應(yīng)邊成比例，則這兩三角形為相似三角形。相似形的畫法：接下來我們利用比例線段來畫出三角形及四邊形的相似形?！竟?fàn)例】利用比例線段畫出三角形ABC的2倍放大圖。 【解說】（1）先於三角形ABC外部取一點(diǎn)O， 作、於、上依次取A、B與C三點(diǎn)， 使2，2，2。 （2）連接、 則ABCABC【範(fàn)例】利用比例線段畫出四邊形ABCD的倍縮小圖。 【解】（1）先取A點(diǎn)與A點(diǎn)重合，連接，在、 上依次取B、C與D三點(diǎn)， 使

3、，。 （2）連接、 則四邊形ABCDABCD。【範(fàn)例】兩直角三角形、為相似形，且的對應(yīng)邊為。若， ，則兩長方形的面積和為何？【解答】 直角三角形、為相似形 即； 因此兩直角三角形的面積和 我們知道相似形條件需要:對應(yīng)角相等、對應(yīng)線段成比例。此我們將利用平行關(guān)係與相似性質(zhì)來得知比例線段。 當(dāng)一些線段的長度成比例式時，例如，我們就稱這些線段形成比例線段。以下我們就來證明平行線截比例線段:【已知】設(shè)直線M、M與三條平行線L、L、L分別交於A、B、C及D、E。 【求證】。 【證明】ABE與ACD斜率相同， = = x(n2nmmx2xyy)( x2xyy)(nx) xn2xnmxmx2xyxyx xn

4、2xynynx2xyxyx2xnmxm2xynyn 同除m 2xx2xy()y() 同除x 212()()() 令p , q 2p12qp+qp i.e. qp12qp2p0 (qp1)(qp1)2p(qp1)0 (qp1)(qp12p)0 p0、q0 qp=1 , p= n : m = x : y 。由上面證明結(jié)果可知:如果兩直線被三條(或三條以上的)平行直線所截，那麼與第一條直線所截得的各線段長度的比，必與第二條直線所截出的各線段長度的比相等，此稱為平行線截比例線段性質(zhì)。以下我們就來看三角形截比例線段性質(zhì):三角形兩邊截成比例線段性質(zhì)【性質(zhì)1】一直線平行於三角形的一邊，且與另兩邊相交則此直線

5、把這兩邊截成比例線段?！拘再|(zhì)2】若一直線把三角形的兩邊截成比例線段，則這直線必平行於此三角形的第三邉。 以下是有關(guān)此兩個性質(zhì)的證明: 【性質(zhì)1】一直線平行於三角形的一邊，且與另兩邊相交則此直線把兩邊截成比例線段 【已知】在ABC中，L/ ，且L交於D點(diǎn)，交於E點(diǎn)。 【求證】： ：。 【證明】(1)連接。 (2)ADE與BDE分別以與為底時，E為共同頂點(diǎn)， 所以它們的高同為由E點(diǎn)到的距離。 即ADE與BDE為等高。 (3)ADE與BDE為等高， ADE：BDE： (4)同理，連接可得， ADE：CDE： (5)BDE與CDE共用底邊，L/，所以這兩個三角形等高， 因此BDECDE (6)由(3)

6、、(4)與(5)可知 ： ： 【性質(zhì)2】若一直線把一個三角形的兩邊截成比例線段，則這直線必平行於此三角形的第三邉。【已知】直線L交於D點(diǎn)，交於E點(diǎn)，且： ：。 【求證】L/ 【證明】(1)過B點(diǎn)作直線L的平行線，交於C點(diǎn)。 (2)L/， ： ：。 。 (3)： ：， 。 (4)由(2)與(3)可知， C點(diǎn)與C點(diǎn)重合。 L/。Note: 由【性質(zhì)1】一直線平行於三角形的一邊，且與另兩邊相交則此直線把這兩邊截成比例線段?！拘再|(zhì)2】若一直線把三角形的兩邊截成比例線段，則這直線必平行於此三角形的第三邉。我們可知三角形的相似性質(zhì)【AAA相似性質(zhì)】如果兩個三角形的三內(nèi)角對應(yīng)相等，則這兩個三角形相似。 【S

7、SS相似性質(zhì)】如果兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似。 【SAS相似性質(zhì)】如果兩個三角形的一角相等，而且夾此角的兩邊對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似?，F(xiàn)在就上列【AAA相似性質(zhì)】、【SSS相似性質(zhì)】、【SAS相似性質(zhì)】3個性質(zhì)來一證明。【AAA相似性質(zhì)】如果兩個三角形的三內(nèi)角對應(yīng)相等，則這兩個三角形相似。 【已知】在ABC與ABC中，AA，BB，CC。 【求證】ABCABC。 【證明】(1)設(shè)，在上取一點(diǎn)D，使得。 (2)過D點(diǎn)作的平行線，交於E點(diǎn)，則ADEB，AED。 (3)在ADE與ABC中，AA，ADEB， ADEABC，。 (4) /，：。 (5) ，代入(4)式得：。 (6

8、)同理可得：。 (7)由(5)與(6)可得：， 又AA，BB，CC，所以ABCABC。 【SSS相似性質(zhì)】如果兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似。 【已知】在ABC與ABC中， 【求證】ABCABC。 【證明】(1)設(shè)，在上取一點(diǎn)D，使得。 (2)過D點(diǎn)作的平行線，交於E點(diǎn) AA，ADEB，AEDC（i） 由AAA相似性質(zhì)ADEABC。 故 (3) ，且 ， ， 由SSS全等性質(zhì)ABCADE。 (4) ABCADE， AA，ADEB，AEDC（對應(yīng)角相等）（ii） 由（i）（ii）AA，BB，CC ABCABC。 【SAS相似性質(zhì)】如果兩個三角形的一角相等，而且夾此角的兩邊對應(yīng)成比

9、例，則這兩 個三角形相似。 【已知】在ABC與ABC中，AA，：。 【求證】ABCABC 【證明】(1)設(shè)，在上取一點(diǎn)D，使得。 (2)過D點(diǎn)作，使得ADEB，且E點(diǎn)在上。 (3)在ABC與ADE中， 由ASA全等性質(zhì)ABCADEABCADE，故，（i）AA，ADEB，AEDC（ii） (4)，且： ：，故/。 (5)/ ADEABC。 ADEABC AA，ADEB，AEDC（iii） （iiii） (6) 由（i）（ii）（iii）（iiii）AA，BB，CC ABCABC有關(guān)相似三角形的計算 若/，便可延伸出以下四個常見的計算公式： ：:：:【更比定理】 若 a：c = b ：d 則 d ：b = c ： a。( = = d ：b = c ： a。 )【合比定理】 若 a：b = c ：d 則 a + b ：b