函數(shù)奇偶性的六類經(jīng)典題型

1、奇偶性類型一：判斷奇偶性 例1判斷下列函數(shù)奇偶性(1)(且)(3)(4)(5)解：(1)且.奇函數(shù)(2),關(guān)于原點(diǎn)對稱.奇函數(shù)(3),關(guān)于原點(diǎn)對稱既奇又偶(4)考慮特殊情況驗(yàn)證：；無意義 ；非奇非偶(5)且，關(guān)于原點(diǎn)對稱為偶函數(shù)類型二：根據(jù)奇偶性求解析式1 .函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且 x>0時(shí)，f(x)=、/X+1,則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=解析：: f (x)為奇函數(shù)，x>0時(shí)，f(x)=dx+1,，當(dāng) x<0 時(shí)，一x>0,f(x) =-f(-x)=- (+1),即 x<0 時(shí)，f(x) = (x + 1)=4x 1.答案：一1一x 12 .求函數(shù)的

2、解析式(1)為R上奇函數(shù)，時(shí)，解：時(shí)，(2)為R上偶函數(shù)，時(shí), 解：時(shí)，類型三：根據(jù)奇偶性求參數(shù)1 .若函數(shù)f(x)= xln(x+)為偶函數(shù)，則 a=【解題指南】f(x)= xln (x+)為偶函數(shù)，即是奇函數(shù)，利用f( x) f (x) 0確定a的值.【解析】由題知是奇函數(shù)，所以=,解得=1.答案：1. x+ 1x+ a2 .函數(shù)f (x) =3為奇函數(shù)，則a=.x解析：由題意知，g(x) =(x+1)( x+a)為偶函數(shù)，a=- 1. 答案：13 .已知f (x) = 3ax2+bx 5a+b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)? a1, a,則a + b=()B. 1C. 1D . 7, ,1解析：

3、選A因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以6a1 + a=0,所以a=,.又f(x)221為偶函數(shù)，所以 3a( x) - bx-5a+ b= 3ax + bx-5a+ b,解得 b=0,所以 a+b=.4 .若函數(shù)f(x) = x2 |x+a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) a=.(特殊值法)解析：由題意知，函數(shù) f(x) = x2 |x+a|為偶函數(shù)，則f(1) =f( 1), . 1 |1 + a| = 1 | 1 + a| > ''' a = 0. 答案：0x2+x,x<0,5 .已知函數(shù)f(x)= ax2+bxx>。為奇函數(shù)，則a+b=.(待定系數(shù)法)解析：

4、當(dāng)x>0時(shí)，一x<0,由題意得f ( -x) =- f (x),所以 x2-x= - ax2 bx,從而 a= - 1, b= 1, a+ b= 0.答案：06 . (1),為何值時(shí)，為奇函數(shù)； (2)為何值時(shí)，為偶函數(shù)。答案：(1)(恒等定理) 時(shí)，奇函數(shù)(恒等定理)f(x)7.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)2x bcX 12 a是奇函數(shù)。(I)求a，b的值；(特殊值法)2(n)若對任意的t R ,不等式f (t解析：(I)加解|取特殊值法 因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0,2t) f(2t2 k)0恒成立，求k的取值范圍;f(x)a 2Xa 2.1 2又由 f (1) = - f

5、( - 1)知 a 4一、1 2x11)±f (X)77 (n)由(I)知2 2x12 2x 1 ,易知 f(x)在(為減函數(shù) 22又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式： f(t 2t) f(2t k) 0 等價(jià)于 f(t2 2t)f(2t2 k) f(k 2t2),因f (x)為減函數(shù)，由上式推得：4 12k 0 kt2 2t k 2t22即對一切t R有：3t 2t k 0,從而判別式類型四：范圍問題1 .已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng) x>0時(shí)，f(x) =x2+2x,若f(2 a2) >f (a), 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. (8, 1) U (2 ,+8)

6、B . (1,2)C. ( 2,1)D . (8, 2) U (1 , +oo)解析：選C :“*)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-x2+2x.作出函數(shù)f(x)的大致圖 象如圖中實(shí)線所示，結(jié)合圖象可知 f(x)是R上的增函數(shù)，由f(2 a2) >f (a),得2a2>a, 解得一2v av 1.12 .定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)在(0, +8)上遞增，且f 2 = 0,則滿足f(x)>0的x 的集合為.一一一一，一一 1 一一解析：由奇函數(shù)y=f(x)在(0 , +°°)上遞增，且f - =0,得函數(shù)y=f(x)在(00,10)上遞增，且f 2

7、=0,1 ,1，f(x)>0 時(shí)，x、或2<x<0.即滿足f (x)>0的x的集合為x - )x<0或x>?221- 1答案：x 2<x<0 或 x'3 .已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=ln(1-x),函數(shù)f (x)=x3, x<0,0若f (2x2)>f (x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()g x , x>0,A. ( 8, 1) U(2 , +oo)B. (8, 2) U (1 , +oo)C. (1,2)D . (-2,1)解析：選D設(shè)x>0,則x<0. x<0 時(shí)，g

8、(x) = ln(1 -x),1 .g( x) = ln(1 +x).又 g(x)是奇函數(shù),2 .g(x) = ln(1 +x)(x>0),x3, x< 0,3 .f(x)=其圖象如圖所示.由圖象知，函數(shù) f(x)在R上是增函ln 1 + x , x>0.數(shù).f (2 - x2)> f (x) , - 2-x2>x,即一2<x<1.所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(一2,1).4.定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)xC(0, +8)時(shí)，f (x) =log雙，則不等式f(x) <- 1 的解集是.1x 0Vx<2,或x<2解析：當(dāng) x<0 時(shí)

9、，一x>0, f(x) = - f ( -x) =- log 2( -x),log 2x, x>0,.f(x)= 0, x=0,一log 2( - x) , x<0.f (x) < - 1log 2x< 1x>0,x=0,x<0,或或0V 1一 log 2( x)< 一 15.已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)xv 0時(shí), 恒成立，則m- n的最小值為()10vx<2或 x< 2.f (x) =x2+3x+ 2.若當(dāng) x 1 , 3時(shí),n< f(x) < m解析：選A.設(shè)x>0,則x<0,+ 3x 2.B. 21D,4

10、所以 f(x) =-f(-x) =-( -x)2 + 3(-x)+2 =- x2所以在1 , 3上，當(dāng)x = 3時(shí)，f(x)1,一， 11max= 0 當(dāng) x=3 時(shí)，f(x)min= 2.所以 m5 4 且 nW 為 92.故 m- n> -.46.已知f(x)是定義在 2,2上的奇函數(shù)，且當(dāng)xC(0,2時(shí)，f(x) =2x1,又已知函數(shù)g(x) = x22x+m如果對于任意的 X1C2,2,者B存在X2 - 2,2,使得g(xz) = f(x1),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是解析由題意知，當(dāng)x -2,2時(shí)，f(x)的值域?yàn)?,3.因?yàn)閷θ我獾腦1C2,2,都存在x2e 2,2,使得g(x2

11、) =f (Xi),所以此時(shí)g(x2)的值域要包含3,3.又因?yàn)間(x) max=g( 2) , g(x)min=g(1),所以 g(1) w 3 且 g( 2)>3,解得一5<mc 2.類型五：奇偶性+周期性(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，滿足 f(x+2)=f(x),當(dāng)x (0,1)時(shí)，f (x) =2x-2,則f( log1 6)的值等于(2A -4 B -732解析：f ( log 1 6)2)=一f( log16)=-2=-f (log 262)=(2log 2 2-2)=-f (log 26)6-241=2,故選c.2.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足對任意 xC R,都有

12、 f(x+8) =f (x)+f(4),且 xr 0,4時(shí),f(x) =4-x,則 f(2 011)的值為 解析：f(4)=0,，f (x+ 8) =f (x) ,T= 8,. .f (2 011) = f(3) =43= 1.類型六：求值11 .已知函數(shù)f(x)是定義在(一2,2)上的奇函數(shù)，當(dāng) xC (0,2)時(shí)，f(x) =2x-1,則f log2-3的值為()2A. - 2 B 3 C 2 1解析：當(dāng) x (-2,0)時(shí)，-x (0,2),又當(dāng) x (0,2)時(shí)，f(x) =2x-1, f( x)=2 x1,又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在(一2,2)上的奇函數(shù)，.-.f( -x) =- f

13、(x) =2-x-1, .-.x (-2,0)時(shí),f(x) =1；. , 2喻21<0, . f(log2 1) = 1 = 2.故選 A. 2x33答案：A2 .已知f(x)為奇函數(shù)，g(x) =f(x) +9, g(2)=3,則f(2) =.解析：根據(jù)已知g( - 2) = f( -2) + 9,即 3=-f(2) +9,即 f(2) =6.答案：63 .設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x+ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f (ln 6) 的值為.由 f(x)是奇函數(shù)得 f(ln 6) =- f( -ln 6) = - ( -ln 6) e 1n 6 = In 6 -6.1答案：ln 6 -64 .已知函數(shù)存在最大值M和最小值N則M+ N的值為.5 .設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的最大值是M最小值是m則.分析：本題是一道自編題，學(xué)生不假思索就會想到對求導(dǎo).事實(shí)上，理科學(xué)生，求導(dǎo)得，無法找到極值點(diǎn)，而文科學(xué)生不會對這個(gè)函數(shù)求導(dǎo) .因此，須從考察函數(shù)的性質(zhì)下手，事實(shí)上，令，易求得，所以是奇函數(shù)，所以g(x)的最大值與最小值之和是 0,從而f (x) 的最大值與最小值