新北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和典型例題分析

1、新北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章 一次函數(shù)一、函數(shù)1、函數(shù)的概念（重點(diǎn)）一般的，如果在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x 和 y ，并且對(duì)于變量x 的每一個(gè)值，變量y 都有一個(gè)唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們就稱y 是 x 的函數(shù)，其中 x 是自變量， y 是因變量。理解函數(shù)的關(guān)鍵四點(diǎn)：（ 1 ）有兩個(gè)變量；（ 2）一個(gè)變量變化，另一個(gè)隨之變化；（ 3）對(duì)于自變量x 每一個(gè)確定的值，函數(shù) y 有且僅有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)； （ 4 ）函數(shù)不是數(shù)，是過程中 x 、 y 的變量關(guān)系。2、函數(shù)的三種表示方法（難點(diǎn)）（ 1 ）列表法（ 2 ）關(guān)系式法（ 3 ）圖像法3、函數(shù)的值及自變量的取值范圍（重點(diǎn)）（ 1 ）對(duì)于自變量

2、在取值范圍內(nèi)的一個(gè)確定的值a ，函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值，稱為自變量等于 a 時(shí)的函數(shù)值。（ 2 ）使得函數(shù)有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍。確定自變量取值范圍兩點(diǎn)：一是必須使含有自變量的代數(shù)式有意義，二是必須滿足實(shí)際問題的意義。二、一次函數(shù)與正比例函數(shù)1、一次函數(shù)的概念（重點(diǎn)）若兩個(gè)變量x、y間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成y kx b （k、b為常數(shù)，k 0）的形式，則成 y是x的一次函數(shù)。2、正比例函數(shù)的概念（重點(diǎn)）對(duì)于一次函數(shù)y kx b （ k 0） ，當(dāng) b 0 時(shí)，變?yōu)?y kx ，這是把 y 叫做 x 的正比例函數(shù)。3、根據(jù)條件列一次函數(shù)的關(guān)系式（難點(diǎn)）認(rèn)真分析，探究實(shí)際問題

3、中的有關(guān)信息，再次基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，從而解決問題。步驟：（ 1 ）認(rèn)真分析，理解題意；（ 2 ）找出等量關(guān)系；(3)寫出一次函數(shù)關(guān)系式；(4)確定自變量的取值范圍，實(shí)際問題實(shí)際分析。三、一次函數(shù)的圖像1、函數(shù)的圖像(重點(diǎn))把一個(gè)函數(shù)的自變量的值和與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形就叫做函數(shù)的圖象。注：一次函數(shù)的圖像是一條直線，所以只需描出兩個(gè)點(diǎn)即可畫出圖象。2、正比例函數(shù) y kx,(k 0)的圖像和性質(zhì)(重點(diǎn))(1)正比例函數(shù)y kx,(k 0)的圖像是經(jīng)過(0,0)、(1,k)兩點(diǎn)的直線。(2)當(dāng)k 0時(shí)，圖象經(jīng)過一三象限，且 y

4、隨x的增大而增大；當(dāng)k 0時(shí)，圖象經(jīng)過二四象限，且 y隨x 的增大而減小。3、一次函數(shù)圖象的特點(diǎn)及性質(zhì)(重點(diǎn))一次函數(shù)y kx b,(k 0)的圖像和性質(zhì)：k的符號(hào)b的符號(hào)函數(shù)圖像圖像特征k>0b>0y /圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。/。Xb<0y*圖像經(jīng)過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。0 / XK<0b>01圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0yJ 圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。X注：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。特點(diǎn)：一次函數(shù) y kx b,(k 0)的圖像是一條直線，因此

5、作函數(shù)圖象時(shí)，只需要確定兩個(gè)點(diǎn)，即可連接兩點(diǎn)做出函數(shù)圖象，函數(shù)圖象也成直線y kx bo性質(zhì)：(1)圖象經(jīng)過(0,b)點(diǎn)。當(dāng)k 0時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)k 0時(shí)，y隨x增大而減小。(2)當(dāng)k 0, b 0時(shí)，圖象經(jīng)過一二三象限；當(dāng)k 0, b 0時(shí)，圖象經(jīng)過一三四象限；當(dāng)k 0, b 0時(shí)，圖象經(jīng)過一二四象限；當(dāng) k 0, b 0時(shí)，圖象經(jīng)過二三四象限；(3)兩條直線位置關(guān)系：當(dāng) k相等，b不等時(shí)，兩直線平行；當(dāng) k相等，b相等時(shí)，兩直線重合；當(dāng) k不 等時(shí)，兩直線相交；當(dāng) k不等，b相等時(shí)，兩直線相交于 y軸；四、一次函數(shù)的應(yīng)用1、確定正比例函數(shù)的表達(dá)式(重點(diǎn))正比例函數(shù)y kx只有一個(gè)待

6、定系數(shù) k,只需要除原點(diǎn)(0,0)之外的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k值，進(jìn)而 求出函數(shù)表達(dá)式。注：一次函數(shù)的圖像是一條直線，所以只需描出兩個(gè)點(diǎn)即可畫出圖象。2、用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式(難點(diǎn))一次函數(shù)y kx b,(k 0)有兩個(gè)待定系數(shù) k和b,所以只需求出二者的值，即可求出函數(shù)表達(dá)式。待定系數(shù)法：首先設(shè)函數(shù) y kx b；其次將兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)帶人表達(dá)式，列出k、b的方程；最后求解方程。3、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系(重難點(diǎn))(1)從“數(shù)”的方面看：一次函數(shù)y kx b函數(shù)值為某一數(shù)值時(shí)，自變量 x的值即為方程的解。(2)從“形”的方面看：函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程 kx b

7、 0的解。4、利用圖象信息解決實(shí)際問題(重難點(diǎn))兩方面分析圖象：(1)根據(jù)函數(shù)圖象可判斷函數(shù)類型，注意特殊的點(diǎn)(2)從x軸、y軸的實(shí)際意義去理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義類型一：正比例函數(shù)與一次函數(shù)定義一2 c1、當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù) y (m 3)x (m 4)是一次函數(shù)？舉一反三：【變式1】如果函數(shù)y x|m 3 (m 2)是正比例函數(shù)，那么().A. m=4 或 m=2 B. m=4 C. m=1 D. m=2【變式2】已知y-3與x成正比例，且x=2時(shí)，y=7. ( 1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x=4時(shí), 求y的值；(3)當(dāng)y=4時(shí)，求x的值.類型二：待定系數(shù)法求函數(shù)解析

8、式2、求圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,-1),且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達(dá)式.舉一反三：【變式1】已知彈簧的長度 y (cm)在一定的彈性限度內(nèi)是所掛重物的質(zhì)量x (kg)的一次函數(shù)，現(xiàn)已測得不掛重物時(shí)，彈簧的長度為6cm,掛4kg的重物時(shí)，彈簧的長度是7.2cm ,求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式.【變式2】已知直線y=2x+1 .(1)求已知直線與 y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)若直線y=kx+b與已知直線關(guān)于 y軸對(duì)稱，求k, b的值.【變式3】判斷三點(diǎn)A (3, 1), B (0, -2), C (4, 2)是否在同一條直線上.類型三：函數(shù)圖象的應(yīng)用3、圖中的圖象(折線 ABCDE)描述了一汽車在某一直

9、線上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s(km)和行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題:(1)汽車共行駛了 km;(2)汽車在行駛途中停留了 h;(3)汽車在整個(gè)行駛過程中的平均速度為 km/h ;(4)汽車自出發(fā)后3h至4.5h之間行駛的方向是 .舉一反三:【變式1】圖中，射線l甲、l乙分別表示甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在自行車比賽中所走的路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系,求它們行進(jìn)的速度關(guān)系?！咀兪?】小高從家騎自行車去學(xué)校上學(xué)，先走上坡路到達(dá)點(diǎn)A,再走下坡路到達(dá)點(diǎn) B,最后走平路到達(dá)學(xué)校，所用的時(shí)間與路程的關(guān)系如圖所示。放學(xué)后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保

10、持和去上學(xué)時(shí)一致，那么他從學(xué)校到家需要的時(shí)間是()A.14分鐘 B.17分鐘 C.18分鐘 D.20分鐘【變式3】某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí) ，經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量 y (升)與時(shí)間x (分鐘)之間的關(guān)系如圖所示：根據(jù)圖象解答下列問題：(1)洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是多少升？(2)已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘求排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量19升.求排水時(shí)y與x之間的關(guān)系式；如果排水時(shí)間為2分鐘,類型四：一次函數(shù)的性質(zhì)4、己知一次函數(shù) y=kx十b的圖象交x軸于點(diǎn)A ( 6, 0),交y軸于點(diǎn)B,且 AOB的面積為1

11、2, y隨x 的增大而增大，求 k, b的值.舉一反三：【變式1】已知關(guān)于x的一次函數(shù)y (3 m)x 2m2 18.(1) m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)？(2) m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0, -2) ?(3) m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象和直線 y=x平行？(4) m為何值時(shí)，y隨x的增大而減小?【變式2】函數(shù)y kx k在直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()類型五：一次函數(shù)綜合5、已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中,A (1, 0), B (0, 1), C (-10),過點(diǎn)C的直線繞C旋轉(zhuǎn)，交y軸于占J 八、D,交線段AB于點(diǎn)E。(1)求/ OAB的度數(shù)及直線AB的解析式;(2)若 OCD與 BDE的面積相等,求直線CE的解析式；若y軸上的一點(diǎn)P滿足/ APE=451DCQ請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)。舉一反三【變式1】在長方形ABCD中，AB=3cm , BC=4cm ,點(diǎn)P沿邊按A-B-C-D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(但不與A , D兩點(diǎn)重合)。求 APD的面積y (cm2)與點(diǎn)P所行的路程x (cm)之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍?！咀兪?】