2019屆甘肅省高三第二次高考診斷考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2019屆甘肅省高三第二次高考診斷考試數(shù)學(xué)(理)試題一、單選題1 .復(fù)數(shù)藝XI+6,貝尸()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得z,再求模即可【詳解】+ i)2=萬故82i,則習(xí)一故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.2 .集合已=刑乂0占6周,斤=俄13叼,則= | ()A ：；B"幸。注.三”IC.D.【答案】D【解析】先求出-1,0,1,2,3,再求5 N得解.【詳解】由題得1WxW3, kEz=-1,0,123,所以故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡和交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這

2、些知識的理解掌握水平和分析推理能力 .3 .已知向量 廣(1加)，向量b = 揚(yáng),若加,則m = | ()A. .B.C.Dp!【答案】B【解析】直接利用向量平行的坐標(biāo)表示求 m的值.【詳解】由題得故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4 .在等差數(shù)列中，已知“與看的等差中項(xiàng)是15,力=則知 ()A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】A【解析】由題得2 d的方程組求解即可，得 同；的通項(xiàng)公式，則為可求【詳解】kLi配卜廣g由題得5-與二到7d = 9,解得£ = 3 ,則如 Hd 24故答案為【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)

3、列的通項(xiàng)公式，熟記公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，3 / 22TH壬礎(chǔ)題5 .南北朝數(shù)學(xué)家祖晅在推導(dǎo)球的體積公式時構(gòu)造了一個中間空心的幾何體，經(jīng)后繼學(xué)者改進(jìn)后這個中間空心的幾何體其三視圖如圖所示.現(xiàn)用一與下底面平行且與下底面距離為h（0Ch2）的平面去截該幾何體，則截面面積是（D.式4-)【答案】D【解析】由題意，首先得到幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐， 得到截面為圓環(huán)，明確其半徑求面積.【詳解】由已知得到幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐，底面半徑為2高為2,截面為圓環(huán)，小圓半徑為一大圓半徑為2,設(shè)小圓半徑為0則得到 = h,所以 截面圓環(huán)的面積=44-島.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體得到三視圖以及截面

4、面積的求法；關(guān)鍵是明確幾何體形狀，然后得到截面 的性質(zhì)以及相關(guān)的數(shù)據(jù)求面積.I x-y42文I x 卜 y-42*0,6 .若實(shí)數(shù)k,卜滿足約束條件 吼-¥70,則工=/¥的最大值與最小值之和為()A. 4B. 16C. 20D. 24【答案】C【解析】畫出可行域，利用z的幾何意義求其最大和最小值即可【詳解】 畫出可行域，如圖陰影所示 當(dāng)直線“X n與4重合時，z最小，且為4;當(dāng)直線丫經(jīng)過I x * y + 2 = 0A時z最大，此時A坐標(biāo)為燈工-。的解，解得A (7,9), z 最大為16,故e-x + ¥的最大值與最小值之和為 4+16=20故答案為：C【點(diǎn)睛

5、】11 / 22本題考查線性規(guī)劃，z的幾何意義，熟練計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)TTqg,則的口十二)=(題7 .已知田口加A -塌B.C.D.【答案】C【解析】由已知得再利用和角的正切公式求 如缶+5的值.【詳解】由題得 2simccm f 山口 = 0*a E F。，所以= 5It一招+ I 】-尚日所以5唳十產(chǎn)GiTTTGT -”4.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角方程，考查和角的正切公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.8.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù):X12345ya-1|-10.52.5得到的回歸方程為1版十立樣本點(diǎn)的中心為0.0），當(dāng)k增加1個 單位，則卜近似（）A.增加0.

6、8個單位B.減少0.8個單位C.增加2.3個單位D.減少2.3個單位【答案】A【解析】先根據(jù)已知得到1.5,0.1=3，解方程組即得b的值， 即得解.【詳解】1U -1 0.5 1 b r 1 2.5.由題得因?yàn)?.1=3,所以解方程組得2.30.8.所以=0.82.3,所以當(dāng)X增加1個單位，則N近似增加0.8個單位.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查回歸方程的意義和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力 .9.下圖是函數(shù)¥7.與函數(shù)¥ = /在第一象限的圖象，則陰影部分的面積是()B.D. 'A. 3C.【答案】A【解析】求A坐標(biāo)，由積分得陰影部分的面

7、積【詳解】由題知A(1,1),陰影部分的面積為 S故選：A【點(diǎn)睛】本題考查曲邊圖形的面積，定積分，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ) 題10. h-改汽，/展開式中小的系數(shù)為（）A. 0B. 24C. 192D. 408【答案】B【解析】依題意，x2的系數(shù)可由（X/中提供常數(shù)項(xiàng)1,b + H的 展開式中提供二次項(xiàng)作積，（1-2/中提供一次項(xiàng)，與21）的展 開式中提供的一次項(xiàng)作積，U-2K中提供二次項(xiàng)，與21）''的展 開式中提供常數(shù)項(xiàng)作積，再求和即可.【詳解】由題1.Zx J的通項(xiàng)公式為Li-C3（-薊。+ d的通項(xiàng)公式為T-增、1t若（1-ZJ中提供常數(shù)項(xiàng)1,仁+J的展開式中提供二次項(xiàng)，此

8、時 02,則系數(shù)為小甘="若hqJ中提供一次項(xiàng)，與:的展開式中提供的一次項(xiàng),此 時11,則系數(shù)為2C；C：2*w 192若（J2x中提供二次項(xiàng)，與，2 T）4的展開式中提供常數(shù)項(xiàng)，此時20,則系數(shù)為4rM，故展開式中小的系數(shù)為24-192+192=24故答案為：B【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，項(xiàng)的系數(shù)， 分類討論，考查計(jì)算能力，是中檔題11 .若雙曲線的漸近線與圓.3八/二1無交點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍為（）D工:：A.（點(diǎn)|B.h苧）|C.序一【答案】C【解析】先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進(jìn)而利用圓心到漸近線的距離大于半徑求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而利用c2

9、=a22求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可求.【詳解】 雙曲線漸近線為±= 0與圓（x-3） 22=1無交點(diǎn)，犯 圓心到漸近線的距離大于半徑，即萬而* .8b2>a2, .8 （c22） a2,即 8 3小故答案為：C.【點(diǎn)睛】 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，漸近線方程，點(diǎn)到線的距離公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題12 .已知函數(shù)給與，犬mi,奇函數(shù)¥ = 的圖象如圖所示，若函數(shù)丫 = £或工與¥ =歐2）的零點(diǎn)個數(shù)分別為1m , h ,則m + n的值是 （）A. 5B. 6C. 9D. 12【答案】D【解析】利用f(x)和鼠W圖象由外到內(nèi)分別解方程

10、即可得兩方程解的個數(shù)，最后求和即可.【詳解】由題f(X)為偶函數(shù)，*E1一."其圖像為方程f (直£：) = 0?歐)=1或g)= 1 ,由V式£)圖像，知±1與其由6個交點(diǎn)，方程f ()|) =0有6個根，即rn= 6;斗2I句又方程 g (f (x) = 0? f (x) =aJ-i.o)或 f (x) =0或£ (x) =bE«u)? 0與與與f(x)有6個交點(diǎn)方程g (f (x) =0有6個根，即n=6, m 卜亡=12.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的圖象性質(zhì)，利用函數(shù)圖象解方 程的方法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬基

11、礎(chǔ)題、填空題0,13 .已知函數(shù)6戶若&） <3則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由分段函數(shù)，分情況解不等式即可【詳解】| x>0 IJ 式直0由題卻<%等價為L唯工<口或be*叫 解得x<i或0<x<1故答案為【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)及不等式解法，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題14 .數(shù)列的前口項(xiàng)和為工，且滿足、】，。，且%+廠?%+1書%+廠2% =。（hEN ）,則 *2019 .【答案】泮，.【解析】將/+廠2kl %+ i+i-入二。整理得（%+1+十廣2aJ =。，得凡為等比數(shù)列即可求解【詳解】% + %+廠網(wǎng) i =。，貝+ 131

12、二% 因?yàn)椤?；，則不。,故k網(wǎng)=。，故網(wǎng);為首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，一"小一必則故答案為2期，1【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)，等比數(shù)列求和公式，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題15 .直三棱柱 ABC-A HC,中，乙ABC = 90 AB = 4 , fcC = 2 , |bb' 二。，則異面直線AC與b'c所成角的余弦值為.【答案】【解析】連接BC：媼,交于E,取中點(diǎn)F,連接,推出/ 嬴或 其補(bǔ)角為所求，在三角形1FEC運(yùn)用余弦定理求解即可【詳解】連接員:加 交于E,則E為隹為中點(diǎn)，取中點(diǎn)F,連接，故ac', 則次Ed或其補(bǔ)角為所求,又；AU=)CK47

13、 = 3ce = ；b'c = ： 在三角形歸用中，國'=5故答案為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，熟記異面直線所成角定義，熟練找角，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題16 .拋物線閃P，。)的焦點(diǎn)為工 具準(zhǔn)線與乂軸的交點(diǎn)為 如果在直線雙卜* + 25。上存在點(diǎn)使得LaKIB二3 ,則實(shí)數(shù)b的 取值范圍是.【答案】【解析】根據(jù)M在直線雙44fdJ上，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，寫出 向量1AM、bM;利用鼠ihiL得出方程，再由30求出p的取值 范圍.【詳解】由題得丁卜在直線Y上，設(shè)點(diǎn)4Ip -3x-25二am =(x 一一,L J _ /p * 加-、PM _ (K +彳 :；又上 AN IB

14、= 90" id p3 3x - 25 2a (AMBMIx-飄x + ) + () Q,即 25 八 150x + 625-4p2=v;二洲,即：5/-4，25 7625 - 4/岸0,解得自1。，或b4L又bj。，口的取值范圍是1。，+司.故答案為：110,不.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中的范圍問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力三、解答題17 .在銳角三角形ABC中，角N, B, c的對邊分別為b, b, j若 斌1-二。物晟：5A.(I )求角a范圍；(n)求函數(shù) 代A) 2cV,085A+§

15、inA)的值域.二產(chǎn)1tJ【答案】(I) 以;()一+毋口回.【解析】(I)由正弦定理及兩角和的正弦得 仙AriMB.A上結(jié) 合銳角三角形進(jìn)而得 A范圍；(")化簡鼠)=加心一標(biāo)出;由 A的范圍結(jié)合三角函數(shù)求范圍即可【詳解】(I ) 丫 a(l += bcmA ,由正弦定理得，sinA(l + cosB) = sinBwsA整理得而岫，因?yàn)?9,故2 (一招 A = B-A|Jt 0 < A < y 0 < B = 2A <因ABC為銳角三角形，故1 j二解得所以所求角N的范圍是2 (粉.(II ) HA)二友潑A(v5wsA + ;dnA) 一 十 co$2

16、A)十另in2A - 2sin(2A +林 n 2nh ”由不八<3得丁 <2A + m嗎故有1U)的值域?yàn)?yli +斤y '?！军c(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)性質(zhì)，三角恒等變換，正弦定理，考查計(jì) 算能力，注意銳角三角形應(yīng)用，是中檔題18 .某精準(zhǔn)扶貧幫扶單位，為幫助定點(diǎn)扶貧村真正脫貧，堅(jiān) 持扶貧同扶智相結(jié)合，幫助精準(zhǔn)扶貧戶利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道 銷售當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)蘋果.蘋果單果直徑不同單價不同，為了更好的銷售，現(xiàn)從該精準(zhǔn)扶貧戶種植的蘋果樹上隨機(jī)摘下了50個蘋果測量其直徑，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，其單果直徑分布在區(qū)間50, 95內(nèi)(單位：癡)，統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如圖所示：57g90349134678990123

17、3455566778899002234556667778889（I）從單果直徑落在72, 80）的蘋果中隨機(jī)抽取 3個，求這3個蘋果單果直徑均小于 76m的概率；（n）以此莖葉圖中單果直徑出現(xiàn)的頻率代表概率.直徑位于65, 90）內(nèi)的蘋果稱為優(yōu)質(zhì)蘋果，對于該精準(zhǔn)扶貧戶的這批 蘋果，某電商提出兩種收購方案：方案:所有蘋果均以5元/千克收購；方案B:從這批蘋果中隨機(jī)抽取 3個蘋果，若都是優(yōu)質(zhì)蘋果， 則按6元/干克收購；若有1個非優(yōu)質(zhì)蘋果，則按5元/千克 收購；若有2個非優(yōu)質(zhì)蘋果，則按4.5元/千克收購；若有3 個非優(yōu)質(zhì)蘋果，則按4元/千克收購.請你通過計(jì)算為該精準(zhǔn)扶貧戶推薦收益最好的方案.【答案】

18、（I ）上；（II）應(yīng)選擇方案亂【解析】（I）直徑位于72, 80的蘋果共15個，其中小于76皿的有7個，隨機(jī)抽取3個，利用古典概型求解即可（II）計(jì)算方案B價格的分布列求其期望，與方案 A比較即可【詳解】（I）直徑位于72, 80的蘋果共15個，其中小于765的有7個，隨機(jī)抽取3個，這3個蘋果直徑均小于76m的概率為(n)樣本50個蘋果中優(yōu)質(zhì)蘋果有40個，故抽取一個蘋果 為優(yōu)質(zhì)蘋果的概率為1=8.按方案A:收購價格為5元按方案B:設(shè)收購價格為X,則kx = 6) = 0.83 = 0-512p(X -5) -C； * oQ 0 2 - 0 4p(X 70 2工=。096p(X = 4) =

19、0,25 = 0,008故X的分部列為|x654.54P0.5120.3840.0960.008歸 X 6 Y312 + 5 。舞4 + 45、?；?,008 = 5 456> 5|.故應(yīng)選擇方案 BL 【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，二項(xiàng)分布，莖葉圖，考查計(jì)算能力，是 中檔題19 .等腰直角三角形BC|中，點(diǎn)D在邊AB上，DE垂直 AB交4c于U,如圖.將/$(：沿DE折起，使閡到達(dá)P的位置，且 使平面PDE上平面DBCEl,連接PC, PBl,如圖.nu(1) 若B為PB的中點(diǎn)，Cb 麗 求證：DFPC；()若me = 4,當(dāng)三棱錐4dbc的體積最大時，求二面角B-pecI的余弦值.【答案

20、】(I)詳見解析;7【解析】(I)先證BL平面PDB,得BSDF,由F為|PB的中點(diǎn)， DB=DP,得DF，PB；進(jìn)而證明|DF，平面PBC,即可證明；(II)證 明三棱錐P-DBC的體積最大時2,以DE,|DB,|DP分別為X軸，、軸, ，軸建立空間直角坐標(biāo)系b卜用/分別求面PEC和面的法向量， 由空間向量二面角公式求解即可【詳解】 HdeUd, de,db, PdAdb I IdeJ平面pdb|,又在圖中BC上BD|, de，bd,''I bEM, ,I 1BC 上平面 PDB,而 1DFU 平面PDI3|, "I 氏51¥| Dp = db|, I是陽

21、的中點(diǎn)，:' Idfpb ,IbF，平面 PBC,而 RU 平面 PBC,AI |df 1 pc(II)設(shè)|DB = Tn,由BC = 4|,三棱錐|P - DBC的體積：=：.巾)=-+得三棱錐卜-DBC的體積最大時，m = DB = 2.:' PD = DE = DB = 2,以DE, Db, |DP分別為x|軸，¥軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系。)貝巾鳳工0.0)|, B(Q.LO), CH2G), P(O.OE).設(shè)面|PEC的法向量為小二仃加打則uPC = C用口見4,-2)二4+力-/二。In PE - (x.yhzX2.O. - 2) - 2x - 2z -

22、 0 令,則¥=/，貝hm)設(shè)面|PEB的法向量為m - (xy.z)貝f m PB - 2) N - 2z 0Im PE _ (xy,zX2hO, - 2)- 2x - 2z - 0令l,則x-l,k1,貝I iirn (I. IJXJ.I l> J cos<iuii>='r=- = 3 l"lliillfnl 5所以二面角R-PEC的余弦值為:【點(diǎn)睛】 本題考查線面垂直的判定及性質(zhì)，空間向量求二面角，熟記定理，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題 2.220 .橢圓層號=舊3力經(jīng)過點(diǎn)也從左、右焦點(diǎn)分別是 n 一點(diǎn)在橢圓上，且滿足今的i的p點(diǎn)只有兩個.（I

23、）求橢圓C的方程；（n）過艮且不垂直于坐標(biāo)軸的直線I交橢圓d于X, B兩點(diǎn)，在沖軸上是否存在一點(diǎn)使得7NB的角平分線是x軸？若存在求出h,若不存在，說明理由.【答案】（I）（n）詳見解析.【解析】（I）由題得p點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)，得到的方程組，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（n）設(shè)直線的方程為K =聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，根據(jù)"得到力-2.所以存在點(diǎn)所而,使得小NB的平分線是k軸.【詳解】 解： 由題設(shè)知H點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)，所以。氏，十U 故 a =山，b - 1|,故橢圓。方程為/一（II）設(shè)直線1的方程為工gT】（ni求0）,聯(lián)立消得有Lak bn+ j + yjinyj

24、 + 1 tJ 2myLy2* (I -n)yt yj1 . n)&；* n) | G)- n)it2 tibn ._將，%十巧二工；,“尸1T代入2-u.03 rj = u“. I - hn（2 * n）二卜（i/卜京丁二燈假設(shè)在x軸上存在這樣的點(diǎn)Nm。），使得工軸是上AM3的平分線，則-a-* 二 n: 有 即因?yàn)閨m上0,故一工所以存在點(diǎn)N（2G,使得乙ANB的平分線是卜軸.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置 關(guān)系和橢圓中的存在性問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理 解掌握水平和分析推理能力.21 .函數(shù)辰戶 Gax + 1 + Im- e R）.（I）若k

25、 = 5時，求函數(shù)?。┑膯握{(diào)區(qū)間;（）設(shè)酸）=KQ-2MA ,若函數(shù)於）在"E【M上有兩個零點(diǎn),求實(shí) 數(shù)3的取值范圍.【答案】（I）見解析；（n）小間【解析】（I）當(dāng)"5時的二二M,解MX）不等式則單調(diào)區(qū)間可求；（n） giK-4-* +1 .】n*在x上有兩個零點(diǎn)，等價于ax = 2k' I - Inx在“'I上有兩解，分離參數(shù)a = 2x + x'T,構(gòu)造函數(shù)I lux 廠/匕封,求導(dǎo)求其最值即可求解【詳解】（I ）當(dāng)卜=5時,耿）=2x2=5x + I +島的定義域?yàn)闆_E社+司，20 / 22當(dāng)內(nèi)吟 k Jl+同時，加CO,/限）在島）和上單調(diào)

26、遞增. 當(dāng)kJi,時，瓜0,二用在I"上單調(diào)遞減.故除）的單調(diào)增區(qū)間為電；單調(diào)減區(qū)間為（n）因?yàn)槭筘?tlx） . 2】口蘇=.ax + 1 - Hi|在X E I上有兩個零點(diǎn)， 等價于ax =蠟+ I .g在 I上有兩解，I hix p = 2x + -于 1A A |1 hix c |1 |2x' .2 + hw令例f-不內(nèi)kl則h=一令=圖則即空03在上單調(diào)遞增，又叫-。3在“ £ 口）上有心卜-3 %在"（1N有Xk” 0:，*'3）時，h&）40,小“©時，心）0h（K）在*'3）上單調(diào)遞減，在卜日上單調(diào)遞增.二卜口=3kH汽.）=況,由* 25 2 常有兩解及彘）可知.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值，不等式恒成立，分離參數(shù)法，零點(diǎn)個數(shù)問題，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題卜" 2 4 icosG, 22.在直角坐標(biāo)系乂6沖，直線的參數(shù)方程為（:為參數(shù)）