新課預(yù)習(xí)講義選修2-1第二章橢圓(2)橢圓的性質(zhì)(教師版)doc教學(xué)內(nèi)容

1、新課預(yù)習(xí)講義選修21:第二章橢圓（二）§222橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2 .理解離心率對(duì)橢圓扁平程度的影響 .3 .通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，體會(huì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用.4 .掌握橢圓的離心率的求法及其范圍的確定.5 .掌握點(diǎn)與橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系，并能利用橢圓的有關(guān)性質(zhì)解決實(shí)際問題學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1 .橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).（重點(diǎn)）2 .橢圓的方程和性質(zhì)的應(yīng)用及直線和橢圓的位置關(guān)系，相關(guān)的距離、弦長(zhǎng)、中點(diǎn)等問題是考查的重點(diǎn).3 .橢圓的第二定義，橢圓的焦點(diǎn)弦、焦半徑及其相關(guān)問題學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)1 .本節(jié)常與幾何圖形、方程、不等式、平面向量等內(nèi)容結(jié)合出題.

2、2 .命題形式比較靈活，各種題型均有可能出現(xiàn).,命題的形式多樣化.一、自學(xué)導(dǎo)航 ,焦點(diǎn)在y軸上時(shí)知識(shí)回顧:復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1：橢圓的定義是2:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：焦點(diǎn)在x軸上時(shí),復(fù)習(xí)3:橢圓復(fù)習(xí)4:方程b、2 x162 x5c間的關(guān)系是2 y122 ym1上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是 2,那么它到右焦點(diǎn)的距離是1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則 m的取值范圍是預(yù)習(xí)教材：自主梳理：第43頁一一第51頁的內(nèi)容。1、橢圓的幾何性質(zhì)：（1）范圍；（2）對(duì)稱性；（3）頂點(diǎn)（長(zhǎng)軸、短軸、焦距）；（4）離心率;2、橢圓的第二定義及橢圓的準(zhǔn)線方程預(yù)習(xí)檢測(cè)：1,橢圓x2+4y2= 1的離心率為（教材第51頁）A<23B.42

3、D.3解析：將橢圓方程x2 + 4y21化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2+：=141則 a2=1, b2=：r 一1即 a= 1, b = 2,所以c=年故離心率e=：=沿故選A.（4,0）, （0,2）,則此橢圓的方程是（）2.橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，兩頂點(diǎn)分別是BA：1C.xi +:1D.f6+20=1解析：由已知”4, b= 2,橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，所以橢圓方程是布卜1.故選C.x2y23.已知點(diǎn)（2,3）在橢圓彳+n=1上，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)（一2,3）在橢圓外B.點(diǎn)（3,2）在橢圓上C.點(diǎn)（一2, 3）在橢圓內(nèi)D.點(diǎn)（2, 3）在橢圓上解析:m2+n92=1,則點(diǎn)（一2,3）

4、、點(diǎn)（2, 3）、點(diǎn)（2, 3）在橢圓上.故選 D.4.已知點(diǎn)一x2y2 ,(4,2)是直線l被橢圓6+ 9= 1所截得的線段的中點(diǎn)，則 l的方程是解析:設(shè)截得的線段為AB, A（xiyi)B（x2, y2）,中點(diǎn)坐標(biāo)為（xo, yo）,利用“點(diǎn)差法”y1-y得二一 x2x936,即3絲x1 x2 xo936y1-y21k= q,x1 x22直線l的方程為c 1，、y-2= - 2(x-4),x+ 2y-8=0.答案：x2 y25.過橢圓x- + 4x+ 2y- 8=0=1的左焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于 A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng).解析： 由橢圓方程得a2 =5, b2=

5、4c2=1,左焦點(diǎn)為(-1,0).直線AB的方程為y=2（x+ 1）代入x + ?= 1 得 6x2+10x= 0.，x1= 0 或 x2= 一543|AB|= (1255V522) 0( -)3問題與困惑：二、互動(dòng)探究問題探究：（一）橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程22xy2,2ab1(a b 0)22yx2,2ab-1(a b 0)范圍a x a, b y bb x b, a y a頂點(diǎn)（土 a,0）, （0, 土 b）（土 a,0）, （0, 土 b）油長(zhǎng)短軸長(zhǎng)=2b ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a隹點(diǎn)（c,0）（0, c）焦距|F1F2|= 2c 2Va2 b2對(duì)制生對(duì)稱

6、軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：坐標(biāo)原點(diǎn).離心率c.e -（0 e 1） a(二)橢圓的第二定義、準(zhǔn)線方程、焦半徑等21、橢圓的第二定義：若動(dòng)點(diǎn) M (x,y)與定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到定直線l : x 的距離的比是常數(shù) ce(0 e 1),則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.222、橢圓的準(zhǔn)線方程：若焦點(diǎn)在x軸上，則左準(zhǔn)線是x；右準(zhǔn)線是x;cca2a2若焦點(diǎn)在y軸上，則下準(zhǔn)線是y；上準(zhǔn)線是y；cc3、橢圓上任意一點(diǎn) M (x0, y0)的焦半徑(其中，F(xiàn)l為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn))：|MF1a ex0, MF2a ex0(若焦點(diǎn)在y軸上，其中，F(xiàn)i為下焦點(diǎn)，F(xiàn)2為上焦點(diǎn)，則|MFi a eyojMFzl a

7、eyo典例導(dǎo)析：題型一、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例1、求下列橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率：(1)4x2 + 9y2= 36;(2) m2x2+ 4m2y2= 1(m >0).思路點(diǎn)撥原方程蘆粵>橢TIM的標(biāo)準(zhǔn)方程上令確定">«白>結(jié)果解題過程(1)將橢圓方程變形為 29+y4=1, .-.a=3, b = 2, .c='/a2-b2 =9-4 = V5.二橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦距分另1J為2a = 6,2c= 2y5,焦點(diǎn)坐標(biāo)為Fi（m,0）, F2（45, 0）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 Ai(3,0), A2(3,0), Bi(0, 2), B

8、2(0,2),離心率e=a1.(2)橢圓的方程 m2x2+ 4m2y2= 1(m>0)可化為x+ -y=1./m2<4m2, 馬下焉，m2 4 m2，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且長(zhǎng)半軸長(zhǎng)2年短半軸長(zhǎng)b=器半焦距長(zhǎng)c=興 2 ，一1，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a= m,短軸長(zhǎng)2b = m,焦點(diǎn)坐標(biāo)為一2m3,0, 2m，0，一 1111頂點(diǎn)坐標(biāo)為m, 0, m，0, 0, -2m,。，茄.3c 2mm2 .題后感悟已知橢圓的方程討論性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定焦點(diǎn)的位置，焦點(diǎn) 位置不確定的要分類討論，找準(zhǔn) a與b,正確利用a2=b2+c2,求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出頂點(diǎn)坐標(biāo). 變式訓(xùn)練：

9、1 .求下列橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.（1）25x2+y2= 25;（2）4x2+9y2=1.解析：（1）將橢圓方程變形為x2+21=1,.a=5, b=1,.,.c= a2- b2 = 25- 1 = 26.，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a= 10,短軸長(zhǎng)2b= 2.焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F1（0, -276）, F2（0,246）,頂點(diǎn)坐標(biāo) A1（0, 5）, A2（0,5）, B1（1,0）, B2（1,0）.南p玄 C 2造離心率e=c= 氏. a 5（2）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦距分別為 2a= 1,2c=W5, 3離心率e= a=（5，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F10 , F2手，0 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1 1

10、,0 , A21,0 , B1 0, 1, B20, 12233題型二、由橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.長(zhǎng)軸在x軸上，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于12,離心率等于|；3(2)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2倍，且橢圓過點(diǎn)(2, 4).思路點(diǎn)撥 I = 1 N * - =。= 8 , 工=2。| 求方程 |CT4*1a（2% 次"殳方程 +- 1 成X +吝 =1 （e 小AO）JOrOt»坐標(biāo)解題過程(1)由已知2a=12, e=c=2,得a=6, c=4,從而b2=a2c2=20,又長(zhǎng)軸在x軸上, a 3x2 y2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+ 2o= i.(2)

11、-2a=2X2b,，a=2b,一心 tx2 y2當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)方程為42+，1,一，一，4169點(diǎn)(2, 4)在橢圓上，后+記=1,，b2=17.x2 y2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 雨+石=1，x2 y2當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)方程為： /+狗=1，點(diǎn)(一2, 4)在橢圓上，j42+46= 1,，b2=8, .,.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x + ;y;=1.8 32綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。+5=1或xr + y； = 1.68178 32題后感悟(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用待定系數(shù)法.(2)根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”，一般步驟是：求出 a2, b2的值；確定焦點(diǎn)

12、所在的坐標(biāo)軸；寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)解此類題要仔細(xì)體會(huì)方程思想在解題中的應(yīng)用.變式訓(xùn)練：2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6;(2)以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的5倍，且經(jīng)過點(diǎn) A(5,0).x2 y2解析：(1)設(shè)橢圓萬程為了+上=1(a>b> 0).如圖所示， A1FA2為一等腰直角三角形， OF為斜邊A1A2的中線(高),且|OF|=c, |AiA2|=2b,-.c= b=3,，a2= b2+c2= 18,x2 y2故所求橢圓的方程為歷+y9=i.(2)方法一：若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,a= 5, 解得b=1,2

13、22a=5X2b,設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為X2+/= 1(a>b>0).由題意，得 25 0 尹落1，故所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+ y2= 1 25 y '若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0)2a= 5"b，a=25,由題意，得 0 25 解得尹產(chǎn)1,b=5，故所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為烝+X2=1.625 25綜上所述，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為X2- + y2=1或g+圣=1.25 )625 25X2 y2方法二：設(shè)橢圓方程為-+-=1(m>0, n>0, mn),25+ 0= 1,%0=1,由題意，得m n或m n2Vm = 5X26,2玖=5X2

14、,m= 25,m= 25,解得或n= 1,n = 625.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 z1+y2=1或三十嗎=1.25625 25題型三、求橢圓的離心率例3、如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn) F1, F2在x軸上，A, B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且 PF1，x軸，PF2/AB,求此橢圓的離心率.思路點(diǎn)撥求橢圓的離心率就是要設(shè)法建立a、c的關(guān)系式，可借助 PF1F2sAOB來建立a、c的關(guān)系式.22規(guī)范彳K 設(shè)橢圓的方程為02+jy2=1(a>b>0).如題圖所示，則有 F1(-c,0), F2(c,0), A(0, b), B(a,0),直線PFi的方程為x=-c,代入方程yL=

15、 1彳曰v=且b2 1,付 y一,b2.又 PF2/AB, .妒F1F2S»OB.|PFi|AO| . b2FiF2一|OB.2aca-.b= 2c.,c2_ 1,a2=5.例4、若直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓=1總有公共點(diǎn)，求 m的取值范圍. .b2= 4c2, .a2 c2= 4c2即e=卷,所以橢圓的離心率為隼c題后感悟(1)求離心率e時(shí)，除用關(guān)系式a2=b2 + c2外，還要注意e 的代換，通過解方程求離心率.a(2)在橢圓中涉及三角形問題時(shí)，要充分利用橢圓的定義、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知識(shí).變式訓(xùn)練：3.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2, A為

16、橢圓上一點(diǎn)，且 AF1XAF2, ZAF2F1 = 60° ,求該橢圓的離心率.解析：不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在 x軸上，畫出草圖如圖所示由AF1LAF2知，AF1F2為直角三角形，且/ AF2F1=60°.由橢圓定義，知 AFi|十|AF2| = 2a, |FiF2|=2c.則在 Rt»FiF2 中，由/ AF2Fi= 60彳導(dǎo)|AF2| = c, |AFi|=、/3c所以 |AF1|十 |AF2|=2a=（ .；3+1）c,所以離心率e=+V3-1.題型四、直線與橢圓的位置關(guān)系思路點(diǎn)撥方法一 ； |聯(lián)立直域?qū)憴E圜方程|衛(wèi)"二矣于丁的二次方程施1«1

17、m的迄國I* A*。對(duì)任意也巨R都成團(tuán)公共點(diǎn)解題過程方法消去V,y= kx+ 1由 x2 y27+m=1得(m+ 5k2)x2+ 10kx+ 5(1 m) =0, .A= 100k2-20(m+5k2)(1 - m)= 20m(5k2+m-1). .直線與橢圓總有公共點(diǎn)，A>0對(duì)任意kCR都成立.m>0,，5k2>1 m 恒成立， -1 mW 0,即 m> 1.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，OvmvS, .K m< 5.方法二：二.直線y=kx+1過定點(diǎn)M(0,1), .要使直線與該橢圓總有公共點(diǎn)，則點(diǎn)M(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上,0 V m< 5,由此得02 1

18、2? + m< 1，解得1 w m<5.題后感悟判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的常用方法為：聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y或x,得到關(guān)于x或y的一元二次方程，記該方程的判別式為 ,則(1)直線與橢圓相交？ A>0; (2)直線與橢圓相切？ A=0;(3)直線與橢圓相離？ A<0.變式訓(xùn)練： .x24.對(duì)不同的實(shí)數(shù)值 m,討論直線y=x+m與橢圓+y2=1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).解析：直線與橢圓的公共點(diǎn)的坐標(biāo)就是下面方程組的解:y=x+mx2 c% y2=1x2將代入得-+(x+m)2= 1,整理得 5x2+8mx+ 4m2 4=0此方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由根的判別式A決定，A= (8m)2 4

19、 X 5(4m2-4) = 16(5- m2).當(dāng)一45vmv45時(shí)，A>0,方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，代入可得到兩個(gè)不同的公共點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí) 直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)m=- &或m=45時(shí)，A= 0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，代入可得到一個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)mv45或m>45時(shí)，Av 0,方程沒有實(shí)數(shù)根，直線與橢圓沒有公共點(diǎn).題型五、中點(diǎn)弦問題例5、已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓' + y2= 1所截得的線段的中點(diǎn)，求直線 l的方程. 36 9規(guī)范彳答方法一：若直線l斜率不存在，則直線l垂直x軸，故弦中點(diǎn)應(yīng)為(4,0),與已知矛盾，所 以直線

20、l的斜率存在.所以可設(shè)直線l方程為y2=k(x4),即y=kx4k+2.x2 y236+ 9=1，222由消 y 并化簡(jiǎn)，得(1+4k2)x2-16k(2k- 1)x+64k264k 20=0.y= kx 4k+ 2,16k 2k 1x1 + x2設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1 + x2="一,由已知一 一 = 4.1 + 4k2216k 2k111=8,解得k= 5,1 + 4k22 直線l的方程為x+2y8=0.X2. yi= 136 + 9 1方法二：(點(diǎn)差法)設(shè)直線l與橢圓交于一得,貶對(duì)+且_且=036 36 99 0,A(x1 ,y1) ,

21、B(x2, y2)(x1w x2), l 的斜率為 k,則2x2 y2,36+ 9= 1x2 + x1 x2x1y2+y1 y2 y1即 36+9x1+x2y1 + y2y2y1 點(diǎn)P(4,2)是弦AB中點(diǎn)， -x1 + x2=2X 4=8, y1+y2=2X2=4, 直線l的斜率k滿足"+4k=0. 36 91.k= - 2,1 一 直線 l 的方程為 y 2= 2(x 4),即 x+ 2y 8=0.x2 y2題后感悟在處理與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí)，常采用“點(diǎn)差法:即：若橢圓方程為a2+b2=1,直 線與橢圓交于點(diǎn) A(x1, y1), B(x2, y2),且弦AB的中點(diǎn)為M(x,

22、y),則x2 y2a2'+ 薩=1x2 y2尹1一，得 a2(y2-y2) + b2(x2-x2)= 0,yi y2X1 X2b2 X1 +X2a2 yi + y2b2 xa2 y.這樣就建立了中點(diǎn)坐標(biāo)與直線的斜率之間的關(guān)系，從而使問題能得以解決.變式訓(xùn)練：X21 15.已知橢圓X2+y2=i,求過點(diǎn)p 2，2且被p平分的弦所在直線的萬程.解析：方法一：由題意可知，該直線的斜率存在，不妨設(shè)所求直線方程為2|'+y2= 1,11.2O+ 2 2k,由11彳#(2 + 4k2)X2+4k(1 k)X+(1 k)24=0.y=kX + 2-2k,11)y-2= k x 2 ,即 y=

23、 kX設(shè)直線與橢圓交于 A(X1, y1), B(X2, y2)兩點(diǎn),則4k 1-kX1 + X2 = = 1 ,2+4k2，r1解之得k= - 2.直線方程為2X+4y3=0.方法二：設(shè)直線與橢圓交于 A(X1, y1)，B(x2, y2)兩點(diǎn),由題意知，所求直線的斜率存在，設(shè)為k,則 X1+X2=1, y1 + y2=1.界 y2=1,X225 + y2= 1，2(x2-x2),y1 y21 X1 + X2 = _ X1 X22 y1 + y212'即 k=-2,.直線方程為y-2； =-2 x-2 ,即 2x+ 4y3= 0.題型六、橢圓的弦長(zhǎng)問題x2例6、已知斜率為 + k2J

24、 y1 + y2 2 4y1y2.的直線l過橢圓-+ y2= 1的右焦點(diǎn)，交橢圓于A、B兩點(diǎn),求弦AB的長(zhǎng)思路點(diǎn)撥求直線7方粗卜構(gòu)述方程細(xì):兩點(diǎn)同即駕公式求弦長(zhǎng)解題過程.a2 = 4,b2=1,c= Ja2 b2 = y/3,，右焦點(diǎn)F(a/3, 0), 直線l方程y= x小.消去y并整理得5x2 843x+ 8=0.y= x事由x22i+y =1設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)為 A(x1, y1), B(x2, y2),則 xiXA3 x1x2=5. .|AB|=弋 x1一x2 2+ y1 - y2 2=x1x22+ x1 一 6一 x2 +V3 22 x1 x2 2=42 x1 + x2 2 4x1

25、x2業(yè)4X8 =|,即弦AB的長(zhǎng)為5.x2 y2題后感吾(1)求弦長(zhǎng)的公式：設(shè)直線方程y=kx+ m,橢圓方程p + 2=1(a>b>0).直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為 A(x1, y1), B(x2, y2),|AB|= / x1 x2 2+ y1 y2 2 = x1 x2 2 + kx1 + m kx2 m 2 =，x1 - x2 2 1 + k2 = 11 + k2|x1 - x2|N1 + k2 x1 + x2 2 4x1x2或 |AB| =y1一 my2一 m 2+ (y-y2)211 + k2|yi y2|當(dāng)k=0時(shí)，直線平行于 x軸，.|AB|=|xi X2.弦長(zhǎng)公式：MN

26、| J(1 k2)(xi X2)2 4x1X2適用于所有圓錐曲線.變式訓(xùn)練：3.橢圓ax2+by2=1與直線x+y1 = 0相交于A, B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若AB|=242, OC的斜率為 求橢圓的方程.解析： 方法一：設(shè) A(x1，巾)、B(x2, y2),代入橢圓方程并作差得a(x1 + x2)(x1 x2)+ b(y+ y2)(y1 y2)= 0,y1 一 y2y1 + y2 L 二而 =1,= koc = Q ,x1 x2x + x22代入上式可得b= ,2a.再由|AB尸,2|x2 x11= 2.2,其中x1、x2是方程(a+b)x22bx+ b1 = 0的兩根，2ba+ bb-

27、 1- 4 -= 4,a+ b將b=ma代入得a = 3，小=乎, 所求橢圓的方程是x2+<2y2 = 3.ax2 + by2= 1方法二：由，得(a+b)x22bx+b1 = 0.x+ y= 1設(shè) A(x1, y1)、B(x2, y2),=啦4b2 4a+b b- 1則|AB=q k2+1 x1-x22a+ b- a+ b一 ab .|AB|=2V2,= 1Wa+ b設(shè) C(x, y)-Ux=七x2b,y= a+ b一二2 a , 2.OC的斜率為2，=2 .代人，得a = 3, b=2.一、, X7、已知點(diǎn)A (2, &3),設(shè)F為橢圓162 c橢圓方程為不十為-y2= i.

28、33題型七、橢圓第二定義、焦半徑及其應(yīng)用22例7、已知F1、F2是橢圓 i的兩個(gè)焦點(diǎn)，能否在橢圓上求一點(diǎn) M (M在y軸的左側(cè))，使M 43請(qǐng)說明理由到左準(zhǔn)線的距離 MQ是MFi與MF2的等比中項(xiàng)，若能，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能,思路點(diǎn)撥因?yàn)轭}目中涉及焦半徑及到左準(zhǔn)線的距離，所有考慮用橢圓的第二定義解析：假設(shè)存在點(diǎn)M(Xi, Yi)(2x10)滿足 MQMF1MF2 ,2.橢圓方程42,b,3,c i MQMFiMQe,又 MF2由MQ但2 Xi2aXiMFiMFi| |MF22aXie(4得(4Xi)Xii 、(2 2Xi),1- Xi ；2Xi)2(20),故不存在適合題意的點(diǎn)MF2i2Xi

29、)(2i2 XiiXi )2解此方程得Xi題后感悟當(dāng)題目種涉及焦半徑、焦點(diǎn)弦問題時(shí)，用橢圓的第二定義常常使解題更簡(jiǎn)便 變式訓(xùn)練：2MF的2y i的右焦點(diǎn)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求 AM i2最小值，并求出此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo).解析：過A作右準(zhǔn)線l的垂線，垂足為 N ,與橢圓交于 M .,離心率 AMAMMFMN1 得 2MF| MN ,2MF的最小值即為線段 AN的長(zhǎng),AN =2 + 8=102MF的最小值為10,此時(shí)M (243, J3)題型八、橢圓的綜合問題例8、如圖，點(diǎn)A是橢圓C:a2+3=1（a>b>0）的短軸位于y軸下方的端點(diǎn)，過點(diǎn)A且斜率為1的直線交橢圓于點(diǎn) B,若P在y軸上,

30、且 BP /x軸，AB AP =9.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,1）,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0, t）,求t的取值范圍.思路點(diǎn)撥解答第問的關(guān)鍵是由已知條件準(zhǔn)確分析出|AB|與| AP|的關(guān)系，再由向量的數(shù)量積,得|AP|,從而用待定系數(shù)法求出橢圓C的方程，解答第（2）問的關(guān)鍵是利用 a2>b2>0,構(gòu)造t的不等式解出t的范圍.規(guī)范彳K 二.直線AB的斜率為1, ./BAP=45°,即ABAP是等腰直角三角形，|AB|= V2|AP|. 1 .ABAP=9, .,.|AB|AP|cos 45 = 721Ap12cos 45 = 9,一2 .|A P |= 3.(

31、1) .P(0,1), .|OP|=1, |OA|=2,即 b = 2,且 B(3,1),.B在橢圓上，%；=1,得a2=12,a 4（2）由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0, t）及點(diǎn)A位于x軸下方，得點(diǎn) A的坐標(biāo)為（0, t 3）,- -t3 = b,即 b = 3t.顯然點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3, t）,將它代入橢圓方程得:丹+上弓=1,解得a2="La 3-t 23-2t2. a2>b2>0,3 3-t2>(3 1)2>0.3-2t.3- 32t. 32t"3-2t- 1-3-2t>0,3所求t的取值范圍是0<t<3.變式訓(xùn)練：8、已知橢圓的長(zhǎng)軸A

32、A26,焦距F1F24寸2,過左焦點(diǎn)Fi作傾角為的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn),問 在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，弦 MN的長(zhǎng)不小于橢圓短軸的長(zhǎng)?2解析：由題意a 3, c 272, . b 1,橢圓方程為 9方法一：設(shè)直線MN的方程為y k（x 2<2）9y2 9 0(1 9k2)x2 36、,2k2x9(8k21)k(x2.2)y1），N(X2,y2)，有 XiX236.2k21 9k2X1X2_ _ 29(8k9k2由弦長(zhǎng)公式得MN;(1-k2)(Xi-X2)24X1X22由此求出k的范圍進(jìn)而再求的范圍（此解法較繁）方法二：連結(jié) MF2、NF2 ,設(shè)MF1 dNF1d2,則 MF26d16 d2在

33、 MF1F2中，由余弦定理有:MF2MF1F1F222 MF1F1F2 cos( (6 d1)2d12328,2dl cos22同理，在 NF1F2中，有（6 d2）d232 8,2d 2 cos1分別解得：d1 1, d23 2 , 2 cos12,2 cosMNd1 d2-962,由題意8 cosMN色或cos 2.32，為傾角，Q）,故當(dāng)0,6 .）時(shí)滿足題意方法三：設(shè)M、N到左準(zhǔn)線的距離分別是則MF1eriXi2e(一cXi)ex1 ,同理 NFia ex2MN由知x1MNMF1X2NF12ae(x1X2)2.23(Xi X2) 636 2k21 9k26笆1 9k26 6k21 9k

34、2口（以下解略）3三、鞏固拓展必做：教材第49頁,習(xí)題2.2 A組第8、9、10題，B組第1、2、3、4題補(bǔ)充作業(yè)：一、選擇題（每小題5分，共20分）1,橢圓X5+y92=i上的點(diǎn)p到橢圓左焦點(diǎn)的最大距離和最小距離分別是（）A. 8,2B. 5,4C. 9,1D. 5,1解析： 因?yàn)閍= 5, c=4,所以最大距離為 a+c= 9,最小距離為a- c= 1.答案： C2 .已知F1、F2為橢圓X22+*=1（a>b>。）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 F2作橢圓的弦AB,若 AF1B的周長(zhǎng)為16,橢圓離心率e=-23,則橢圓的方程是（）A.7+3口壯1B/=1C " 1C.16 12解析

35、： 由題意知4a=16,即a=4,3又 e=3- c= 2 .;3, .b2= a2 c2 = 16 12=4,22橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+ y4=1.答案： B3 .已知以F1（2,0）,F2（2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線 x+J3y+4=0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A. 3mB. 276C. 2/D. 4v2解析： 設(shè)橢圓方程為$+今=1（a>b>0）.b2x2+a2y2-a2b2=0,x+ ,/3y+ 4 = 0,得(a2+ 3b2)y2+ 8#b2y+ 16b2 a2b2=0,由題意得 A= (8V3b2)2- 4(a2+ 3b2)(16b2- a2b2) = 0且

36、a2b2=4,可得 a2=7, .-.2a=27.答案： C4,過橢圓2| 十1的右焦點(diǎn)且傾斜角為 45°的弦AB的長(zhǎng)為()90A. 5B. 6C.行D. 7解析:橢圓的右焦點(diǎn)為（4,0）,直線的斜率為k=1,，直線AB的方程為y=x 4,y= x 4得 9x2 + 25(x 4)2 = 225,25由弦長(zhǎng)公式易求90 AB尸石.二、填空題(每小題5分，共10分)5.若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是解析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距分別為2a,2b,2c,由題意可得 2a+ 2c= 4b, a+c= 2b,又 b=/a2-c2,所以 a+ c= 2Ja

37、2- c2,3 .整理得 5e2+2e 3=0, e= 3或 e= 1(舍去).56 .若傾斜角為廣的直線交橢圓X+y2=1于A, B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程是解析：設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x, y),直線方程為y=x+b,代入橢圓方程得5x2+ 8bx+ 4(b2- 1)=0,X1 + X2x=24一 P得 x+4y"by=5由 A>0 得一V5<b<V5,故N5<x<4J5.答案： x+ 4y =0 4y5<x<4V555三、解答題(每小題10分，共20分)x2y27 . (10分P(x, y)是橢圓25+力=1上的點(diǎn)且P的縱坐標(biāo)y" 點(diǎn)A(5,0)、B(5,0),試判斷kPA kPB是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.解析： 因?yàn)辄c(diǎn)P的縱坐標(biāo)yw0,所以xw圻設(shè)p(x, y).kpB =x5所以 kPA kPB =-y-y_= y2x+ 5x 5 x2 25x2 y2因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓西+泊1上,x225x2所以 y2=16x >25=16*b把 y2= 16 x25 x2代入 kPA k