2011年數(shù)學(xué)高考分類(lèi)匯編解答題(理)03——立體幾何(共30頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上03 立體幾何1. （2011天津卷理）17（本小題滿(mǎn)分13分）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求異面直線(xiàn)AC與A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）設(shè)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，求線(xiàn)段的長(zhǎng)【解析】17本小題主要考查異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.滿(mǎn)分13分. 方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn). 依題意得 （I）解：易得， 于是 所以異面直線(xiàn)AC與A1B1所成角的余弦值為 （II）解：易知 設(shè)平面AA1C1的法向量， 則

2、即 不妨令可得， 同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量， 則即不妨令，可得于是從而所以二面角AA1C1B的正弦值為 （III）解：由N為棱B1C1的中點(diǎn)，得設(shè)M（a，b，0），則由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以線(xiàn)段BM的長(zhǎng)為方法二：（I）解：由于AC/A1C1，故是異面直線(xiàn)AC與A1B1所成的角.因?yàn)槠矫鍭A1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，可得因此所以異面直線(xiàn)AC與A1B1所成角的余弦值為（II）解：連接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)R，連接B1R，于是，故為二面角AA1C1B1的平面角.在中，連接AB1，在中，從

3、而所以二面角AA1C1B1的正弦值為（III）解：因?yàn)槠矫鍭1B1C1，所以取HB1中點(diǎn)D，連接ND，由于N是棱B1C1中點(diǎn)，所以ND/C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，連接MD并延長(zhǎng)交A1B1于點(diǎn)E，則由得，延長(zhǎng)EM交AB于點(diǎn)F，可得連接NE.在中，所以可得連接BM，在中，2. （2011北京理）16（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng).【解析】（16）（共14分）證明：（）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.又因?yàn)镻A平面ABCD.所以PABD.所以BD平面P

4、AC.（）設(shè)ACBD=O.因?yàn)锽AD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設(shè)PB與AC所成角為，則.（）由（）知設(shè)P（0，t）（t>0），則設(shè)平面PBC的法向量,則所以令則所以同理，平面PDC的法向量因?yàn)槠矫鍼CB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=3. （2011遼寧卷理）18（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD （I）證明：平面PQC平面DCQ； （II）求二面角QBPC的余弦值【解析

5、】18解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線(xiàn)段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線(xiàn)DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. （I）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.則所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 6分 （II）依題意有B（1，0，1），設(shè)是平面PBC的法向量，則因此可取設(shè)m是平面PBQ的法向量，則可取故二面角QBPC的余弦值為 12分4. （全國(guó)大綱卷理）19（本小題滿(mǎn)分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）如圖，四棱錐中， ,，側(cè)面為等邊三角形，（）證明：;（）求與平面所成角的大小【解析】19解法一： （I）取AB中點(diǎn)E，連

6、結(jié)DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2， 連結(jié)SE，則 又SD=1，故， 所以為直角。3分 由， 得平面SDE，所以。 SD與兩條相交直線(xiàn)AB、SE都垂直。 所以平面SAB。6分 （II）由平面SDE知， 平面平面SED。 作垂足為F，則SF平面ABCD， 作，垂足為G，則FG=DC=1。 連結(jié)SG，則， 又， 故平面SFG，平面SBC平面SFG。9分 作，H為垂足，則平面SBC。 ，即F到平面SBC的距離為 由于ED/BC，所以ED/平面SBC，E到平面SBC的距離d也有 設(shè)AB與平面SBC所成的角為， 則12分 解法二： 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)CD為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角

7、坐標(biāo)系Cxyz。設(shè)D（1，0，0），則A（2，2，0）、B（0，2，0）。又設(shè) （I），由得故x=1。由又由即3分于是，故所以平面SAB。6分 （II）設(shè)平面SBC的法向量，則又故9分取p=2得。故AB與平面SBC所成的角為5. （全國(guó)新課標(biāo)理）(18)(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值?！窘馕觥?18)解：（ ）因?yàn)? 由余弦定理得 從而B(niǎo)D2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD

8、. 故PABD（）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線(xiàn)DA為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-，則,。設(shè)平面PAB的法向量為n=（x,y,z），則 即 因此可取n=設(shè)平面PBC的法向量為m，則 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值為 6. （2011江西卷理）21（本小題滿(mǎn)分14分） （1）如圖，對(duì)于任一給定的四面體，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面 ，使 得（i=1,2,3,4），且其中每相鄰兩個(gè)平面間 的距離都相等； （2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，若一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)滿(mǎn)足：（i=1,2,3,4），求該正四面體的體積.解：

9、（1）將直線(xiàn)三等分，其中另兩個(gè)分點(diǎn)依次為,連接,作平行于的平面，分別過(guò)，即為。同理，過(guò)點(diǎn)作平面即可的出結(jié)論。 （2）現(xiàn)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,若，由于得，那么，正四面體的棱長(zhǎng)為，其體積為（即一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體割去四個(gè)直角三棱錐后的體積）7. （山東卷理）19（本小題滿(mǎn)分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形， ACB=，平面，EF，.=.（）若是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】19（I）證法一：因?yàn)镋F/AB，F(xiàn)G/BC，EG/AC，所以由于AB=2EF，因此，BC=2FC，連接AF，由于FG/BC，在中，M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，則AM/BC，且

10、因此FG/AM且FG=AM，所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GM/FA。又平面ABFE，平面ABFE，所以GM/平面AB。證法二：因?yàn)镋F/AB，F(xiàn)G/BC，EG/AC，所以由于AB=2EF，因此，BC=2FC，取BC的中點(diǎn)N，連接GN，因此四邊形BNGF為平行四邊形，所以GN/FB，在中，M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，連接MN，則MN/AB，因?yàn)樗云矫鍳MN/平面ABFE。又平面GMN，所以GM/平面ABFE。 （II）解法一：因?yàn)?，又平面ABCD，所以AC，AD，AE兩兩垂直，分別以AC，AD，AE所在直線(xiàn)為x軸、y軸和z軸，建立如圖所法的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)則由題意得A（0，0，0，），B

11、（2，-2，0），C（2，0，0，），E（0，0，1），所以又所以設(shè)平面BFC的法向量為則所以取所以設(shè)平面ABF的法向量為，則所以則，所以因此二面角ABFC的大小為解法二：由題意知，平面平面ABCD，取AB的中點(diǎn)H，連接CH，因?yàn)锳C=BC，所以，則平面ABFE，過(guò)H向BF引垂線(xiàn)交BF于R，連接CR，則所以為二面角ABFC的平面角。由題意，不妨設(shè)AC=BC=2AE=2。在直角梯形ABFE中，連接FH，則，又所以因此在中，由于所以在中，因此二面角ABFC的大小為8. （2011陜西理）16（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在中，是上的高，沿把折起，使 。（）證明：平面  平面；（）設(shè)

12、為的中點(diǎn)，求與夾角的余弦值?！窘馕觥?6解（）折起前是邊上的高， 當(dāng) 折起后，AD，AD，又DB，平面，AD 平面平面BDC平面ABD平面BDC。（）由 及（）知DA，DC兩兩垂直，不防設(shè)=1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，0），=，=（1，0,0,），與夾角的余弦值為，=9. （上海理）21（14分）已知是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，是和的交點(diǎn)。（1）設(shè)與底面所成的角的大小為，二面角的大小為。求證：；（2）若點(diǎn)到平面的距離為，求正四棱柱的高?！窘馕觥?1解：設(shè)

13、正四棱柱的高為。 連，底面于， 與底面所成的角為，即 ，為中點(diǎn)，又， 是二面角的平面角，即 ，。 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，有設(shè)平面的一個(gè)法向量為， ，取得 點(diǎn)到平面的距離為，則。10. （四川理）19(本小題共l2分) 如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中 BAC=90°，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一P是AD的延長(zhǎng)線(xiàn)與A1C1的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)，且PB1平面BDA(I)求證：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； ()求點(diǎn)C到平面B1DP的距離解析：（1）連接交于,又為的中點(diǎn)，中點(diǎn)，,D為的中點(diǎn)。（2）由題意,過(guò)B 作,連接，則,為二面角的平面角。在

14、中，,則(3)因?yàn)?，所?在中，11. （2011浙江理）20（本題滿(mǎn)分15分）如圖，在三棱錐中，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線(xiàn)段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）證明：APBC；（）在線(xiàn)段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘馕觥?0本題主要考查空是點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。滿(mǎn)分15分。方法一： （I）證明：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以射線(xiàn)OP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz則，由此可得，所以，即（II）解：設(shè)設(shè)平面BMC的法向量

15、，平面APC的法向量由得即由即得由解得，故AM=3。綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，AM=3。方法二：（I）證明：由AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，得又平面ABC，得因?yàn)?，所以平面PAD，故（II）解：如圖，在平面PAB內(nèi)作于M，連CM，由（I）中知，得平面BMC，又平面APC，所以平面BMC平面APC。在在，在所以在又從而PM，所以AM=PA-PM=3。綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，AM=3。12. （重慶理）19（本小題滿(mǎn)分12分，（）小問(wèn)5分，（）小問(wèn)7分）如題（19）圖，在四面體中，平面平面， （）若，求四面體的體積； （）若二面角為，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值【解析】19（本題12分） （I）

16、解：如答（19）圖1，設(shè)F為AC的中點(diǎn)，由于AD=CD，所以DFAC.故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.在RtABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，由勾股定理易知故四面體ABCD的體積 （II）解法一：如答（19）圖1，設(shè)G，H分別為邊CD，BD的中點(diǎn)，則FG/AD，GH/BC，從而FGH是異面直線(xiàn)AD與BC所成的角或其補(bǔ)角. 設(shè)E為邊AB的中點(diǎn)，則EF/BC，由ABBC，知EFAB.又由（I）有DF平面ABC， 故由三垂線(xiàn)定理知DEAB.所以DEF為二面角CABD

17、的平面角，由題設(shè)知DEF=60°設(shè)在從而因RtADERtBDE，故BD=AD=a，從而，在RtBDF中，又從而在FGH中，因FG=FH，由余弦定理得因此，異面直線(xiàn)AD與BC所成角的余弦值為解法二：如答（19）圖2，過(guò)F作FMAC，交AB于M，已知AD=CD，平面ABC平面ACD，易知FC，F(xiàn)D，F(xiàn)M兩兩垂直，以F為原點(diǎn)，射線(xiàn)FM，F(xiàn)C，F(xiàn)D分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz.不妨設(shè)AD=2，由CD=AD，CAD=30°，易知點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)分別為顯然向量是平面ABC的法向量.已知二面角CABD為60°，故可取平面ABD的單位法向量，使得設(shè)

18、點(diǎn)B的坐標(biāo)為，有易知與坐標(biāo)系的建立方式不合，舍去.因此點(diǎn)B的坐標(biāo)為所以從而故異面直線(xiàn)AD與BC所成的角的余弦值為13. （安徽理）（17）（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線(xiàn)段上，OAB，,，都是正三角形。（）證明直線(xiàn)；（II）求棱錐FOBED的體積?！窘馕觥浚?7）（本小題滿(mǎn)分12分）本題考查空間直線(xiàn)與直線(xiàn)，直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系，空間直線(xiàn)平行的證明，多面體體積的計(jì)算等基本知識(shí)，考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力.（I）（綜合法）證明：設(shè)G是線(xiàn)段DA與EB延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn). 由于OAB與ODE都是正三角形，所以=，OG=OD=2，同理，設(shè)是線(xiàn)段DA與線(xiàn)段

19、FC延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)，有又由于G和都在線(xiàn)段DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，所以G與重合.=在GED和GFD中，由=和OC，可知B和C分別是GE和GF的中點(diǎn)，所以BC是GEF的中位線(xiàn)，故BCEF.（向量法）過(guò)點(diǎn)F作，交AD于點(diǎn)Q，連QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由條件知?jiǎng)t有所以即得BCEF. （II）解：由OB=1，OE=2，而OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故所以過(guò)點(diǎn)F作FQAD，交AD于點(diǎn)Q，由平面ABED平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐FOBED的高，且FQ=，所以14.14. （2011福建理）20（本小題滿(mǎn)分1

20、4分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求證：平面PAB平面PAD；（II）設(shè)AB=AP （i）若直線(xiàn)PB與平面PCD所成的角為，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)； （ii）在線(xiàn)段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說(shuō)明理由?！窘馕觥?0本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、抽象根據(jù)能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿(mǎn)分14分。解法一：（I）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平

21、面平面PAD。（II）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于點(diǎn)E，則在中，DE=，設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）設(shè)平面PCD的法向量為，由，得取，得平面PCD的一個(gè)法向量，又，故由直線(xiàn)PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因?yàn)锳D），所以（ii）假設(shè)在線(xiàn)段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，設(shè)G（0，m，0）（其中）則，由得，（2）由（1）、（2）消去t，化簡(jiǎn)得（3）由于方程（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以在線(xiàn)段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，C，D的

22、距離都相等。從而，在線(xiàn)段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。解法二：（I）同解法一。（II）（i）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于E，則。在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于點(diǎn)E，則在中，DE=，設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，設(shè)平面PCD的法向量為，由，得取，得平面PCD的一個(gè)法向量，又，故由直線(xiàn)PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因?yàn)锳D），所以（ii）假設(shè)在線(xiàn)段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，由GC=CD，得，

23、從而，即設(shè)，在中，這與GB=GD矛盾。所以在線(xiàn)段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)B，C，D的距離都相等，從而，在線(xiàn)段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。15. （湖北理）18（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都是4，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)重合（）當(dāng)=1時(shí)，求證：；（）設(shè)二面角的大小為，求的最小值【解析】18本小題主要考查空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。（滿(mǎn)分12分） 解法1：過(guò)E作于N，連結(jié)EF。 （I）如圖1，連結(jié)NF、AC1，由直棱柱的性質(zhì)知， 底面ABC側(cè)面A1C。 又度面?zhèn)让?/p>

24、A，C=AC，且底面ABC， 所以側(cè)面A1C，NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，在中，=1，則由，得NF/AC1，又故。由三垂線(xiàn)定理知（II）如圖2，連結(jié)AF，過(guò)N作于M，連結(jié)ME。由（I）知側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線(xiàn)定理得所以是二面角CAFE的平面角，即，設(shè)在中，在故又故當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值；，此時(shí)F與C1重合。解法2：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得于是則故（II）設(shè)，平面AEF的一個(gè)法向量為，則由（I）得F（0，4，），于是由可得取 又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC1的一個(gè)法向量為， 于是由為銳角可得， 所以， 由，得，即 故當(dāng)，即點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí)，取得最小值16. （湖南理）1

25、9（本小題滿(mǎn)分12分）如圖5，在圓錐中，已知=，O的直徑,是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：平面 平面;（）求二面角的余弦值?！窘馕觥?9解法1：連結(jié)OC，因?yàn)橛值酌鍻，AC底面O，所以，因?yàn)镺D，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，所以平面POD，而平面PAC，所以平面POD平面PAC。（II）在平面POD中，過(guò)O作于H，由（I）知，平面所以平面PAC，又面PAC，所以在平面PAO中，過(guò)O作于G， 連接HG，則有平面OGH，從而，故為二面角BPAC的平面角。在在在在所以故二面角BPAC的余弦值為解法2：（I）如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面POD的一個(gè)法向量，則由，得所以設(shè)是平面PAC的一個(gè)法向量，則由，得所以得。因?yàn)樗詮亩矫嫫矫鍼AC。（II）因?yàn)閥