體驗(yàn)感悟二次函數(shù)在實(shí)際情景中的運(yùn)用

1、體驗(yàn)感悟二次函數(shù)在實(shí)際情景中的運(yùn)用江蘇 王鋒當(dāng)我們?cè)诜偶儆^光旅游享受大自然的美麗的風(fēng)光之時(shí)，你可能被公園中人造噴泉噴出的拋物線型的水流所陶醉，當(dāng)你來(lái)到潺潺的溪水邊，你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)河面建造的一座座美麗的石拱橋，等等，這時(shí)你是否意識(shí)到其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)問(wèn)題？事實(shí)上噴泉形成的水柱，拱橋的形狀都給我們以拋物線的形狀，而我們知道它們與我們學(xué)過(guò)的二次函數(shù)密切相關(guān).新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：二次函數(shù)是反映現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型；因此我們可以從數(shù)學(xué)的視角，利用二次函數(shù)研究上述實(shí)際問(wèn)題，從而初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的“問(wèn)題情景建立模型解釋?xiě)?yīng)用回顧拓展”的探究方式，提高數(shù)學(xué)的建模意識(shí)、綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.本文

2、從07年中考試題中采集幾朵浪花加以剖析與讀者共賞. 例1、（07永州市）如圖所示是永州八景之一的愚溪橋，橋身橫跨愚溪，面臨瀟水，橋下冬暖夏涼，常有漁船停泊橋下避曬納涼已知主橋拱為拋物線型，在正常水位下測(cè)得主拱寬24m，最高點(diǎn)離水面8m，以水平線AB為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系求此橋拱線所在拋物線的解析式橋邊有一船浮在水面部分高4m，最寬處12m的河魚(yú)餐船，試探索此船能否開(kāi)到 橋下?說(shuō)明理由 分析：分析：題目已將實(shí)際問(wèn)題（建立了平面直角坐標(biāo)系）抽象成了二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型的雛形.欲求二次函數(shù)的解析式，觀察圖形及條件（主拱離水面的最大高度為8米，主拱寬為24米），可知拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，8

3、）因而可設(shè)拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+8，又拋物線過(guò)原點(diǎn)（12，0），所以有0= a×122+8，故，所以拋物線的關(guān)系式為y=；欲判斷船能否開(kāi)到橋下，因?yàn)楹郁~(yú)餐船最寬處為12m，船如果沿主拱中間不能通行，則其它的方式則更無(wú)法開(kāi)到橋下.現(xiàn)在我們來(lái)探究沿橋拱中央行駛的情形.當(dāng)x=6時(shí)，代入拋物線的關(guān)系式為y=得y=4米，所以從理論上講，河魚(yú)餐船剛好能駛?cè)霕蚬跋录{涼.評(píng)注：解決具有實(shí)際問(wèn)題情境的應(yīng)用題，首先要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后在將實(shí)際問(wèn)題中提供的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型中的相關(guān)的數(shù)據(jù).比如：實(shí)際問(wèn)題中“主拱離水面的最大高度為8米，跨度為24米”可轉(zhuǎn)化為

4、拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，8），拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-12，0），（12，0）”等.最后利用學(xué)過(guò)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)求得問(wèn)題的答案.求解拋物線的解析式時(shí)，借助待定系數(shù)法常常有3種設(shè)法：頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-m)2+n其中（m，n）為拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)其中x1、x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；一般式y(tǒng)=ax2+bx+c是已知拋物線上任意（無(wú)特殊的關(guān)系）3點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)采用.另外在解題過(guò)程中還要充分發(fā)揮待定系數(shù)法、配方法、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)作用.例2、(07浙江麗水) 廊橋是我國(guó)古老的文化遺產(chǎn)如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖，已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，為

5、保護(hù)廊橋的安全，在該拋物線上距水面高為8米的點(diǎn)、處要安裝兩盞警示燈，求這兩盞燈的水平距離（精確到1米）OAEFB分析：本題創(chuàng)設(shè)了一個(gè)以我國(guó)古老的文化遺產(chǎn)廊橋?yàn)檩d體，考查二次函數(shù)及由已知函數(shù)值求平行于x軸直線上兩點(diǎn)之間距離的問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)條件.由于兩盞E、F距離水面都是8m，因而兩盞景觀燈之間的水平距離就是直線y=8與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值.故有x2+10 = 8，即x2=80，x1= x2=所以兩盞警示燈之間的水平距離為|x1x2|=|（）|=818（m）.評(píng)注：上述兩例都是以拱橋?yàn)檩d體，讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題先確定二次函數(shù)解析式，然后進(jìn)一步利

6、用函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行自變量與函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)換，只不過(guò)是本題是由函數(shù)值求自變量的值去解決相應(yīng)實(shí)際問(wèn)題的.這樣就將二次函數(shù)巧妙地與一元二次方程（組）聯(lián)系在一起.在本例中運(yùn)用了兩個(gè)特殊點(diǎn)A、B（在平行于x軸的直線上）兩個(gè)點(diǎn)之間的距離公式為|.例3、（06武漢市課改實(shí)驗(yàn)區(qū)）連接著漢口集家咀的江漢三橋(晴川橋)，是一座下承式鋼管混凝土系桿拱橋它猶如一道美麗的彩虹跨越漢江，是江城武漢的一道靚麗景觀橋的拱肋ACB視為拋物線的一部分，橋面(視為水平的)與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，相鄰系桿之間的間距均為5米(不考慮系桿的粗細(xì))，拱肋的跨度AB為280米，距離拱肋的右端70米處的系桿EF的長(zhǎng)度為42米以AB所在直

7、線為x軸，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求拋物線的解析式；（2）正中間系桿OC的長(zhǎng)度是多少米？是否存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是OC長(zhǎng)度的一半？請(qǐng)說(shuō)明理由yxABEFCO分析：觀察圖形，若設(shè)拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，c），則拋物線的解析式可設(shè)為y=ax2+c，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中提供的數(shù)據(jù)容易得到B（140，0），E（70，42），解之得a=，c=56，所以y=+56(2)OC得長(zhǎng)度事實(shí)上就是拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，也就是拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，所以當(dāng)x=0時(shí)，y=×02+56=56，所以O(shè)C的長(zhǎng)度為56米.設(shè)存在一個(gè)系桿的長(zhǎng)度是OC的一半，即這根系桿的長(zhǎng)度是28 m.則28

8、=+56，解得：x=±.相鄰系桿之間的間距均為5m，最中間系桿OC在y軸上，每根系桿上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù).x=±與實(shí)際不符.不存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是OC長(zhǎng)度的一半.評(píng)注：本題選取晴川橋作為問(wèn)題的實(shí)際情景，巧妙地將橋的拱肋與拋物線聯(lián)系在一起，解決此類(lèi)問(wèn)題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型；可喜的是本題已經(jīng)建立了平面直角坐標(biāo)系（數(shù)學(xué)問(wèn)題的半成品），（1）觀察剖面圖，因頂點(diǎn)在y軸上，可根據(jù)頂點(diǎn)式借助待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）是一個(gè)探索“存在性”的問(wèn)題，所謂“存在性”的問(wèn)題，就是要求應(yīng)試者在給定的部分條件下，判斷某種數(shù)學(xué)對(duì)象（線段的長(zhǎng)度、變量的取值、點(diǎn)的坐標(biāo)等）是否存在的命題，這種題型有利于測(cè)試學(xué)生的猜想、判斷、邏輯推理等創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力.解決此類(lèi)問(wèn)題的方法是：先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)而后結(jié)合題設(shè)、方程的解法、定理等進(jìn)行正確的計(jì)算或推理，若得出矛盾的（或不合實(shí)際意義）結(jié)果，則否定先前假設(shè)，說(shuō)明結(jié)論不存在；若推出合理的結(jié)果，說(shuō)明假設(shè)成立，進(jìn)而知結(jié)論是存在的.欲求OC的長(zhǎng)度事實(shí)上是求拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由解析式容易求得，至于探究“是否存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是OC長(zhǎng)度的一半”，也就是探索當(dāng)y=0.5×56=28時(shí)，方程 28=+56的解的值，是否是5（相鄰系桿之間的間距）的整數(shù)倍.其中滲透了二次函數(shù)與一元二次方程之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.嘗