初三《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)專題

1、圓章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)一、圓的概念集合形式的概念: 1、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合; 2、圓的外部:可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合; 3、圓的內(nèi)部:可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合 軌跡形式的概念:1、圓:到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心,定長為半徑的圓;(補(bǔ)充2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線(也叫中垂線;3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線;4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線;5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這兩條平行線且到兩條直線

2、距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 1、點(diǎn)在圓內(nèi) d r < 點(diǎn)C 在圓內(nèi);2、點(diǎn)在圓上 d r = 點(diǎn)B 在圓上;3、點(diǎn)在圓外 d r > 點(diǎn)A 在圓外;三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 d r > 無交點(diǎn);2、直線與圓相切 d r = 有一個(gè)交點(diǎn);3、直線與圓相交 d r < 有兩個(gè)交點(diǎn); A四、圓與圓的位置關(guān)系外離(圖1 無交點(diǎn) d R r >+; 外切(圖2 有一個(gè)交點(diǎn) d R r =+; 相交(圖3 有兩個(gè)交點(diǎn) R r d R r -<<+; 內(nèi)切(圖4 有一個(gè)交點(diǎn) d R r =-; 內(nèi)含(圖5 無交點(diǎn) d R r <-

3、; 五、垂徑定理垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1:(1平分弦(不是直徑的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧; (2弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧;(3平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共4個(gè)定理,簡稱2推3定理:此定理中共5個(gè)結(jié)論中,只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論,即: A B 是直徑 AB C D C E D E = 弧B C =弧B D 弧A C =弧A D 中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。 推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即:在O 中,A B C D 弧A C =弧B D圖1圖2圖4圖5BD 圓心角定理

4、:同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弧相等,弦心距相等。 此定理也稱1推3定理,即上述四個(gè)結(jié)論中, 只要知道其中的1個(gè)相等,則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論, 即:A O B D O E =;AB D E =;O C O F =; 弧B A =弧B D七、圓周角定理 1、圓周角定理:同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。 即:A O B 和A C B 是弧A B 所對(duì)的圓心角和圓周角 2A O B A C B =2、圓周角定理的推論:推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧; 即:在O 中,C 、D 都是所對(duì)的圓周角 C D =推論2:半圓或直徑所

5、對(duì)的圓周角是直角;圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓,所對(duì)的弦是直徑。 即:在O 中,A B 是直徑 或90C = 90C = A B 是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形。 即:在ABC 中,O C O A O B =ABC 是直角三角形或90C =注:此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。BABA O圓的內(nèi)接四邊形定理:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),外角等于它的內(nèi)對(duì)角。 即:在O 中,四邊形A B C D 是內(nèi)接四邊形 180C BAD += 180B D += D AE C =九、切線的性質(zhì)與判定定理(1切線的判

6、定定理:過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線; 兩個(gè)條件:過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可 即:M N O A 且M N 過半徑O A 外端 M N 是O 的切線 (2性質(zhì)定理:切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(如上圖 推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。 推論2:過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。 以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理:即:過圓心;過切點(diǎn);垂直切線,三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長定理 切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 即:P A 、P B 是的兩條切線 PA PB =P O 平分BPA 十一、圓冪定理 (

7、1相交弦定理:圓內(nèi)兩弦相交,交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。 即:在O 中,弦A B 、C D 相交于點(diǎn)P , PA PB PC PD =(2推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。 即:在O 中,直徑AB C D , 2CE AE BE = (3切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。 即:在O 中,P A 是切線,P B 是割線 2PA PC PB =(4割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等(如上圖。即:在O 中,P B 、P E 是割線 P C P B P D

8、 P E =十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理:兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的 的公共弦。如圖:12O O 垂直平分A B 。即:1O 、2O 相交于A 、B 兩點(diǎn) 12O O 垂直平分A B 十三、圓的公切線 兩圓公切線長的計(jì)算公式:(1公切線長:12Rt O O C 中,221AB CO = (2外公切線長:2CO 是半徑之差; 內(nèi)公切線長:2CO 是半徑之和 。DBA圓章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí) 十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算 （1）正三角形 在 O 中 ABC 是正三角形，有關(guān)計(jì)算在 Rt DBOD 中進(jìn)行： O A C OD : BD : OB = 1: 3 : 2 ； B D （2）正四邊形 同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在 Rt DOAE 中進(jìn)行，OE : AE : OA = 1:1: 2 ： B O A C E D （3）正六邊形 同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在 Rt DOAB 中進(jìn)行， AB : OB : OA = 1: 3 : 2 . O B A 十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式 1、扇形： （1）弧長公式： l = A np R ； 180 O S l （2）扇形面積公式： S = np R 1 = lR 360 2 2 B n ：圓心角 R ：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑 l ：扇形弧長 S ：扇形面積 2、圓柱： （1）圓柱側(cè)面展開圖 A D D1 母線長 底面圓周長 B C B1