一概念的引入ppt課件

1、YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算一、概念的引入一、概念的引入實(shí)例實(shí)例 所謂曲面光滑所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都即曲面上各點(diǎn)處都有切平面有切平面, ,且當(dāng)點(diǎn)在且當(dāng)點(diǎn)在曲面上延續(xù)挪動(dòng)時(shí)曲面上延續(xù)挪動(dòng)時(shí), ,切平面也延續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)切平面也延續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng). .YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算分割分割取近似取近似求和求和1(,).niiiiiMS 取極限取極限01lim(,).niiiiiMS YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算二二、曲曲面面的的面面積積 22,1 cos1xyxy

2、Szfx yfx yxyXYzff 設(shè)設(shè)有有一一塊塊曲曲面面 ，它它的的方方程程為為具具有有對(duì)對(duì) 及及 的的連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且其其在在平平面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉榭煽汕笄竺婷娣e積的的。這這樣樣的的曲曲面面在在每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都有有切切平平面面和和法法線(xiàn)線(xiàn)，以以 表表示示法法線(xiàn)線(xiàn)與與 軸軸的的夾夾角角，則則xy 將將曲曲面面的的投投影影區(qū)區(qū)域域分分劃劃為為若若干干可可求求面面積積的的小小區(qū)區(qū)域域YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算12 n， ， 112*max.,.1,2,.ii nniiiiiiiiiiiiiidSSSSSinMfMSSS

3、XYSXYMd 令令的的軸軸直直徑徑 在在這這一一分分劃劃之之下下相相應(yīng)應(yīng)地地將將曲曲面面分分為為若若干干小小片片在在上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)，作作曲曲面面 的的切切平平面面，在在這這個(gè)個(gè)切切平平面面，我我們們?nèi)∪∫灰恍⌒K塊它它的的取取法法必必須須使使在在平平面面上上的的投投影影與與在在平平面面上上的的投投影影相相同同，同同為為從從直直觀觀上上來(lái)來(lái)看看，在在點(diǎn)點(diǎn)的的附附近近. .切切面面應(yīng)應(yīng)當(dāng)當(dāng)相相當(dāng)當(dāng)逼逼近近于于曲曲面面，換換句句話(huà)話(huà)說(shuō)說(shuō)，當(dāng)當(dāng) 充充分分* 1iiniSSSSi 小小時(shí)時(shí)，應(yīng)應(yīng)相相當(dāng)當(dāng)逼逼近近于于，于于是是很很自自然然地地認(rèn)認(rèn)為為和和數(shù)數(shù)非非常常接接近近于于曲曲面面 的

4、的面面積積. .YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算0iidMSS 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，若若上上述述和和數(shù)數(shù)有有一一個(gè)個(gè)確確定定的的極極限限，并并且且這這個(gè)個(gè)極極限限值值不不依依賴(lài)賴(lài)于于分分劃劃及及點(diǎn)點(diǎn)在在上上的的取取法法，則則該該極極限限值值就就是是曲曲面面 的的面面積積. . 22,1 cos1,iiiixiiyiiSMzff 由由于于切切平平面面的的法法線(xiàn)線(xiàn)就就是是曲曲面面 在在點(diǎn)點(diǎn)的的法法線(xiàn)線(xiàn) 它它與與 軸軸的的夾夾角角 為為*,iiSXY 又又因因?yàn)闉樵谠谄狡矫婷嫔仙系牡耐锻队坝盀闉樗砸訷unnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一

5、類(lèi)曲面積分的計(jì)算 22*1,cosiixiiyiiiiSff 22*11221,1,nnixiiyiiiiixyxySfffx yfx y 而而和和數(shù)數(shù)正正是是函函數(shù)數(shù)在在可可求求面面積積區(qū)區(qū)域域上上的的黎黎曼曼和和。0:dS當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)極極限限存存在在，這這樣樣便便得得到到曲曲面面 的的面面積積公公式式Y(jié)unnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算 *012201limlim1,nidinxiiyiiidiSSff 221xyxyff dxdy cos,xydxdySn z 由由推推倒倒過(guò)過(guò)程程可可知知 cos,.n zzxy這這里里表表示示曲曲面面的的法法線(xiàn)線(xiàn)與

6、與 軸軸的的夾夾角角余余弦弦，它它是是和和 的的函函數(shù)數(shù)YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算 , , uuuvvvxx u vyy u vzz u vu vUVSx u vy u vz u vuvxyzxyz 若若曲曲面面的的方方程程為為這這里里點(diǎn)點(diǎn)為為平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)域域，假假設(shè)設(shè)曲曲面面沒(méi)沒(méi)有有重重點(diǎn)點(diǎn) 同同時(shí)時(shí)假假設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)具具有有對(duì)對(duì) 和和 的的連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,并并且且雅雅可可比比矩矩陣陣YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算2,的的秩秩為為令令uuuuuuvvvv

7、vvyzzxxyABCyzzxxy ,.A B C那那么么曲曲面面上上每每一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的法法線(xiàn)線(xiàn)方方向向數(shù)數(shù)為為 2,0.A B C 因因矩矩陣陣的的秩秩為為 ，所所以以 222cos,zCn zABC 由由于于法法線(xiàn)線(xiàn)與與 軸軸夾夾角角的的余余弦弦為為YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算 222cos,1,cos,xydxdySn zD x ydudvD u vn zABC dudv 所所以以由由于于YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算 2222222222uuuvvvuvuvuvABCxyzxyzx xy

8、 yz z 2EGF其其中中222222uuuvvvuvuvuvExyzGxyzFx xy yz z2SEGF dudv YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算2.EGF dudv 稱(chēng)稱(chēng)為為面面積積元元素素 22222210.xyzaxyax aS 例例求求球球面面含含在在柱柱面面內(nèi)內(nèi)部部的的面面積積解解：xxzz yyzz 2222222221xyxyzaazzzzaxy YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算由由對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性，并并利利用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)：2224xyaSdxdyaxy cos222004aad

9、rdrar 2412a 2,coscoscossin,0222sinRSxRyRzR 例例 求求以以 為為半半徑徑的的球球面面面面積積此此球球的的方方程程為為YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算222222,0,cosExyzRFGR 解解：222cosEGFR 8由由于于球球面面的的對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性，只只要要計(jì)計(jì)算算它它在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)的的面面積積，這這個(gè)個(gè)面面積積的的 倍倍就就是是整整個(gè)個(gè)球球面面的的面面積積. .222008cosSRdd 24 R YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算三、化第一類(lèi)曲面

10、積分為二重積分三、化第一類(lèi)曲面積分為二重積分 1211212, ,.,.,max,xyxyxynii nnnx y zSSzfx yXYfx yxydSSSSSSS 設(shè)設(shè)為為定定義義在在曲曲面面 上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)曲曲面面的的方方程程為為它它在在平平面面上上的的投投影影為為一一塊塊可可求求面面積積區(qū)區(qū)域域，并并設(shè)設(shè)在在上上具具有有對(duì)對(duì) 和和 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 若若將將區(qū)區(qū)域域分分劃劃為為若若干干可可求求面面積積的的小小區(qū)區(qū)域域， ，令令的的直直徑徑 ，在在這這一一分分劃劃之之下下，相相應(yīng)應(yīng)的的曲曲面面 亦亦被被分分劃劃為為若若干干可可求求面面積積的的小小塊塊并并把把它它們們的的面面積積仍

11、仍記記為為那那么么按按定定義義就就有有YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算 01, ,lim,niiiidiSx y z dSS ,.iiiiiiiSf 這這里里為為上上的的任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)221iixySff dxdy 根根據(jù)據(jù)中中值值定定理理 22*1,xiiyiiiff *,.iii 這這里里點(diǎn)點(diǎn)為為上上的的某某一一點(diǎn)點(diǎn)于于是是YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算 1,niiiiiS 22*1,1,niiixiiyiiiiff 2211,1,niiixiiyiiiiniiiff ,xyfff由由假假設(shè)設(shè)連

12、連續(xù)續(xù)，故故YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算 220122lim,1, ,1xyniiixiiyiiidixyffx y fx yff dxdy 01lim0.niidi 容容易易證證明明 22,1xySxyx y z dSx y fx yff dxdy 所所以以YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算 , , uuuvvvxx u vyy u vzz u vu vUVSx u vy u vz u vuvxyzxyz 若若曲曲面面的的方方程程為為這這里里點(diǎn)點(diǎn)為為平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)域域，假假設(shè)設(shè)曲曲面面

13、沒(méi)沒(méi)有有重重點(diǎn)點(diǎn) 同同時(shí)時(shí)假假設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)具具有有對(duì)對(duì) 和和 的的連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,并并且且雅雅可可比比矩矩陣陣YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算2.的的秩秩為為 , ,Sx y z dS 則則 2,x u vy u vz u vEGF dudv 222222 uuuvvvuvuvuvExyzGxyzFx xy yz z 這這里里YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的性質(zhì)第一類(lèi)曲面積分的性質(zhì)則則及及可分為分片光滑的曲面可分為分片光滑的曲面若若, )3(21 ; ),( )

14、,( )1( dSzyxfkdSzyxkf dSzyxgzyxf ),(),( )2(; ),( ),( dSzyxgdSzyxf. ),( ),( ),(21 dSzyxgdSzyxfdSzyxf特別，特別，的的面面積積。 dS時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1),( zyxfYunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算 :, ( , , )( , , ( , );S zz x yf x y zf x y z x y ; ),(),(122dxdyyxzyxzdSyx .xySxoy 將將曲曲面面向向面面投投影影，得得22( , , ) , , ( , ) 1;xyxySf x

15、 y z dSf x y z x yzzdxdy );,(:. 1yxzz 若曲面若曲面那那么么三代：三代：二換：二換：一投：一投：YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算22 , ( , ), 1;xzxzf x y x zzyy dxdz ( , , )Sf x y z dS );),(,( ),(),(:zzxyxfzyxfzxyy ; ),(),(122dxdzzxyzxydSzx .xzSxoz 將將曲曲面面 向向面面投投影影，得得那那么么三代：三代：二換：二換：一投：一投：2.( , )Syy x z 若若曲曲面面 ：YunnanUnivers

16、ity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算例例3 3解解hxyzoaaa面面投投影影，得得向向?qū)⑶婷?xoy . :222yxaz 2222: .xyxyah ,222yxaxzx .222yxayzy YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算dxdyyxzyxzdSyx ),(),(122 .222dxdyyxaa zdS2222221xyadxdyaxyaxy 2221 xyadxdyaxy hxyzoaaa2202 ,:0.xyrah YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算 zdS2221 xy

17、adxdyaxy hxyzoaaa .sin,cos ryrxdrrradaha 1 2202220 .ln2haa )( 1 )21(220222022radradaha 200 2222)ln(2draaha 20ln22dhaaYunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算例例4 4解解xyzoaaa面面投投影影，得得向向?qū)⑶婷?xoy . : )1(222yxaz 222: , 0, 0.xyxyaxy ,222yxaxzx .222yxayzy YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算dxdyyxzyxzdS

18、yx ),(),(122 .222dxdyyxaa dSzyx )(222 222222222() )xyaxyaxydxdyaxy 32221 xyadxdyaxy YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算0,:20.xyra 所以，所以，dSzyx )(222 drrradaa 1022203 .24 a .sin,cos ryrxxyzoaaaYunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算面面投投影影，得得向向?qū)⑶婷?yoz . :222zyax 222: , 0.yzyzay ,222zyayxy .222zy

19、azxz xyzoaaadydzyxxyxxdSzy ),(),(122 .222dydzzyaa YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算dSzyx )(222 222222222()yzaayzyzdydzayz 32221 yzadydzayz xyzoaaa,:220.yzra YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算xyzoaaa .sin,cos rzrydSzyx )(222 32221 yzadydzayz drrradaa 1 022223 .4 a YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算例例5 5解解.4321 xyzo1111 2 3 4 dSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyz 4321 YunnanUniversity2. 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算. 0:1 x, 0),( xyzzyxf. 0:2 y, 0),( xyzzyxf. 0:3 z, 0),( xyzzyxfdSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyz 4321 dSxyz 4 3 1 2 xyzo1114 YunnanUniversity2.