期權(quán)定價數(shù)值方法

1、第20章基本數(shù)值方法 20.1 二叉樹20.2 采用二叉樹對股指、貨幣與期貨期權(quán)定價20.3 對于支付股息股票的二叉樹模型20.4 構(gòu)造樹形的其他方法20.5 參數(shù)依賴于時間的情形20.6 蒙特卡羅模擬法20.7 方差縮減程序20.8 有限差分法第20章 基本數(shù)值方法1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達 ； 2、下降到原先的 倍，即 。 時間內(nèi)資產(chǎn)價格的變動時間內(nèi)資產(chǎn)價格的變動SuSudSd 把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔 ，并假設(shè)在每一個時間間隔 內(nèi)證券價格只有兩種運動的可能：t t其中 ， .如圖所示。價格上升的概率假設(shè)為 ，下降的概率假設(shè)為 。1u 1d p1pt相應(yīng)地，期權(quán)價值

2、也會有所不同，分別為 和 。ufdf20.1 二叉樹 構(gòu)造投資組合包括 份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭 當(dāng) 。則組合為無風(fēng)險組合SuuSdfd 此時 因為是無風(fēng)險組合，可用無風(fēng)險利率貼現(xiàn)，得r tuSfSufe 將 代入上式就可得到：udffSuSd 1r tudfepfp f 其中 dudeptr無套利定價法：無套利定價法：udffSuSd在對衍生產(chǎn)品定價時，可以假定世界是風(fēng)險中性的。在風(fēng)險中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險利率；（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。20.1.1 20.1.1 風(fēng)險中性定價風(fēng)險中性定價在風(fēng)險中性的條件下, 參數(shù)值滿足條件：SdppS

3、uSetr)1 ( dppuetr)1 ( 假設(shè)證券價格遵循幾何布朗運動，則：22222222(1)(1) StpS up S dSpup d 2222)1 ()1 (dppudpput再設(shè)定： （第三個條件的設(shè)定則可以有所不同， 這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件） 1/ud由以上三式可得，當(dāng) 很小時：tdudeptrteuted從而 1r tudfepfp f 以上可知，無套利定價法和風(fēng)險中性定價法具有內(nèi)在一致性。20.1.2 20.1.2 確定確定p,u,dp,u,d 一般而言，在 時刻，證券價格有 種可能，它們可用符號表示為：ti1ijijduS0 其中0,1,ji

4、由于 ，使得許多結(jié)點是重合的，從而大大簡化了樹圖。 1ud20.1.3 20.1.3 資產(chǎn)價格的樹形資產(chǎn)價格的樹形 得到每個結(jié)點的資產(chǎn)價格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時刻開始往回倒推，為期權(quán)定價。 如果是歐式期權(quán)，可通過將 時刻的期權(quán)價值的預(yù)期值在 時間長度內(nèi)以無風(fēng)險利率 貼現(xiàn)求出每一結(jié)點上的期權(quán)價值； 如果是美式期權(quán)，就要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個結(jié)點上，比較在本時刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有 時間，到下一個時刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點的期權(quán)價值。例例20-1 DerivaGem20-1 DerivaGem示范示范 Ttrt20.1.4 20.1.4 通過

5、樹形倒推計算通過樹形倒推計算 假設(shè)把一期權(quán)有效期劃分成N個長度為 的小區(qū)間，同時用 表示結(jié)點 處的證券價格可得（以看漲期權(quán)為例）： 其中假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，則： （表示在時間 時第j個結(jié)點處的歐式看漲期權(quán)的價值）若有提前執(zhí)行的可能性，則：tjijduS0),(ji0,1,jN1,11,(1)r tijijijfepfp f )0 ,0(ijNiti20.1.5 20.1.5 代數(shù)表達式代數(shù)表達式)0 ,max(0,KduSfjNjjN)1 (,max, 11, !0,jijitrjNjjifppfeKduSf)(5 . 0)/()()/()(20202000, 21 , 20201 , 22

6、, 2dSuSdSSffSuSffdSuSff000, 11 , 1ff*tff20, 01 , 220.1.6 20.1.6 估計估計Delta與其他希臘值與其他希臘值 dppuetqr)1 ()(dudeptqr )(teuted20.2 采用二叉樹對股指、貨幣與期貨期權(quán)進行定采用二叉樹對股指、貨幣與期貨期權(quán)進行定價價 當(dāng)對股指、貨幣和期貨上的期權(quán)定價時，可以將這些標(biāo)的資產(chǎn)看作是提供已知收益率的資產(chǎn)。對于股指而言，收益率就是股指中股票組合的股息收益率；對于貨幣而言，收益率等于外幣無風(fēng)險利率；對于期貨合約而言，收益率等于無風(fēng)險利率。Derivagem求解例求解例20-3，20-4假設(shè)股息離散

7、支付，股息收益率已知 可通過調(diào)整在各個結(jié)點上的股票價格，算出期權(quán)價格； 如果時刻 在除權(quán)日之前，則結(jié)點處股票價格仍為： 如果時刻 在除權(quán)日之后，則結(jié)點處證券價格相應(yīng)調(diào)整為： 若在期權(quán)有效期內(nèi)有多個已知紅利率，則 時刻結(jié)點的相應(yīng)的證券價格為： （ 為0時刻到 時刻之間所有除權(quán)日的總紅利支付率）ijdSujij, 1 , 0,titijijduS)1 (0,1,jijijiduS)1 (tii20.3 對于支付股息股票的二叉樹模型對于支付股息股票的二叉樹模型20.3.1 20.3.1 股息收益率是已知的情形股息收益率是已知的情形ti20.3.2 20.3.2 已知股息數(shù)量的情形已知股息數(shù)量的情形

8、在某些情形下，尤其是當(dāng)期權(quán)的期限很短時，最符合現(xiàn)實的做法是假設(shè)已知股息支付的數(shù)量而不是股息收益率。假設(shè)股票波動率 為常數(shù)，二叉樹的形狀如下圖所示。 將股票價格分為兩個部分：一部分是不確定的；另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來股息的貼現(xiàn)值。假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一個除息日，則在時刻 不確定部分的價值為：*()()S i tS i t 當(dāng) 時i t *()()()ri tS i tS i tDe 當(dāng) 時（D為股息）i t 對于原股票價格S的二叉樹，在 時刻：當(dāng) 時，股票價格為：當(dāng) 時，股票價格為：tii t *()0jijri tS u dDe ti*0jijS u d0,1,ji（ 為零時刻的 值）

9、例例20-520-5*0S*Sti 基本原理：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán)B的解析定價公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。假設(shè)： （ 代表期權(quán)B的真實價值， 表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)估計值， 和 表示用同一個二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過程得到的估計值）則期權(quán)A 的更優(yōu)估計值為： BBffAAffBfAfAfBfAAffBBff20.3.3 20.3.3 控制變量技術(shù)控制變量技術(shù)pud1ud0.5p 222r qttue 222r qttde 該方法優(yōu)點在于無論 和 如何變化，概率總是不變的缺點在于二叉樹圖中的中心線上的標(biāo)的資產(chǎn)價格不會再和初始中心值相等。 t20.4

10、 構(gòu)造樹形的其他方法構(gòu)造樹形的其他方法 CRR方法并不是構(gòu)造二叉樹的唯一方法，在確定參數(shù) 、 和 時，不再假設(shè) ，而令 ，可得： 三叉樹圖 每一個時間間隔 內(nèi)證券價格有三種運動的可能：1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達 ；2、保持不變，仍為 ；3、下降到原先的 倍，即tSuSuSdSd 假定股票支付股息收益率q，以下參數(shù)可保證樹形的均值和標(biāo)準(zhǔn)差與股票價格的均值和標(biāo)準(zhǔn)差相吻合3 tue1du2211226dtprq 2211226utprq23mp )(tf1、利率是時間依賴的情形 假設(shè) ，即在時刻 的結(jié)點上，其應(yīng)用的利率等于 到 時間內(nèi)的遠(yuǎn)期利率，則： rf ttttt f ttedpud

11、 1f ttuepud這一假設(shè)并不會改變二叉樹圖的幾何形狀，改變的是上升和下降的概率，所以我們?nèi)匀豢梢韵笠郧耙粯訕?gòu)造出二叉樹圖，不同的是貼現(xiàn)時用2、波動率依賴于時間20.5 參數(shù)依賴于時間的情形參數(shù)依賴于時間的情形Monte Carlo: Based On Probability & Chance基本思路：由于大部分期權(quán)價值實際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回報(payoff)的期望值的貼現(xiàn)；因此，盡可能地模擬風(fēng)險中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價格的多種運動路徑，計算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價值。20.6 蒙特卡羅模擬法蒙特卡羅模擬法等價形式重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計算回

12、報值的平均值，重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計算回報值的平均值，折現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值折現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值（ 是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個隨機樣本）SdzSdtds假定在風(fēng)險世界中，標(biāo)的市場變量服從 ，為了模擬變量S的路徑，將期權(quán)期限分割成N個長度為 的小區(qū)間，其近似方程為： 實際中，對lns進行模擬結(jié)果更準(zhǔn)確。由伊藤引理，tttSttStSttS)()()()(dzdtsd)2(ln2因此，tttSttS)2()(ln)(ln2)2exp()()(2tttSttS1、當(dāng)回報僅僅取決于到期時 的最終價值時，可直接用一個大步（ ）（假設(shè)初始時刻為零時刻）來多次模擬最終的資產(chǎn)價格，得到期

13、權(quán)價值：S0T 2、當(dāng)回報依賴于多個市場變量時每次模擬運算中對每個變量的路徑都必須進行抽樣，從樣本路徑進行的每次模擬運算可以得出期權(quán)的終值。 的離散過程可以寫為：i（期權(quán)依賴于 個變量 ， 為 的波動率， 為 在風(fēng)險中性世界中的期望增長率， 為 和 之間的瞬間相關(guān)系數(shù)） iiiiiiitttmttstt n1iin isiimiikik)2exp()0()(2TTSTS20.6.1 20.6.1 多個標(biāo)的變量的情形多個標(biāo)的變量的情形 的產(chǎn)生：是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個隨機數(shù)。如果只有一個單變量，EXCEL中的指令=NORMSINV(RAND()用來產(chǎn)生一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機樣本。如果要產(chǎn)生n元聯(lián)

14、合正態(tài)分布的隨機抽樣，用喬里斯基分解。如果對衍生產(chǎn)品價格的估計值要求95的置信度，則期權(quán)價值應(yīng)（ 是進行運算的個數(shù)， 為均值， 是標(biāo)準(zhǔn)差）1.961.96fMMM20.6.2 20.6.2 由正態(tài)分布中抽樣由正態(tài)分布中抽樣20.6.3 20.6.3 模擬次數(shù)模擬次數(shù) 在每個節(jié)點，取01隨機數(shù)，隨機數(shù)P,選擇上升分支，否則，選擇下降分支。到達下個節(jié)點后，重復(fù)上述過程直到到達樹圖末端。（例20-9）fxff*fxx其中， 為標(biāo)的變量價格或參數(shù)， 為一般蒙特卡羅法計算的衍生產(chǎn)品價格， 為將 值增加 時計算出的衍生產(chǎn)品新價格。為減小標(biāo)準(zhǔn)誤差，計算這兩次衍生產(chǎn)品價格時，選用的時間區(qū)間個數(shù)N,選用的隨機樣

15、本、模擬運算的次數(shù)M都必須相同x20.6.5 20.6.5 計算希臘值計算希臘值20.6.4 20.6.4 通過樹形取樣通過樹形取樣主要優(yōu)點： 1. 可以給出估計值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，可以處理復(fù)雜的收益形式。 2. 可用于收益為變量所遵循的整個路徑的函數(shù)，而不只是變量最終值函數(shù)的情形。主要缺點：1. 只能為歐式期權(quán)定價，難以處理提前執(zhí)行的情形。2. 為了達到一定的精確度，一般需要大量的模擬運算。20.6.6 20.6.6 應(yīng)用應(yīng)用（一）對偶變量技術(shù)(antithetic variable technique)（二）控制變量技術(shù)(control variate technique)（三）重點抽樣法(im

16、portant sampling)（四）間隔抽樣法(stratified sampling)（五）矩匹配法(moment matching)（六）利用偽隨機數(shù)(quasi-random sequency)20.7 方差縮減程序方差縮減程序222212fffrSSrftSS轉(zhuǎn)化為一系列近似的差分方程，之后用迭代法求解，得到期權(quán)價值。20.8 有限差分法有限差分法有限差分方法的主要思想是：應(yīng)用有限差分方法將衍生證券所滿足的偏微分方程有限差分網(wǎng)格 的近似 對于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點 ，期權(quán)價值對資產(chǎn)價格的一階導(dǎo)數(shù)可以用三種差分來表示： 、 和 的近似 對于 點處的 ，我們則采取前向差分近似以使 時刻的值和

17、 時刻的值相關(guān)聯(lián)： 的近似 點 處的 的后向差分近似為 ，因此點處期權(quán)價值對標(biāo)的資產(chǎn)價格的二階差分為fS, i j,1,i ji jffS,1i ji jffS,1,12i ji jffSft, i jfti t1it1,iji jffftt22fS,1i j fS,1,i ji jffS,1,12,1,1,222i ji ji ji ji ji ji jfffffffSSfSSS1.下面介紹一下 、 和 的差分近似ftfS22fS20.8.1 20.8.1 隱式有限差分法隱式有限差分法1,.,2 , 1Mj把以上三個近似代入布萊克舒爾斯偏微分方程，整理得到：其中， ,1,11,ji jji

18、jji jija fb fc ff221122jarj tjt 221jbjtr t 221122jcrj tjt 0,1,.,1iN2.差分方程 時刻看跌期權(quán)的價值為 其中 當(dāng)股票價格為零時，下方邊界上所有格點的期權(quán)價值： 當(dāng)股票價格趨于無窮時 T,max,0N jTfXSTSj S 0,1,.,jM0S ,0ifX0,1,.,iN,0i Mf0,1,.,iN3.邊界條件聯(lián)立 個方程： 和 時， 時， 時，解出每個 的期權(quán)價值最后可以計算出 ，當(dāng) 等于初始資產(chǎn)價格時，該格點對應(yīng)的 就是我們要求的期權(quán)價值。 1M 1,11,1,1,jNjjNjjNjN ja fb fc ff1,.,1jM0j

19、 1,0NfXjM1,0NMf1,Njf0, jfj SNi ,max,0N jTfXS4.求解期權(quán)價值 隱式差分法可以理解為從格點圖內(nèi)部向外推知外部格點的期權(quán)價值。如圖所示：顯式有限差分法： 其中， 即直接從 時刻的三個相鄰格點的期權(quán)價值求出 時刻資產(chǎn)價格為 時的期權(quán)價值，可理解為從格點圖外部推知內(nèi)部格點期權(quán)價值的方法*,1,11,1,1i jjijjijjijfa fb fc f*22111122jarj tjtr t *22111jbjtr t *22111122jcrj tjtr t 1iti tj S20.8.2 20.8.2 顯式有限差分法顯式有限差分法1ZnS以lns為標(biāo)的變量代

20、替以s為標(biāo)的變量，定義 微分方程變?yōu)椋横槍設(shè)定等距離網(wǎng)格，隱式法中，微分方程變?yōu)?222122fffrqrftzz21,1,1,1,1,2,221222iji ji ji ji ji ji ji jfffffffrqrftzz即,1,11 ,jijjijjijijffff其中221jtrtz 222222jttrqzz 20.8.3 20.8.3 變量替換變量替換222222jttrqzz21,1,11,11,11,11,2,221222iji jijijijijiji jfffffffrqrftzz*1,11,1,1,jijjijjiji jffff2*2211222jttrqr tzz 顯示法中，差分方程為即其中*22111jtr tz 2*2211222jttrqr tzz 1.跳格法（hopscotch method）2.Crank-Nicolson法20.8.5 20.8.5 其