第15講平面向量的基本性質與運算

1、第第1515講講 平面向量的基本性質與運算平面向量的基本性質與運算 邗江區(qū)紅橋高級中學邗江區(qū)紅橋高級中學 魏躍軍魏躍軍課前診斷課前診斷題題1 1：已已知知平平面面向向量量a =(1,2)a =(1,2)， b =(-2,m)b =(-2,m)，且且a/ba/b，則則 2a+3b = _2a+3b = _點評：點評：向量共線的充要條件是什么？向量共線的充要條件是什么？（-4，-8） 變變式式：已已知知平平面面向向量量a =(1,2)a =(1,2)， b =(-2,m)b =(-2,m)，且且a ab b，則則 2a+3b = _2a+3b = _（-4，7） 向量坐標運算公式？向量坐標運算公式

2、？ 題題2 2、已已知知平平面面上上三三點點A A、B B、C C滿滿足足 AB = 3,BC = 4,AB = 3,BC = 4,CA = 5CA = 5，則則AB BC+BC CA+CA ABAB BC+BC CA+CA AB的的值值等等于于_1 1、憑借你的數(shù)感，、憑借你的數(shù)感，ABCABC的形狀如何的形狀如何 ？ 點評：點評：0AB BC A AB B B BC C2 2、向量的數(shù)量積的運算公式、向量的數(shù)量積的運算公式 ？ 坐標法坐標法 -25-25點評：點評： 3 3、有有下下列列四四個個命命題題：若若 a a = = b b ，則則a a = = b b或或a a = = - -b

3、 b；若若A AB B = = D DC C，則則A A，B B，C C，D D是是一一個個平平行行四四邊邊形形的的四四個個頂頂點點；若若a a = = b b, ,b b = = c c，則則a a = = c c；若若a a / / / /b b, ,b b / / / /c c，則則a a / / / /c c；其其中中真真命命題題的的序序號號為為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ a a 與與 a a 有有區(qū)區(qū)別別嗎嗎？結結果果如如何何？ AB = DCAB = DC是是A A，B B，C C，D D是是一一個個平平行行四四邊邊形形四四個個頂頂點點成成立立的的什什么么條條件件？該該問

4、問題題中中平平行行關關系系不不能能傳傳遞遞的的矛矛盾盾焦焦點點是是哪哪個個向向量量？點評：點評：4、如圖，在OAC中，B為AC的中點，若 ( ,)OCxOAyOB x yR 則 _.xy由于A,B,C三點共線，容易聯(lián)想到? OBuOAOC 能具體求出 x,y 的值嗎？ -3點評：點評： 5、5、OA = 1，OA = 1， -2 ，-2 ， OB = a,-1 ,OC = -b,0 ,a 0,b 0,O坐OB = a,-1 ,OC = -b,0 ,a 0,b 0,O坐原原若若A、A、B、B、C三C三共共，ab的ab的最最大大值值是是_._.設設為為標標點點點點線線則則問 ：處條條點點線線2在2

5、在向向量量件件下下的的A、A、B、B、C三C三共共你你如如何何理理？問：關鍵1 要1 要求求ab的ab的最最大大值值，是是？問問3 3：已知坐標的兩向量共線如何處理？：已知坐標的兩向量共線如何處理？ 例例1： 問題問題2 2：遇模平方是常用方法！遇模平方是常用方法！問題問題1 1：是先算：是先算 嗎？有無更好的運算嗎？有無更好的運算方法？方法？2bc(sincos,4cos4sin)bc問題問題3 3：向量：向量 對應的點的軌跡是什么？對應的點的軌跡是什么？從幾何角度考慮，會怎樣？從幾何角度考慮，會怎樣？bc例例2： 第第(1)(1)問問: :對照圖形對照圖形認真讀題認真讀題如何求向量的模？如

6、何求向量的模？思路思路1 1：平方：平方 思路思路2 2：坐標法：坐標法例例2： 第第(2)(2)問問對照圖形對照圖形認真讀題認真讀題1 1）對對于于以以O O為為圓圓心心的的圓圓弧弧A AB B上上的的動動點點C C怎怎么么處處理理？2 2AOC =AOC = 0, 0, 3 32 2）欲求含雙元變量）欲求含雙元變量x+yx+y的最大值，需要的最大值，需要尋求？尋求？例例2： 第第(2)(2)問問對照圖形對照圖形認真讀題認真讀題 3)如何將向量OA、 OB、 OC之間的關系OC = xOA+yOB轉化成變量x和y之間的關系？思路一：利用平面向量的數(shù)量積思路一：利用平面向量的數(shù)量積思路二：通過

7、坐標運算。思路二：通過坐標運算。例例2： 第第(2)(2)問問對照圖形對照圖形認真讀題認真讀題思路一：利用數(shù)量積思路一：利用數(shù)量積2201cos21+yOBcos 1202xyOC OAxOAyOB OAOC OBxOA OBxy 02 coscos 120 xy2cos3sin2sin(0,.63例例2： 第第(2)(2)問問對照圖形對照圖形認真讀題認真讀題思路二：通過坐標運算。思路二：通過坐標運算。如圖，建立直角坐標系，則如圖，建立直角坐標系，則 131,0 ,22ABAOC設點設點 C cos,sinOCxOAyOB 1cos23sin2xyy13322xyxyyAABAC= DE+ A

8、P+_. 【變式】如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以為 圓心、為半徑的圓弧上的任意一點，設向量，則的最小值為【點評【點評】向量具有代數(shù)和幾何形式的雙重身份，解向量具有代數(shù)和幾何形式的雙重身份，解題中通常利用坐標或平面向量的數(shù)量積將問題中通常利用坐標或平面向量的數(shù)量積將問題代數(shù)化是我們常用的一種處理手段。題代數(shù)化是我們常用的一種處理手段。通過把問題轉化為求三角函數(shù)的值、最值通過把問題轉化為求三角函數(shù)的值、最值或研究三角函數(shù)的性質等問題是高考中的?；蜓芯咳呛瘮?shù)的性質等問題是高考中的常見題型。見題型。例例3： 第第(1)(1)問問對照圖形對照圖形認真讀題認真讀題問題問題1 1：如何證

9、明一個四邊形為梯形？：如何證明一個四邊形為梯形？問題問題2 2：用向量的方法證明線線平行：用向量的方法證明線線平行的途徑？的途徑？問題問題3 3：根據(jù)已知條件如何證明：根據(jù)已知條件如何證明?ABPQ ？例例3： 第第(1)(1)問問對照圖形對照圖形認真讀題認真讀題問題問題3 3：根據(jù)已知條件如何證明：根據(jù)已知條件如何證明?ABPQ 思路思路1 1、基底法：基底法： 1 1）你選擇哪兩個向量為基地？為什么？）你選擇哪兩個向量為基地？為什么？ 2 2）你你能能用用選選擇擇的的基基地地線線性性表表示示 A AB B 、 P PQ Q嗎嗎？ 3 3）如如何何說說明明A AB BP PQ Q ，并并進進

10、而而證證明明四四邊邊形形A AB BC CD D為為梯梯形形？例例3： 第第(1)(1)問問對照圖形對照圖形認真讀題認真讀題問題問題3 3：根據(jù)已知條件如何證明：根據(jù)已知條件如何證明?ABPQ 思路思路2 2、坐標法：坐標法： 當當標標標標線線條條證證證證 建 建立立適適的的坐坐系系，利利用用坐坐下下向向量量共共的的件件明明ABABPQ，PQ，利利用用向向量量的的模模明明ABABPQ。PQ。例例3： 第第(2)(2)問問對照圖形對照圖形認真讀題認真讀題1 1）梯形的面積公式？本題已知哪些基本量，）梯形的面積公式？本題已知哪些基本量，還需要求哪個量？還需要求哪個量？ 2 2）你能挖掘已知條件求得

11、該梯形的高嗎？）你能挖掘已知條件求得該梯形的高嗎？ M MQPCAM22AM=AC55ABCAB 延長交于點，由平行四邊形法則（或三角形法則）得，故梯形的高為正的邊上高的 。1 1、由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何、由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質，如長度、夾角（垂背景，平面幾何的許多性質，如長度、夾角（垂直）、平行等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表直）、平行等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。的一些問題。2 2、用向量方法解決平面幾何問題的、用向量

12、方法解決平面幾何問題的“三步曲三步曲”：1 1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；2 2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；夾角等問題；3 3）把運算結果）把運算結果“翻譯翻譯”成幾何元素。成幾何元素?！军c評【點評】解題反思解題反思 向量具有代數(shù)和幾何形式的雙重身份，要向量具有代數(shù)和幾何形式的雙重身份，要注意樹立數(shù)形轉化和結合的觀點，以數(shù)代形，注意樹立數(shù)形轉化和結合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關