【數(shù)學(xué)】湖南省2020屆高三上學(xué)期期末統(tǒng)測數(shù)學(xué)(理)試題

1、湖南省2020屆高三上學(xué)期期末統(tǒng)測數(shù)學(xué)(理)試題一、單選題1 .設(shè)集合 A x|y JTW, B x|1 x 9,則(eRA)IB()A. (1,3)B, (3,9)C. 3,9D.【答案】A【解析】求函數(shù)定義域求得集合 A,由此求得 eraB.【詳解】因為 A x|x 3,所以 erAB (1,3).故選：A【點睛】本小題主要考查集合交集、補集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題 5i2 .已知復(fù)數(shù)z 5i ,則|z| ()2 iA.近B. 572C. 372D. 2亞【答案】B【解析】利用復(fù)數(shù)除法、加法運算，化簡求得，再求得 z【詳解】z 2 5i 5i(2 i) 5i 1 7i,故 |z| &quo

2、t;( 1)2 72 5后.2 i5故選：B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算、加法運算，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.13 .設(shè)城，b log!2,c12 ,則()a33c3A. b a cB. c b aD. c a b【答案】C【解析】利用0,1分段法”比較出a,b,c三者的大小關(guān)系.【詳解】1因為 a 33 1, b logi2 0，0c 121,所以 bca.故選：C【點睛】本小題主要考查指數(shù)、對數(shù)比較大小，屬于基礎(chǔ)題_24 .函數(shù)f （x） cos X 的取小正周期為（）3A. -B. 2【答案】DC. 一D.【解析】利用降次公式化簡 f X表達式，再由此求得最小正周期因為 f(x)

3、 cos2 X - 3cos2x 2321cos 2x 2231 ,所以最小正周期為2故選：D【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)降次公式，考查三角函數(shù)最小正周期的求法，屬于基礎(chǔ)題5 .左手?jǐn)S一粒骰子，右手?jǐn)S一枚硬幣，則事件 骰子向上為6點且硬幣向上為正面”的概率為（）A. 1B. C. 1D. 16 1232【答案】B【解析】根據(jù)相互獨立事件概率計算公式，計算出所求概率骰子向上為6點的概率為1,硬幣向上為正面的概率為 工，故所求事件的概率為 11. 626 212故選：B【點睛】本小題主要考查相互獨立事件概率計算，屬于基礎(chǔ)題6 .設(shè)m,n,l為三條不同的直線，a,為兩個不同的平面，則下面結(jié)論正確的

4、是()A.若 m, n,/ ，則 m/nB.若 m/,n/,m n,則C.若 m,n, ，則m nD.m/,n/,l m,l n,則 l【答案】C【解析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系，對選項逐一分析，由此確定結(jié)論正確的選項A選項中，m,n可能異面；B選項中，也可能平行或相交；D選項中，只有 m,n相交才可推出l .C選項可以理解為兩個相互垂直的平面，它們的法向量相互垂直 .故選：C【點睛】本小題主要考查線線、線面和面面位置關(guān)系命題真假性判斷，屬于基礎(chǔ)題7 .若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S ()A. 31n2B. 2ln3C. ln7D. ln10【答案】A【解析】根據(jù)程序框圖運行所計算的

5、S的表達式，結(jié)合對數(shù)運算，求得輸出的S的值.【詳解】 運行程序框圖中的程序，可得_23482348S ln - ln ln L ln lnL ln8 3ln 2.12371 2 37故選：A【點睛】本小題主要考查根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖計算輸出結(jié)果，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題8,已知函數(shù) f(x) 3|xa| 2,且滿足 f(5 x) f(3 x),則 f(6)()A. 29B.5C.3D. 11【答案】D【解析】根據(jù)f (5 x) f (3 x)求得f x的對稱軸，也即求得 a的值，從而求得f 6的值.【詳解】因為f(5 x) f (3 x),所以f(x)的圖象關(guān)于x 4對稱，所以a 4, f (

6、6) 36 4 2 1 1 .故選：D【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的對稱性，考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題29 .已知拋物線C:y12x的焦點為F, A為C上一點且在第一象限，以 F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交C的準(zhǔn)線于B, D兩點，且A,F,B三點共線，則|AF |()A. 16B. 10C. 12D. 8【答案】C【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義，根據(jù) F到準(zhǔn)線的距離，求得AF .【詳解】因為A,F,B三點共線，所以AB為 圓F的直徑，AD BD.由拋物線 定義知11AD| 2|EF| |AF| 11ABi'所 以 ABD 30 .因為F到準(zhǔn)線的距離為6,所以|AF | |B

7、F | 2 6 12.故選：C本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.10 .已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x 0時，f(x) xlnx 1 ,則曲線y f (x)在x 1處的切線方程為()A. y xb. y x 2 C. y xD. y x 2【答案】A【解析】首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求得當(dāng) x 0時，f x的解析式，然后求得切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得斜率，從而求得切線方程.【詳解】因為 x 0, f(x) f( x) xln( x) 1, f( 1) 1, f (x) ln( x) 1, f ( 1)1,所以曲線y f(x)在x1處的切線方

8、程為y 1 x 1 ,即y x.故選：A【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題11 .南宋數(shù)學(xué)家楊輝在詳解九章算法和算法通變本末中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為垛積術(shù)”現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前 7項分別為1, 4, 8, 14, 23, 36, 54,則該數(shù)列的第19項為()(注：.2 92 .22 n(n 1)(2n 1)123 l n6A. 1624B. 1024C. 1198D, 1560【答案】B【解析】根

9、據(jù)高階等差數(shù)列的定義，求得等差數(shù)列Cn的通項公式和前n項和，利用累加法求得數(shù)列an的通項公式，進而求得 a19.【詳解】 依題意an： 1, 4, 8, 14, 23, 36, 54,兩兩作差得bn： 3, 4, 6, 9, 13, 18,兩兩作差得cn： 1, 2, 3, 4, 5,設(shè)該數(shù)列為an，令bnan 1 an,設(shè)bn的前n項和為Bn,又令gbn 1bn ,設(shè)Cn的前n項和為Cn .23 n(n J)* 1n 3,22222易 Cnn, cnn nn n,進而得bn 13 Cn 3 ,所以bn22則 Bnn(n 1)(n 1) 3n ,所以 an 1 1 Bn ,所以 a19 102

10、4 .6故選：B本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用,考查累加法求數(shù)列的通項公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12.在三棱錐 D ABC 中，AB BC CD DA 1,且 AB BC,CD DA,M ,N 分別是棱BC , CD的中點，下面四個結(jié)論: AC BD ；MN 平面ABD ;三棱錐A CMN的體積的最大值為J2；12AD與BC 一定不垂直.其中所有正確命題的序號是（）D.A.B.C.【解析】通過證明AC 平面OBD,證得ACBD ；通過證明MN /BD ,證得MN /平面ABD；求得三棱錐 A CMN體積的最大值，由此判斷的正確性；利用反證法證得 AD與BC定不垂直【

11、詳解】設(shè)AC的中點為。，連接OB,OD,則AC OB, AC OD ,又OBI OD O,所以AC 平面OBD,所以AC BD , 故正確；因為 MN /BD ,所以MN /平面ABD ,故正確；當(dāng)平面DAC與平面ABC垂直時，Vacmn最大，最大值為VA CMN VN ACM ，故錯誤；若 AD 與3 4448BC垂直，又因為 AB BC ,所以BC，平面ABD ,所以BC BD ,又BD AC ,所以BD 平面ABC ,所以BD OB ,因為OB OD ,所以顯然BD與OB不可能垂直，故 正確.故選：D【點睛】本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關(guān)命題真假性的判斷，考查空間想

12、象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題 .二、填空題13 .已知數(shù)列 an是等比數(shù)列，ai 1島 36,則a? .【答案】6【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式，首先求得q,然后求得a2.【詳解】2設(shè)an的公比為q,由ai 1,a3 36 ,得q 36,q6 ,故a?6 .故答案為：6【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題rrr r14 .已知向量a (4, 3),b ( 1,2), a, b的夾角為 ，則sin 【解析】利用兩個向量夾角計算公式,求得cos的值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得sin的值.【詳解】10一”,sin.1 cos25.555r r a b依題意 0,九

13、,所以cos-r一|a|b|故答案為：立5【點睛】 本小題主要考查向量夾角的坐標(biāo)運算，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題31 815 . (2x-)展開式中常數(shù)項為 .【答案】112【解析】求得二項展開式的通項，令3(8 r) r 0 ,解得r 6,代入即可得到展開式的常數(shù)項.【詳解】i-4-t-'TffTEESTT4 at、ts TH?、/,-i-r- r3、8 r , 1、rr- r c8 r / .、 3(8 r) r由題思，一項展開式的通項為Tr 1C8(2x ) ( )C82 ( 1) x (,x令3(8 r) r 0 ,解得r 6 ,所以常數(shù)項為T7 C：28 6(

14、1)6 1 12 .【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項展開式的通項是解答的關(guān)鍵，著重考查了 推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.2x16.雙曲線二222yxy臺1 a20,b20與橢圓臺b2a1b11 a1b10有相同的焦點，且左、右焦PF1F2,且橢圓與雙曲線的點分別為F1，F(xiàn)2,它們在第一象限的交點為P,若sin F1PF2 2sin離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的離心率為【解析】利用正弦定理求得 F1F2 2 PF2,利用橢圓和雙曲線的定義求得ei e2 1列方程，并轉(zhuǎn)化為含有雙曲線離心率e2的方程，由此求得雙曲線的離心率設(shè)橢圓的離心率為e,雙曲線的離心率為 e,PF2F1F

15、2F1F2 2c ,由正弦定理得sin PF1 F2sinF1PF2sin F1PF2 2sin PF1F2,響 2 PF2 pf2c.PF1PF22a1PF1PF22a2,PF12a1 c 2a2c, 0a2c.又a1 a2a2 ca22a2a2c ,兩邊除以a；并化簡得e故答案為:本小題主要考查橢圓和雙曲線的定義,考查雙曲線離心率的求法，考查正弦定理進行邊角互化，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題 三、解答題17.在 ABC 中，a,b, c 分別是角 A, B,C 的對邊，且(3a c)cos B bcosC 0.(1)求 sin B ；(2)若a 1,b 2收求 ABC的面積.【

16、答案】(1) sin B2、27,2【解析】(1)利用正弦定理化簡已知條件，求得cosB的值，進而求得sinB的值.(2)利用余弦定理列方程，由此求得c,再利用三角形的面積公式求得三角形ABC的面積.【詳解】(1)因為 (3a c)cos B bcosC 0,所以 3sin AcosB sinCcosB sin BcosC 0所以 3sin AcosB (sin BcosC sinCcosB) sin A.1因為sin A 0 ,所以cosB = ,所以sin B 3一。 o oo o 2(2)由余弦te理得 b a c 2accosB a cac.3因為 a 1,b 2J2,所以 c2 2c

17、 7 0,即 3c2 2c 21 (c 3)(3c 7) 0, 3所以c 7.3所以ABC的面積為1acsinB , 1 L返迤 22339【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題18.如圖，ABCD是正方形，點P在以BC為直徑的半圓弧上 (P不與B , C重合)，E為線段BC 的中點，現(xiàn)將正方形 ABCD沿BC折起，使得平面 ABCD 平面BCP .(1)證明：BP 平面DCP.(2)三棱錐D BPC的體積最大時，求二面角 B PD E的余弦值.a-15【答案】(1)見解析(2)二55【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理證得 CD 平面BPC ,由此

18、證得DC BP,根據(jù)圓的幾何 性質(zhì)證得BP PC ,由此證得BP 平面DCP.(2)判斷出三棱錐 D BPC的體積最大時P點的位置.建立空間直角坐標(biāo)系，通過平面 BPD和平 面EPD的法向量，計算出二面角 B PD E的余弦值.【詳解】(1)證明：因為平面 ABCD 平面BPC, ABCD是正方形,所以DC 平面BPC .因為BP 平面BPC ,所以DCBP.因為點P在以BC為直徑的半圓弧上，所以BP PC.又DC PC C ,所以BP 平面DCP .(2)解：顯然，當(dāng)點 P位于BC的中點時,BCP的面積最大，三棱錐D BPC的體積也最大.不妨設(shè)BC 2,記AD中點為G ,uut uuu UU

19、Ur以E為原點，分別以 EB, EP, EG的方向為x軸、y軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E xyz,則 E(0,0,0), B(1,0,0), D( 1,0,2), P(0,1,0),uuruuurBD ( 2,0,2), ED (uuur1,0,2), PD ( 1, 1,2)r設(shè)平面BDP的法向量為mULUV rBD m 則 ULUV rPD m2xi 2zi 0,X1y12zi令X11 ,得0,設(shè)平面DEP的法向量為X2,y2,Z2 ,ULUV r w ED n 則 ULUT rPS nX2X2所以 cos m, nr2z20,y2 2Z2令X20,2,得n(2,0,1)

20、由圖可知，二面角B PD.155、3 .5E為銳角,155故二面角B PD E的余弦值為B本小題主要考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.由于某些地區(qū)仍然存在封建傳統(tǒng)思想，頭胎的男女情況可能200戶家庭進行調(diào)查統(tǒng)計.這200戶家庭中，頭胎為女孩的頻19.生男生女都一樣，女兒也是傳后人 會影響生二孩的意愿，現(xiàn)隨機抽取某地60.率為0.5,生二孩的頻率為0.525,其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數(shù)為(1)完成下列2 2列聯(lián)表，并判斷能否有 95%的把握認(rèn)為是否生二孩與頭胎的男女情況有關(guān);生二孩不生二孩合計頭胎為女孩60頭胎為男孩合計200(2)在抽取的20

21、0戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶，進一步了解情況，在抽取的7戶中再隨機抽取4戶，求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望附：P K2 k0.150.050.010.001k2.0723.8416.63510.828K2 （a 坊霽（：7）9 d）（其中 n a b c d）.(2)分布列見解析,【答案】(1)見解析，有95%的把握認(rèn)為是否生二孩與頭胎的男女情況有關(guān)EX167【解析】(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，計算并填寫出2 2列聯(lián)表，計算出 K2的值，由此判斷出有 95%的把握認(rèn)為是否生二孩與頭胎的男女情況有關(guān)(2)利用超幾何分布分布列和數(shù)學(xué)期望計算公式，計算

22、出所求X的分布列及數(shù)學(xué)期望【詳解】(1)因為頭胎為女孩的頻率為0.5,所以頭胎為女孩的總戶數(shù)為200 0.5 100.因為生二孩的概率為 0.525,所以生二孩的總戶數(shù)為200 0.525 105.2 2列聯(lián)表如下:生二孩不生二孩合計頭胎為女孩6040100頭胎為男孩455510合計105952002200(60 55 45 40)2600K3.841 )105 95 100 100133故有95%的把握認(rèn)為是否生二孩與頭胎的男女情況有關(guān)7戶，則這7戶(2)在抽取的200戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了家庭中,頭胎生女孩的戶數(shù)為4,頭胎生男孩的戶數(shù)為3,則X的可能取值為

23、1, 2, 3, 4.P(Xi)c4 C3C4435'P(X2)C2 C2C41835；P(X3)C3 C3C41235 ；P(X4)CC4135418EX 1 2 3535c12,1163一4一一35357X的分布列為X1234P43518351235135【點睛】 本小題主要考查2 2列聯(lián)表獨立性檢驗，考查超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的計算，屬于基礎(chǔ)題2220.已知冗下2分別為橢圓C:人-y- 1的左、右焦點，MN為該橢圓的一條垂直于 x軸的動弦， 43直線m:x 4與x軸交于點A ,直線MF2與直線AN的交點為B.(1)證明：點B恒在橢圓C上.(2)設(shè)直線n與橢圓C只有一個公共點

24、 P，直線n與直線m相交于點Q，在平面內(nèi)是否存在定點 T ,使得 PTQ 恒成立？若存在，求出該點坐標(biāo)；若不存在，說明理由2【答案】(1)見解析(2)存在，T(1,0)【解析】(1)根據(jù)題意求得 F2,A的坐標(biāo)，設(shè)出 M,N的坐標(biāo)，求得直線 MF2, AN的方程，由此求得B的坐標(biāo)，代入橢圓方程的左邊，化簡后得到1,由此判斷出B恒在橢圓C上.(2)首先判斷直線n的斜率是否存在.然后當(dāng)直線n斜率存在時，設(shè)出直線n的方程y kx b ,判斷出T的位置并設(shè)出T的坐標(biāo).聯(lián)立直線n的方程和橢圓方程，化簡后利用判別式等于零求得 k,b的關(guān)urnTQ0列方程，結(jié)合等式恒一一uur系式，進而求得P的坐標(biāo)，結(jié)合

25、Q點坐標(biāo)以及PTQ ,利用TP2成立求得T的坐標(biāo).【詳解】2(1)證明：由題意知 F2(1,0), A(4,0),設(shè) M (s,t), N(s, t),則顯44)直線MF2的方程為y (x 1),直線AN的方程為y L(x s 1s 4聯(lián)立可得xB 5s8, yB即B的坐標(biāo)為 5s8L-2s 5 2s 52s 5 2s 5222222因為組近(5s 8)12t(5s 8)36 9s 1434(2s 5)24(2 s 5)2'所以B點恒在橢圓C上.(2)解：當(dāng)直線n的斜率不存在時，不符合題意 .不妨設(shè)直線n的方程為y kx b,由對稱性可知，若平面內(nèi)存在定點T ,使得 PTQ 一恒成立，

26、則T 一定在x軸上，故設(shè)T Xo,0 ,2y kx b,由x2v2可得4k23x28kbx4b212 0.-1,43因為直線n與橢圓C只有一個公共點，所以64k2b2 4 4k2 3 4b2 1248 4k2 b2 3 0,4k3所以 xP, yP kxP b -.bb又因為 Q(4,4k b), PTQuir uuu 一,所以TP TQ 24k 3xo, 7 b4 x0,4k b0,日口4k /3(4k b)八即 x0 x0 4 0bb所以x2 4x0 3 k 4x0 40對于任意的滿足4k2 b2 3 0的k,b恒成立,b4x0 4 0,所以20, 解得 i.x2 4x0 3 0,故在平面

27、內(nèi)存在定點 T (1,0),使得PTQ二恒成立.2本小題主要考查直線與直線交點坐標(biāo)，考查點與橢圓的位置關(guān)系，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查恒成立問題的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題，、，-a21.已知函數(shù)f(x)lnx12ax有兩個不同的極值點為8.x(1)求a的取值范圍.(2)求f(x)的極大值與極小值之和的取值范圍 .411(3)若m 0,- ,n -, ，則f(m) f (n)是否有最小值？若有,求出最小值；若沒有，說22明理由.1【答案】(1) 0 a (2) (, 2ln 2 1)(3)f(m) f(n)沒有最小值.見解析4【解析】(1)先求得函數(shù)f

28、 x的定義域和導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合一元二次方程根的分布求得a的取值范圍(2)根據(jù)(1)求得X1X2 a,Xi X2 1 ,求得f X1f X2的表達式，并利用導(dǎo)數(shù)求得這個表達式的取值范圍.(3)由(2)假設(shè)f(x)極小值fX1, f(x)極大值 fX2, 則f(m)f(n)minfX1f X2 ,由此判斷出這個表達式?jīng)]有最f X2的表達式，并利用導(dǎo)數(shù)研究這個表達式的單調(diào)性,小值，也即f(m) f(n)沒有最小值.2(1) f X定義域為0,x x a2X因為f (X)有兩個不同的極值點X1, X2 ,且4a所以x2 x a0有兩個不同的正根,X1X2(2)因為 X1X2a, X1X2X1X20, 0解

29、得01 ,不妨設(shè)X1所以f (x)極小值x1 , f (X)極大值f X2所以f(x)極小值f (x)極大值f X1f X2In X1X22(12a)a X1 x2 X1X2X1X2Ina 2 4a.令(a) In a 4a 2 ,則1(a) 一 a,1% 所以(a)在0,-上單調(diào)遞增，所以4(a)2ln 2即f (x)的極大值與極小值之和的取值范圍是1).(3)由(2)知 X1X2 a,X1 X2.因為0，i12,X2 ，所以 f(m)min f % ,f(n)maxX2所以f(m) f(n)minf X1X2InX1X2X2X1axX1X1X2 ,1 x2 八八，因為 Xi 1 X2,所以

30、f(m) f (n) min In 2 2x2 1X21In 1 x2 In x2 4x2 2 x2 1 _1令 h(x) ln(1 x) In x 4x 2 -2,11x 1 ，則 h (x)4x 1 x(2x 1)2x(x 1)0,1所以h(x)在2，1上單倜遞減，h(x)無最小值, 故f(m) f(n)沒有最小值本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查化歸與轉(zhuǎn)1cos ,2 口，-( 是參數(shù))，以原點為極點,1 .sin2化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力，屬于難題x22 .在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是yx軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)在曲線C上取一點M，直線OM繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)一，