2020年上海市交大附中高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷

1、高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷題號一一二總分得分、選擇題（本大題共 4小題，共12.0分）1 .已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）C. 2、2兀D. 42 兀第18頁，共16頁2.如圖，在大小為45。的二面角A-EF-D中，四邊形ABFE與CDEF都是邊長為1的正方形，則B與D兩點(diǎn)間的距離是（ ）A.B. 'C.1D.3.算數(shù)書竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高 乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)

2、,計(jì)算其體積V兀近似取為3,那么,的近似公式V-'（L2h,它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似公式V L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的兀近似取為（A.25B.可)D.；4.在正方體ABCD-A' B，C' D'中，若點(diǎn)P （異于點(diǎn)B）是棱上一點(diǎn)，則滿足 BP與AC'所成的角為45。的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（ ）A. 0B. 3C.4D. 6、填空題（本大題共 12小題，共36.0分）5.如果一條直線與兩條直線都相交，這三條直線共可確定 個(gè)平面.6.7.8.已知球的體積為36原則該球主視圖的面積等于 若正三棱柱的所有棱長均為 a,且其體積為16“耳，則 如圖，以長

3、方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn), 過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸， 建立空間直角坐標(biāo)系，若口藥的坐標(biāo)為（4, 3, 2）,則網(wǎng):.的坐標(biāo)是 9.若圓錐的側(cè)面積是底面積的角函數(shù)值表示）.3倍，則其母線與底面角的大小為 （結(jié)果用反三10.11.12.13.14.15.16.已知圓柱的母線長為1,底面半徑為r,。是上底面圓心，A, B 是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)， BC是母線，如圖，若直線 OA與BC所成角的大小為則=.已知“BC三個(gè)頂點(diǎn)到平面”的距離分別是3, 3, 6,則其重心到平 面a的距離為 （寫出所有可能值）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,若動(dòng)點(diǎn)17.P在線段

4、BD1上運(yùn)動(dòng)，則用“神的取值范圍是.如圖所示，在邊長為 4的正方形紙片 ABCD中，AC與BD 相交于。，剪去AAOB,將剩余部分沿 OC、OD折疊，使 OA、OB重合，則以A、 （B）、C、D、。為頂點(diǎn)的四面體 的體積為.某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個(gè)三角形均為直角三角 形，則3x+4y的最大值為 已知A、B、C、P為半徑為R的球面上的四點(diǎn)，其中 AB、AC、BC間的球面距離分別為余、前、物，若其中O為球心，則x+y+z的最大值是如圖，在四面體 ABCD中，E, F分別為AB, CD的中點(diǎn)， 過EF任作一個(gè)平面a分別與直線BC, AD相交于點(diǎn)G, H,則下列結(jié)論正確的是 .對于任意的平面

5、%都有直線GF, EH, BD相交于同一八、,存在一個(gè)平面 町 使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段 AD的延長線上；對于任意的平面 a,都有Szefg=Saefh；對于任意的平面 當(dāng)G, H在線段BC, AD上時(shí)，幾何體 AC-EGFH的體積是 一個(gè)定值.解答題（本大題共 5小題，共60.0分）現(xiàn)在四個(gè)正四棱柱形容器，1號容器的底面邊長是 a,高是b; 2號容器的底面邊長 是b,高是a； 3號容器的底面邊長是 a,高是a； 4號容器的底面邊長是 b,高是b.假 設(shè)a巾，問是否存在一種必勝的 4選2的方案（與a、b的大小無關(guān)），使選中的兩 個(gè)容器的容積之和大于余下的兩個(gè)容器的容積之和？無論是否存在

6、必勝的方案，都要說明理由18.19.如圖，已知圓錐底面半徑r=20cm,。為底面圓圓心，點(diǎn)Q為半圓弧 二的中點(diǎn)，點(diǎn)P為母線SA的中點(diǎn)，PQ與SO所成的角為arctan2,求：(1)圓錐的側(cè)面積；(2) P, Q兩點(diǎn)在圓錐側(cè)面上的最短距離.如圖，在四棱錐 PABCD中，PA1B面ABCD, /DAB為直角，AB CD , AD=CD = 2AB = 2PA = 2, E、F 分別為 PC、CD 的中點(diǎn).(1)試證：CD!?F面 BEF;(2)求BC與平面BEF所成角的大小;(3)求三棱錐PDBE的體積.20 .如圖，P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐，D、E、F 分別為棱長 PA、PB、PC上的

7、點(diǎn)，截面DEF /底面ABC, 且棱臺DEF -ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等（棱長和是指多面體中所有棱的長度之和）.（1）證明：P-ABC為正四面體；（2）若尸。二:尸力求二面角D-BC-A的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（3）設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V,是否存在體積為 V且各棱長均相等的直平行六面體，使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和？若存在，請具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體，并給出證明；若不存在，請說明理由（注：用平行于底的截面截棱錐，該截面與底面之間的部分稱為棱臺，本題中棱臺的體積等于棱錐P-ABC的體積減去棱錐P-DEF的體積）.21 .火電廠、核電站的循環(huán)水自然通

8、風(fēng)冷卻塔是一種大型薄殼型建筑物.建在水源不十分充分的地區(qū)的電廠，為了節(jié)約用水，需建造一個(gè)循環(huán)冷卻水系統(tǒng)，以使得冷卻器 中排出的熱水在其中冷卻后可重復(fù)使用，大型電廠采用的冷卻構(gòu)筑物多為雙曲線型冷卻塔.此類冷卻塔多用于內(nèi)陸缺水電站，其高度一般為75150米，底邊直徑65120米.雙曲線型冷卻塔比水池式冷卻構(gòu)筑物占地面積小，布置緊湊，水量損 失小，且冷卻效果不受風(fēng)力影響；它比機(jī)力通風(fēng)冷卻塔維護(hù)簡便，節(jié)約電能；但體 形高大，施工復(fù)雜，造價(jià)較高（以上知識來自百度，下面題設(shè)條件只是為了適合高 中知識水平，其中不符合實(shí)際處請忽略.圖 1）（1）圖2為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖（忽略壁厚），

9、其底 面直徑大于上底直徑.已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100m,俯視圖為三個(gè)同心圓，其半徑分別為40m, 呼m, 30m,試根據(jù)上述尺寸計(jì)算主視圖中該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（ m為長度單位米）.（2）試?yán)谜n本中推導(dǎo)球體積的方法，利用圓柱和一個(gè)倒放的圓錐，計(jì)算封閉曲線：1, y=0, y=h,繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 （用a, b, hit fr表示）（用積分計(jì)算不得分，圖3、圖4）現(xiàn)已知雙曲線冷卻塔是一個(gè)薄殼結(jié)構(gòu)，為計(jì)算方便設(shè)其內(nèi)壁所在曲線也為雙曲線， 其壁最厚為0.4m （底部），最薄處厚度為 0.3m （喉部，即左右頂點(diǎn)處）.試計(jì)算該冷卻塔內(nèi)殼所在的 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

10、是 ,并計(jì)算本題中的雙曲線冷卻塔的建筑體積（內(nèi)外殼之間）大約是 m3 （計(jì)算時(shí)兀取 3.14159,保留到個(gè)位即可）（3）冷卻塔體型巨大，造價(jià)相應(yīng)高昂，本題只考慮地面以上部分的施工費(fèi)用（建 筑人工和輔助機(jī)械）的計(jì)算，鋼筋土石等建筑材料費(fèi)用和和其它設(shè)備等施工費(fèi)用不在本題計(jì)算范圍內(nèi).超高建筑的施工（含人工輔助機(jī)械等）費(fèi)用隨著高度的增加而增加.現(xiàn)已知：距離地面高度30米（含30米）內(nèi)的建筑，每立方米的施工費(fèi)用平均為：400元/立方米；30米至IJ 40米（含40米）每立方米的施工費(fèi)用為800元/立方米；40米以上，平均高度每增加 1米，每立方米的施工 費(fèi)用增加100元.試計(jì)算建造本題中冷卻塔的施工費(fèi)

11、用（精確到萬元）答案和解析1 .【答案】B【解析】解：如圖為等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的 旋轉(zhuǎn)體.V=2 X：S?h=2 乂 jR2?h =2%兀><（,2） 2逸2=與二故選：B.畫出圖形，根據(jù)圓錐的體積公式直接計(jì)算即可.本題考查圓錐的體積公式，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.是基礎(chǔ)題.2 .【答案】D【解析】 解：.四邊形ABFE與CDEF都是邊長為1的正方形，.端環(huán)品.加=0, 又大小為 45° 的二面角 A-EF-D 中，二工？：=1><1><8$ （180°-45°）=乃.用廣麗+譚+第而）=阮* +/工+帚+2航岳+2而儲

12、+2焉麗=3-g，。3=-，3一m.故選：D.由。=加+加+.，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)展開即可得出本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量的多邊形法則、空間角，考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.1的正方形，則 B與C兩點(diǎn)間的距離是（）改為則B與D兩點(diǎn)間的距離是（? ? ? ?3 .【答案】B【解析】 解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為 r,高為h,則L=2兀r,12,2 /C 、2/r'=而（2 4） h,2S，兀7 故選：B.根據(jù)近似公式 V- L2h,建立方程，即可求得結(jié)論.本題考查圓錐體積公式，考查學(xué)生的閱讀理解能力，屬于基礎(chǔ)題.4 .【答案】B 【解析】 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)棱

13、長(1, 1, 1)在RtAA' C中,tan"A' C=r=j2,因此AA | /AA' CW45.°同理A' B' , A' D'與A' C所成的角都為arctan便 H 45 .故當(dāng)點(diǎn)P位于(分別與上述棱平行)棱 BB' , BA, BC 上時(shí)，與A' C所成的角都為arctan泛H 45 °,不滿足條 件；AB=1 , B (1 , 0, 1) , C若滿足BP與AC'所成的角為45,則9=|°sv顯r、河口AC>UPiMei干“，化為當(dāng)點(diǎn)P位于棱AD上

14、時(shí)，設(shè)P (0, y, 1) , (0<1), 則/=(-1, y,。)，77=(1，1 , 1).y2+4y+1=0,無正數(shù)解，舍去；同理，當(dāng)點(diǎn)P位于棱B' C上時(shí)，也不符合條件；當(dāng)點(diǎn)P位于棱A' D'上時(shí)，設(shè)P (0, y, 0) , ( Oqwi),則印=(-1, y, -1) , 7=(1,1,1) y2+8y-2=0,若滿足BP與AC'所成的角為45。,三三、1->1 I.0<1,解得y=3-4,滿足條件，此時(shí)點(diǎn) P9 3陋-4, 0).同理可求得棱 A' B'上一點(diǎn)P出f 0, 0),棱A' A上一點(diǎn)P。，0

15、,、”一 1) 而其它棱上沒有滿足條件的點(diǎn)P.綜上可知：滿足條件的點(diǎn)P有且只有3個(gè).故選：B.通過建立空間直角坐標(biāo)系，通過分類討論利用異面直線的方向向量所成的夾角即可找出所有滿足條件的點(diǎn) P的個(gè)數(shù).熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系，通過分類討論利用異面直線的方向向量所成的夾角得到異面直線所成的角是解題的關(guān)鍵.5 .【答案】1或2或3【解析】解：如果三條直線都交于一點(diǎn)， 且三線不共面，則每兩條直線都確定一個(gè)平面，共確定3個(gè)平面；如果三條直線兩兩相交，交于不同的三點(diǎn)，則只確定1個(gè)平面；如果兩條直線異面，另一條與其均相交，則只確定2個(gè)平面；如果兩條直線平行，另一條與其均相交，則只確定1個(gè)平面.綜上，這

16、三條直線共可確定 1或2或3個(gè)平面.故答案為：1或2或3.討論這兩條直線的位置情況，從而得出三條直線所確定的平面數(shù).本題考查了由直線確定平面的應(yīng)用問題，是平面的基本性質(zhì)與推論的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.6 .【答案】9兀【解析】解：球的體積為36兀， 設(shè)球的半徑為R,可得口底=365 可得R=3,該球主視圖為半徑為 3的圓，可得面積為成2=9兀.故答案為：9兀.由球的體積公式，可得半徑 R=3,再由主視圖為圓，可得面積.本題考查球的體積公式，以及主視圖的形狀和面積求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7 .【答案】4【解析】 解：由題意可得，正棱柱的底面是變長等于a的等邊三角形，面積為"a?a

17、?sin60 °,正棱柱的高為 a,.( $a?a?sin60 )°?a=16、Z, . a=4,故答案為：4.由題意可得(/a?a?sin60 ) ?a=16qG,由此求得a的值.本題主要考查正棱柱的定義以及體積公式，屬于基礎(chǔ)題.8 .【答案】(-4, 3, 2)【解析】解：如圖，以長方體 ABCD-AiBiCiDi的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，/ I帥的坐標(biāo)為(4, 3, 2) ,A (4, 0, 0) , Ci (0, 3, 2),& 2)故答案為：(-4, 3, 2)由團(tuán)的坐標(biāo)為(4, 3, 2),分別求出A和Ci的

18、坐標(biāo)，由此能求出結(jié)果.本題考查空間向量的坐標(biāo)的求法，考查空間直角坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.9 .【答案】arccos.；【解析】解：設(shè)圓錐母線與軸所成角為0,圓錐的側(cè)面積是底面積的 3倍，即圓錐的母線是圓錐底面半徑的3倍,故圓錐的軸截面如下圖所示：貝U cos 0 =1,L /.0 =arccos,故答案為：arccosJ由已知中圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，可得圓錐的母線是圓錐底面半徑的3倍，在軸截面中，求出母線與底面所成角的余弦值，進(jìn)而可得母線與軸所成角.本題考查的知識點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，其中根據(jù)已知得到圓錐的母線是圓錐底面半徑的3倍，是解答的關(guān)鍵.10 .【答

19、案】?！窘馕觥拷猓喝鐖D，過A作與BC平行的母線AD,連接OD,則/OAD 。延:范、 _r為直線OA與BC所成的角，大小為在直角三角形ODA中，因?yàn)椤? 所以匚/二泉一*一)則卜月故答案為.過A作與BC平行的母線AD,由異面直線所成角的概念得到 ZOAD4.在直角三角形ODA中，直接由=，得到答案.本題考查了異面直線所成的角，考查了直角三角形的解法，是基礎(chǔ)題.11 .【答案】0, 2, 4【解析】 解：如圖，設(shè) A、B、C在平面”上的射影分別為 A'、B'、C' , AABC的 重心為G，I Jk連接CG交AB于中點(diǎn)E,又設(shè)E、G在平面a上的射影分別為 E'、G

20、' ,則 E' S' B', G' CC' E',設(shè) AA'=BB'=3, CC'=6, EE'=3,_ 次_由 CG=2GE,在直角梯形 EE' C' C中可求得 GG' =4；二 '當(dāng)AB和C在平面a的兩側(cè)，由于 EE'： CC'=1： 2,可得GG' =0； 當(dāng)AB垂直于平面 a,由中位線定理可得 GG'=2.故答案為：0, 2, 4.根據(jù)題意畫出圖形，設(shè) A、B、C在平面a上的射影分別為 A'、B'、C' , A

21、ABC的 重心為G,連接CG交AB于中點(diǎn)E,又設(shè)E、G在平面a上的射影分別為 E，、G', 利用平面圖形：直角梯形 EE' C' C中數(shù)據(jù)可求得 叢BC的重心到平面 a的距離GG' 即可.本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征、三角形的重心，考查計(jì)算能力，空間想象能力，是基礎(chǔ)題，三角形重心是三角形三邊中線的交點(diǎn).重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為 2: 1.12 .【答案】0,1【解析】【分析】本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題.建立空間直角坐標(biāo)系，求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)可得 ”、腌、前、金；的坐標(biāo)，再由“1 = 1-入日0, 1, 可得鏟

22、二的取值范圍.fit【解答】解：以仁所在的直線為X軸，以。所在的直線為y軸，以廢所在的直線為z軸，建立空 間直角坐標(biāo)系.則 D (0,0,0)、C (0, 1, 0)、A (1, 0,0)、B (1,1,0)、D1(0,0,1).p/ = (0, 1, 0)、ffQ- (-1，-1，1).點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)，打1=%>=(-入，-入，X),且0WXW1T I I | T | f I I，的 %P=DC+BP=(-入，1-入，與，nc "=1-入e0, 1，故答案為0,1.13 .【答案】半【解析】解：翻折后的幾何體為底面邊長為4,側(cè)棱長為2、2的正三棱錐,高為芋所以該四面體

23、的體積為 打"16X%半呼. J1uif I M'故答案為： 根據(jù)題意，求出翻折后的幾何體為底面邊長，側(cè)棱長，高，即可求出棱錐的體積.本題考查棱錐的體積，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.14 .【答案】市【解析】解：根據(jù)幾何體得三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：所以：利用三視圖的關(guān)系，構(gòu)造成四棱錐體,所以：x2=1+4-y2,整理得：X2 + y2=5,故：(3x+4y) 2< (32+42) (x2+y2),整理得：& +故答案為：5首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進(jìn)一步利用幾何體的邊長關(guān)系式和不等式的應(yīng)用求出結(jié) 果.本題考查的知識要點(diǎn)：三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，不等式的應(yīng)用，主要考察

24、學(xué)生的運(yùn) 算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型.15 .【答案】:【解析】解：依題意，OA±OC, OB±OC, 又 OAAOB=O, 所以O(shè)C4面OAB, 以O(shè)A, OC所在直線分別為x軸，y軸， O為坐標(biāo)原點(diǎn)立空間坐標(biāo)系，則，=(R, 0, 0) ,二 (0, R, 0) 因?yàn)镺A與OB夾角為，所以不妨設(shè)，一 (r,，R, 0),如圖，則GP Im+%/*=(x+今 R，R 裊R),因?yàn)镻在千O上，所以|好|二R, 所以戊 + #+y2R2+g?)£M=R2,即+ T+y2+(9=1,所以由柯西不等式12+12+(加=(工 + $'+y2+*0 > 1

25、 *x+_) +1 >y+” 義Z=x+y+z, 解得x+y+z/=浮.V叫I學(xué) 故答案為：寫.以O(shè)A, OC所在直線分別為x軸，y軸建立空間坐標(biāo)系，求出 “0日的坐標(biāo)，根據(jù) I TP在千。上，得到|,不|的長度為R,再結(jié)合柯西不等式即可得到結(jié)論.本題考查了球面距離，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，柯西不等式等知識，屬于中檔 題.16 .【答案】，【解析】 解：取AD的中點(diǎn)H, BC的中點(diǎn)G,則EGFH在一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)直線 GF/EH/BD,因此不正確；不存在一個(gè)平面 如 使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長線上；分別取 AC、BD的中點(diǎn) M、N,則BC/狂面 MENF , AD

26、/印面 MENF ,且AD與BC到 平面MENF的距離相等，因此對于任意的平面的都有Szefg=Saefh .對于任意的平面 當(dāng)G, H在線段BC, AD上時(shí)，可以證明幾何體 AC-EGFH的體 積是四面體ABCD體積的一半，因此是一個(gè)定值.綜上可知：只有正確.故答案為：.取AD的中點(diǎn)H, BC的中點(diǎn)G,則EGFH在一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)直線 GF /EH /BD;不存在一個(gè)平面 «o,使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長線上；分別取 AC、BD的中點(diǎn) M、N,則BC/狂面 MENF , AD /印面 MENF ,且AD與BC到平面MENF的距離相等，可得對于任意的平面的都有Szef

27、g=Saefh .對于任意的平面 三當(dāng)G, H在線段BC, AD上時(shí)，可以證明幾何體 AC-EGFH的體 積是四面體 ABCD體積的一半.本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題.17 .【答案】解：存在一種必勝的 4選2的方案(與a、b的大小無關(guān))，使選中的兩個(gè) 容器的容積之和大于余下的兩個(gè)容器的容積之和.理由如下：若選中3號容器與4號容器，則V3+V4>Vi+V2,即a3+b3>a2b+ab2 ( a*, a, b>0).證明如下：a3+ b3-(a2b+ab2)= (a+b)(a2-ab+b2)-ab (a+b)= (a

28、+b)(a-b)2.a而，a, b>0,(a+b) (a-b) 2>0.,a3+b3>a2b+ab2 (a而，a, b>0),即 V3+V4>Vi+V2.因此存在必勝方案是：選中3號容器與4號容器.【解析】存在一種必勝的4選2的方案(與a、b的大小無關(guān))，使選中的兩個(gè)容器的容積之和大于余下的兩個(gè)容器的容積之和.理由如下：若選中3號容器與4號容器，則V3+V4>Vi+V2,即a3+b3>a2b+ab2 (a而，a, b>0).通過作差即可證明結(jié)論.本題考查了乘法公式、不等式的性質(zhì)、作差法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔 題.18 .【答案】解：

29、(1)過點(diǎn)P作PHLS面圓。，交AC于H, 連接HQ,.圓錐底面半徑r=20cm,。為底面圓圓心，點(diǎn)Q為半圓弧X.的中點(diǎn)，點(diǎn)P為母線SA的中點(diǎn)，. PH=&, OQ1AC, OH=10,可得：HQ=j2O3 + 102=10/5,. PH /SO,出PQ是PQ與SO所成的角，.PQ與SO所成的角為arctan2,tan/HPQ/“=2,l =SA=j2(產(chǎn)+ (11 2=30 ,. HQ=2PH = SO,解得 SO=1也寫,.圓錐的側(cè)面積： S=m=TtX 20X 30=60Gtm2).(2)作圓錐的側(cè)面展開圖， 線段PQ即為所求最短距 離.由已知 OQSO, OQ ISA,. OQ

30、 ±OA,故Q是弧AB的中點(diǎn)，即Q是扇形弧的點(diǎn).因?yàn)樯刃位￠L即為圓錐底面周長4 0由（1）知SO=10曲,母線SA=30,從而扇形的中心角為，.zQSA=t在為SA中，SP=15,由余弦定理得：PQ=W + SqE-2 x =P X =Q = co=J152 + 20-2 X 15 x 20 x 1=5J3 ,P, Q兩點(diǎn)在圓錐側(cè)面上的最短距離5TIcm.【解析】（1）過點(diǎn)P作PH1底面圓O,交AC于H,連接HQ,求出HQ的值，找出PQ與SO所成的角，求得 SO、SA的值，再計(jì)算圓錐的側(cè)面積；（2）作圓錐的側(cè)面展開圖，找出所求的最短距離，利用余弦定理求出即可.本題考查了求圓錐的體積、

31、多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，主要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直角三角形、題中的條件，求出錐體的母線長和高，進(jìn)而求出對應(yīng)的值，考查了分析和解決問題的能力.本題需注意最短距離的問題最后都要轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離的問題.19.【答案】（1）證明：.AB心D, CD=2AB,F為CD的中點(diǎn)，四邊形ABFD為平行四邊形，又/DAB 為直角，. DC1BF, 又PA1B面ABCD, 平面PAD,平面 ABCD ,EF/PD, . DC1EF. DC AAD,故 DC "面 PAD , .DC ±PD, 在APCD內(nèi)，E、F分別是PC、CD的中點(diǎn)， 由此得DC '面BEF ；

32、（2）解：由（1）知，DC上平面BEF,則/CBF為BC與平面BEF所成角，, _ L在 RtABFC 中，BF=AD=2, CF 書口 =1tan""=；,則BC與平面BEF所成角的大小為卜也叫;（3）解：由（1）知，CD上平面PAD,則平面 PDC1：平面PAD,在RtAPAD中，設(shè) A到PD的距離為h,貝U PA?AD=PD?h,得卜=精=於¥，A到平面PDC的距離為邛，即B到平面PDC的距離為邛，L 厄 事S & BDE = 2乂 "3x1 =至，Vp-dbe = Vb-pde=J X y X d【解析】（1）先證四邊形 ABFD為平行四

33、邊形，又 /DAB為直角，可得 DC1BF,再由 已知證明DC ±PD,可得DC1EF,由線面垂直的判定可得 DC"面BEF ；（2）由（1）知，DCFF面BEF,則/CBF為BC與平面BEF所成角，求解三角形即可；（3）由（1）知，CD,平面PAD,則平面PDCFF面PAD,在RtAPAD中，設(shè)A至！J PD的距離為h,利用等面積法求得 h,得A到平面PDC的距離為,即B到平面PDC的距離為再利用等體積法求三棱錐P-DBE的體積.本題考查直線與平面垂直的判定，考查線面角的求法，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題.20.【答案】(1)證明：.棱臺DEF-ABC與棱錐P

34、-ABC及的棱長和相等，/r. DE+EF+FD=PD + OE+PF./八 又.截面DEF /底面ABC,呆二卜7然. DE=EF=FD=PD = PE=PF, ZDPE=/EPF=/FPD=60。，/P-ABC是正四面體；/ 、柒(2)解：取 BC 的中點(diǎn) M,連拉 PM, DM . AM. /g+ 一 夕. BC1PM, BC 1AM , . BC"面 PAM, BC1DM ,則/DMA為二面角D-BC-A的平面角.設(shè)P-ABC的各棱長均為1 ,. PM=AM=|y,由D是PA的中點(diǎn)，得 sin/DMA 啜L八避zDMA=arcsin ；;(3)存在滿足條件的直平行六面體.棱臺

35、DEF-ABC的棱長和為定值 6,體積為V.設(shè)直平行六面體的棱長均為 B，底面相鄰兩邊夾角為 a,則該六面體棱長和為 6,體積為gsin a V.正四面體 P-ABC 的體積是；，OvVv、；，0V8VV1.可知 a =arcsin(8V)故構(gòu)造棱長均為I,底面相鄰兩邊夾角為 arcsin ( 8V)的直平行六面體即滿足要求.【解析】 (1)禾1J用已知條件證明 DE=EF = FD = PD=PE=PF, ZDPE = ZEPF= ZFPD =60°, 從而證明P-ABC為正四面體；(2) PD=DA=；取 BC 的中點(diǎn) M,連拉 PM, DM . AM ,說明 ZDMA 為二面角

36、 D-BC-A的平面角.解三角形 DMA求二面角D-BC-A的大?。?3)存在滿足條件的直平行六面體.設(shè)直平行六面體的棱長均為.,底面相鄰兩邊夾角為a,利用該六面體棱長和為 6,體積為:sin aV.求出a =arcsin(8V)底面相鄰兩邊夾角為arcsin (8V)的直平行六面體即滿足要求.本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，平面與平面平行的性質(zhì)，二面角及其度量，考查空 間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題.21.【答案】舊2h+*與-磊=1 6728【解析】 解：(1)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為±1=1,則a=30, r設(shè) B ('等，n) , C (40, n-100),代入雙曲線方程可得：49 x *>州-5-1(jj 100 J ,合析下j由解得b-307|, n=30.該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 一嘉二1r yE-70, 30；(2)把尸h代入雙曲線方程可得 *1解得x