線性代數(shù)第3章(知識(shí)梳理)

1、第三章 線性方程組本章結(jié)構(gòu)常用方法： 1、矩陣化等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，求出矩陣的秩，則標(biāo)準(zhǔn)形2、求矩陣的逆3、消元法求線性方程組的解增廣矩陣行最簡(jiǎn)階梯4、求矩陣的秩5、判斷向量能否由向量組線性表示以為列向量的矩陣行最簡(jiǎn)階梯6、求向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組，并將其它向量用該極大無關(guān)組線性表示以為列向量的矩陣行最簡(jiǎn)階梯7、用基礎(chǔ)解系表示(非)齊次線性方程組的全部解增廣矩陣行最簡(jiǎn)階梯一、用消元法求解非齊次線性方程組1、，進(jìn)而求出和2、觀察和的關(guān)系：(1) ，方程組無解；(2) ，方程組有解：、，方程組有唯一解； 、，方程組有無窮多個(gè)解.3、在有解的情況下，將階梯形矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行初等行變換，從最后一個(gè)非零首元開始

2、將非零首元上面的元素消成零；4、寫出相應(yīng)的同解方程組，令自由未知量取任意常數(shù)，可得方程組的全部解。 定理3.1線性方程組有解，且 當(dāng)時(shí)方程組有唯一解；當(dāng)，方程組有無窮多個(gè)解.二、用消元法求解齊次線性方程組：1、，進(jìn)而求出；2、觀察：(1) ，方程組有唯一解，即只有零解；(2) ，方程組有無窮多個(gè)解，即有非零解；3、在有解的情況下，將階梯形矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行初等行變換，從最后一個(gè)非零首元開始將非零首元上面的元素消成零；4、寫出相應(yīng)的同解方程組，令自由未知量取任意常數(shù)，可得方程組的全部解。 定理3.2齊次方程組有非零解 推論當(dāng)，即當(dāng)方程個(gè)數(shù)小于未知元個(gè)數(shù)時(shí)，齊次線性方程組有非零解三、維向量的概念及線性運(yùn)

3、算（看作特殊的矩陣）書P121123四、向量與向量組的線性組合（向量由向量組線性表示）對(duì)非齊次線性方程組，設(shè)，則線性方程組可表示，從而.定義3.5 （P124）對(duì)于給定向量，如果存在一組數(shù)，使成立，則稱向量是向量組的線性組合，或稱向量可由向量組線性表示。線性組合的判別定理設(shè)向量，向量，則五、向量組的線性相關(guān)性對(duì)齊次線性方程組，設(shè)，則齊次線性方程組可表示為.它一定有零解，考慮其是否有非零解：定義3.7（P128） 對(duì)于向量組，如果存在一組不全為零的數(shù)使成立，則稱向量組線性相關(guān)；否則稱向量組線性無關(guān).注：（1）線性無關(guān).（2）一個(gè)零向量線性相關(guān)；一個(gè)非零向量線性無關(guān).（3）包含零向量的任何向量組都

4、是線性相關(guān)的.（4）僅含兩個(gè)向量的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是這兩個(gè)向量的分量對(duì)應(yīng)成比例。線性相關(guān)性的判定：設(shè)，則總結(jié)：驗(yàn)證向量組的線性相關(guān)性主要有以下兩種方法：（1）、對(duì)于抽象向量組或比較特殊的向量組，可采用定義法：設(shè)，去驗(yàn)證要使得等式成立，是否必須全為零；（2）、對(duì)于具體的向量組， 以為列向量的矩陣，將矩陣的秩與向量個(gè)數(shù)作對(duì)比定理3.6（P131）如果向量組中有一部分向量（部分組）線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)推論線性無關(guān)的向量組的任何部分組都線性無關(guān)定理3.7（P132）向量組線性相關(guān)其中至少有一個(gè)向量可以由其余個(gè)向量線性表示。定理3.8若有向量組線性相關(guān)，而向量組線性無關(guān)，則向量可由

5、向量組線性表示且表示法唯一。六、向量組間的線性組合與線性相關(guān)性(了解)定義（P125）設(shè)有兩個(gè)向量組與，若向量組中的每一個(gè)向量都能由向量組線性表示，則稱向量組能由向量組線性表示。定義3.6（P126）若向量組與向量組能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。向量組間線性關(guān)系的判定：定理3.4（P126） 若向量組可由向量組線性表示，向量組可由向量組線性表示，則向量組可由向量組線性表示。定理3.9（P133）設(shè)有兩個(gè)向量組與 ，向量組能由向量組線性表示，如果，則向量組線性相關(guān).另一種說法：向量組能由向量組線性表示，且向量組線性無關(guān)，則.推論（P134）設(shè)向量組與向量組可以相互線性表示，且與都是線性無

6、關(guān)的，則.定理3.12設(shè)有兩個(gè)向量組與 ，如果向量組與等價(jià)，則七、向量組的秩1、極大無關(guān)組定義設(shè)有向量組，若在能選出個(gè)向量滿足：（1）部分組線性無關(guān)；（2）向量組中任意個(gè)向量（若有的話）都線性相關(guān)，則稱向量組是向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組（簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組）注：（1）一個(gè)向量組的極大無關(guān)組要滿足以下幾個(gè)條件：、向量組是向量組的一個(gè)線性無關(guān)的部分組；、向量組的其余向量均可由向量組線性表示或向量組與向量組等價(jià)（能夠互相線性表示）2、向量組的秩定義向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為該向量組的秩，記為定理2 設(shè)為矩陣，則的充分必要條件是：的列(行)秩為.推論1 矩陣的行秩等于列秩求一個(gè)向量組的極大無關(guān)組

7、或秩，并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示的方法由該向量組構(gòu)造矩陣，要求各向量作為的列向量，并將該矩陣化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣，則非零行的行數(shù)即為向量組的秩，非零首元所在的列對(duì)應(yīng)的列向量組成一個(gè)極大無關(guān)組，其余列向量的各分量即為由極大無關(guān)組線性表示的系數(shù).八、線性方程組解的結(jié)構(gòu)1、齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）如果是方程組的兩個(gè)解，則也是它的解；（2）如果是方程組的解，為常數(shù)，則也是它的解；（3）如果是方程組的解，則其線性組合也是它的解?；A(chǔ)解系：解向量組的一個(gè)極大無關(guān)組（解+線性無關(guān)+其它解可由它們線性表示）；基礎(chǔ)解系的向量個(gè)數(shù)；基礎(chǔ)解系的線性組合表示齊次線性方程組的一個(gè)解（向量）.2、用基礎(chǔ)解系表

8、示齊次線性方程組的全部解的步驟：（1）、將其系數(shù)矩陣通過初等行變換化為簡(jiǎn)化的階梯形矩陣（化為階梯形+回代），并判斷方程組是否有非零解；（2）、在有非零解的情況下，寫出與原方程組同解的方程組，并注明自由未知量； （3）、（4）、，3、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)（1）如果是非齊次方程組的一個(gè)解， 是其導(dǎo)出組的一個(gè)解，則是的解；（2）如果是非齊次方程組的兩個(gè)解，則是其導(dǎo)出組的解.定理如果是非齊次方程組的一個(gè)解， 是其導(dǎo)出組的全部解，則是的全部解.4、用基礎(chǔ)解系表示非齊次線性方程組的全部解的步驟：（1）、將其增廣矩陣通過初等行變換化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣，并判斷方程組是否有解；（2）、在有解的情況下，寫出與

9、原方程組同解的方程組，并注明自由未知量；（3）、讓自由未知量向量取值，得方程組的一個(gè)特解；（4）、寫出與原方程組的導(dǎo)出組（對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組）同解的方程組，讓自由未知量得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系；（5）、，.要點(diǎn)：1、（非）齊次線性方程組的消元解法 例：書P116119例2例4；P120例52、（非）齊次線性方程組解的情況的充分必要條件例：P164第1、2、3題3、向量與向量組的線性組合的定義、與非齊次線性方程組是否有解的關(guān)系、判定 例：書P124125例2例5；P159第7題；P164第4題4、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義、與齊次線性方程組是否有非零解的關(guān)系、判定及相關(guān)定理 例：書P129131，例1例6；P160第10、13、14題；P164166第49題5、向量組的極大無關(guān)組、秩的概念，求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組與秩，及將其它向量用該極大無關(guān)組線性表示例：P13