Riemann猜想漫談(八)

1、Riemann 猜想漫談 (八 )作者：盧昌海圍捕零點(diǎn)時(shí)下流行一種休閑方式叫做 DIY(DoItYourself) ，講究自己動(dòng)手做一些 原本只有工匠才做的東西， 比方說自己動(dòng)手做件陶器什么的。 在像我 這樣懶散的人看來(lái)這簡(jiǎn)直比工作還累，可如今許多人偏偏就興這個(gè)， 或許是領(lǐng)悟了負(fù)負(fù)得正 (累累得閑？ )的道理吧。既是大勢(shì)如此，我們 也樂得共襄盛舉，安排 “休閑”一下，讓大家親自動(dòng)手用 Riemann-Siegel 公式來(lái)計(jì)算一個(gè)RiemannZ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。DIY 一般有個(gè)特點(diǎn)， 那就是課題本身看起來(lái)雖頗見難度， 實(shí)際做起來(lái) 卻通常是撿其中相對(duì)簡(jiǎn)單的來(lái)做 (以免打擊休閑的積極性 )。我們計(jì)

2、算 零點(diǎn)也是如此，挑其中相對(duì)簡(jiǎn)單 即容易計(jì)算 的非平凡零點(diǎn)來(lái) 計(jì)算。那么什么樣的非平凡零點(diǎn)比較容易計(jì)算呢？顯然是那些聽Riemann的話，乖乖躺在臨界線上的因?yàn)椴辉谂R界線上的非平凡零點(diǎn)即便有也絕不可能容易計(jì)算，否則 Riema nn猜想早被推翻了。 如我們?cè)谏瞎?jié)中所見，Riema nn-Siegel公式包含了許多計(jì)算量很大的 東西，其中最令人頭疼的是求和，因?yàn)樗褂?jì)算量成倍地增加。不過 幸運(yùn)的是那個(gè)求和是對(duì)n2(t/2的自然數(shù)n進(jìn)行的，因此如果t8 n25, 求和就只有 n=1 一項(xiàng)。這顯然是比較簡(jiǎn)單的， 因此我們狡猾的目光就 盯在了這一區(qū)間上。在這一區(qū)間上，Riema nn-Siege l公

3、式簡(jiǎn)化成為：Z(t)=2cos 0 (t)+R(t) 這就是我們此次圍捕零點(diǎn)的工具。在正式圍捕之前， 我們先做一點(diǎn)火力偵察 粗略地估計(jì)一下獵物的 位置。我們要找的是使 Z(t) 為零的點(diǎn)，直接尋找顯然是極其困難的， 但我們注意到2cos仗)(通常被稱為主項(xiàng))在0 (t)=(m+1/2)時(shí)為零(m 為整數(shù))，這是一個(gè)不錯(cuò)的出發(fā)點(diǎn)。由上節(jié)中0 (的表達(dá)式不難證明，在所有這些使2cos 0 (為零的0 (t中, 0= n /2即m=-1)是使t在t25 中取值最小的(當(dāng)然，別忘了 t是正實(shí)數(shù)),它所對(duì)應(yīng)的t為t14。這 是我們關(guān)于零點(diǎn)的第一個(gè)估計(jì)值。純以數(shù)值而論，它還算不錯(cuò)，相對(duì) 誤差約為百分之三。

4、 接下來(lái)我們對(duì)這個(gè)估計(jì)值進(jìn)行一次修正。修正的理由是顯而易見的， 因?yàn)閠14.5寸R(t)明顯不為零。為了計(jì)算R(t)，我們注意到t14.5寸 (t/2 n )1/2嚴(yán)因此R(t)中的參數(shù)N 即(t/2 n )1的整數(shù)部分 為 1, p即(t/2 n2啲分?jǐn)?shù)部分一一約為0.5。由此可以求出R(t)中的 第一項(xiàng) 即C0(t/2 n1)/4 約為0.3。為了抵消這額外的0.3,我們需要對(duì)t進(jìn)行修正，使2cos 0 (減少0.3。 我們采用最簡(jiǎn)單的線性近似 t2cos 0 (t)/2cOS'來(lái)計(jì)算這一修正值。為此注意到2cos 0 (在t4.5處的導(dǎo)數(shù)2cos 0為 -2 0 '(t)

5、sin鉅(t)/2)l瑣14.5/2 )sin n /2)d83此可知 t 需要修正為t+ t14.3/0.8314.1這個(gè)數(shù)值與零點(diǎn)的實(shí)際值之間的相對(duì)誤差 僅為萬(wàn)分之四。 但是需要提醒讀者的是, 這種估計(jì)無(wú)論從數(shù)值上 講多么高明 都不足以證明零點(diǎn)的存在, 而至多只能作為圍捕零點(diǎn) 前的火力偵察。那么究竟怎樣才能證明零點(diǎn)的存在呢？我們?cè)谏瞎?jié)中已經(jīng)敘述了基本思路，那就是通過計(jì)算Z(t)的符號(hào)，如果Z(t)在臨界線上某兩點(diǎn)的 符號(hào)相反，就說明Riemann函數(shù)在這兩點(diǎn)之間存在零點(diǎn)。我們上面 所做的估計(jì)就是為這一計(jì)算做準(zhǔn)備的?，F(xiàn)在我們就來(lái)進(jìn)行這樣的計(jì) 算。由于我們已經(jīng)估計(jì)出在 t=14.14 附近可能

6、存在零點(diǎn)，因此我們就 在14.1 < t < 14的區(qū)間上撒下一張小網(wǎng)。如果我們的計(jì)算表明Z(t)在這一區(qū)間的兩端，即t=14.1與t=14.2,具有不同的符號(hào)，那就證明了 Riemann Z函數(shù)在t=14.1與t=14.2之間存在零點(diǎn)注一。 下面我們就來(lái)進(jìn)行計(jì)算：對(duì)于 t=14.1, (t/2 n )1/2 1.498027 -倚42722。因而主項(xiàng)2cos 0 (t0.342160,剩余項(xiàng)R(t)中0.48027,從而其中第一項(xiàng)(即 C0項(xiàng))為C0(t/2 )-1/40.312671由這兩部分(即主項(xiàng)及剩余項(xiàng)中的第 一項(xiàng))可得：Z(14.1) -342160+0.312671=

7、-0.029489類似地，對(duì)于 t=14.2, (t/2 n )1/2 1.503330 (t)-1702141。因而主項(xiàng) 2cos 0 (t)p.261934,剩余項(xiàng)R(t)中0.50333,從而其中第一項(xiàng)(即 C0項(xiàng))為C0(t/2 n1)0.3他9。由這兩部分(即主項(xiàng)及剩余項(xiàng)中的第 一項(xiàng))可得：Z(14.2) -0.261934+0.312129=0.050195顯然，如我們所期望的，Z(14.1)與 Z(14.2)的符號(hào)相反，這表明在t=14.1 與t=14.2之間存在RiemannZ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。當(dāng)然，我們還沒有 考慮C1C4項(xiàng)。這些項(xiàng)中帶有C0的各階導(dǎo)數(shù)，計(jì)算起來(lái)工作量非同 小

8、可,有違休閑的目的,因此就只好偷點(diǎn)懶了。熟悉計(jì)算軟件的讀者可以動(dòng)用 Maple、Matlab 或 Mathematica 之類的計(jì)算軟件來(lái)算一下。 對(duì)于其他讀者來(lái)說，我們就把算得的結(jié)果直接列在下表中了(其中包括我們手工算得的結(jié)果 )：Z(t)-0.0274460.052042 從表格所列的結(jié)果中可以看到， 剩余項(xiàng)中的高階項(xiàng)的貢獻(xiàn)雖然有所起 伏，但與第一項(xiàng)相比在總體上是很小的。對(duì)我們來(lái)說，這當(dāng)然是很令 人欣慰的結(jié)果，因?yàn)樗砻魑覀兪止に苡?jì)算的部分給出的貢獻(xiàn)是主 要的。這還是 t 較小的情況，隨著 t 的增加，由于高階項(xiàng)中所含 t 的 負(fù)冪次較高，其貢獻(xiàn)會(huì)變得越來(lái)越小 注二 。不過要嚴(yán)格表述這種

9、趨 勢(shì)并予以證明，卻絕非輕而易舉。事實(shí)上Riema nn-Siegel公式作為Z(t) 的漸進(jìn)展開式，其斂散性質(zhì)與誤差估計(jì)都是相當(dāng)復(fù)雜的?，F(xiàn)在我們知道了 RiemannZ函數(shù)在t=14.1與t=14.2之間存在零點(diǎn)。如 果我們?cè)僮屑?xì)點(diǎn)，注意到 Z(14.1)與Z(14.2)距離Z(t)=O的遠(yuǎn)近之比為 0.027446:0.052042，用線性內(nèi)插法可以推測(cè)零點(diǎn)的位置為：t 14.1+(14-24.1) g27446/(0.027446+0.05204!)14.1345這與現(xiàn)代數(shù)值t=14.1347的相對(duì)偏差只有不到十萬(wàn)分之二！即使只估 計(jì)到 C0 項(xiàng)(這是我們自己動(dòng)手所及的范圍 )，其誤差也

10、只有不到萬(wàn)分 之二 (請(qǐng)讀者自行完成內(nèi)插法計(jì)算并驗(yàn)證誤差 )。好了，獵物在手，我們的簡(jiǎn)短休閑也該見好就收了。大家是否體驗(yàn)到 了一些成就感呢？要知道，Riemann匸函數(shù)的零點(diǎn)可是在 Riemann的 論文發(fā)表之后隔了四十四年才有人公布計(jì)算結(jié)果的哦。 當(dāng)然，我們用 了 Riemann-Siegel公式，但這沒什么，一個(gè)好漢三個(gè)幫嘛！再說了，DIY 哪有真的百分之百?gòu)念^做起， 連工具設(shè)備都包括在內(nèi)的？想象一 下，如果你 DIY 出來(lái)的陶器能夠把缺陷控制在萬(wàn)分之二以內(nèi)，那是 何等的風(fēng)光？當(dāng)然， 倘若你可以退回一百多年， 把這個(gè)結(jié)果搶在 Gram 之前公布一下，那就更風(fēng)光了。在本節(jié)的最后， 還有一件可

11、能讓大家有成就感的事情要提一下。 那就是我們所用的估計(jì)零點(diǎn)的方法 一一即從使2cos 0 (t為零的點(diǎn)出發(fā)，然后依據(jù)R(t)的數(shù)值對(duì)其進(jìn)行修正注三，最后再用Z(t)的符號(hào)變化 來(lái)確定零點(diǎn)的存在 暗示著RiemannZ函數(shù)在臨界線上的零點(diǎn)數(shù)目 大致與cos 0 (t的零點(diǎn)數(shù)目相當(dāng)。而后者大約有(請(qǐng)大家DIY) 0 (t)/ n (t/2 n-(d2J2個(gè))n不知大家是否還記得，這正是我們 在第五節(jié)中介紹過的Riema nn那三個(gè)命題中迄今無(wú)人能夠證明的第 二個(gè)命題！當(dāng)然，我們這個(gè)也不是證明(真可惜，否則的話，嘿嘿), 但這應(yīng)該使大家對(duì)我們的休閑手段之高明有所認(rèn)識(shí)吧？注釋1要注意的是，Z(t)在一

12、個(gè)區(qū)間的兩端具有不同符號(hào)只是 Riemann Z函 數(shù)在該區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)的充分條件，而非必要條件。換句話說，假如 我們不幸發(fā)現(xiàn)Z(t)在我們所取的兩點(diǎn)上具有相同的符號(hào)，我們并不能由此直接得出結(jié)論說RiemannZ函數(shù)在這兩點(diǎn)之間不存在零點(diǎn)。至于 這是為什么，請(qǐng)大家 DIY。2.但另一方面，隨著t的增加，Riemann-Siegel公式中的求和所包含 的項(xiàng)數(shù)會(huì)逐漸增加，因此計(jì)算的總體復(fù)雜程度并不呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。 唐宋或更早之前，針對(duì) “經(jīng)學(xué)”律“學(xué)”算“學(xué)”和“書學(xué)”各科目，其相應(yīng) 傳授者稱為 “博士”，這與當(dāng)今 “博士”含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特 別講授“武事”或講解“經(jīng)籍”者，又稱 “講師”

13、?！敖淌凇焙汀爸獭本瓰?學(xué)官稱謂。前者始于宋，乃 “宗學(xué)”律“學(xué) ”醫(yī)“學(xué)”武“學(xué)”等科目的講授 者；而后者則于西晉武帝時(shí)代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國(guó)子、博士培養(yǎng) 生徒。“助教”在古代不僅要作入流的學(xué)問，其教書育人的職責(zé)也十分 明晰。唐代國(guó)子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之 “助教 ”一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。 至明清兩代， 只設(shè)國(guó)子監(jiān)(國(guó)子學(xué))一科的“助教”，其身價(jià)不謂顯赫， 也稱得上朝廷要員。 至此，無(wú)論是“博士 ”講“師”，還是“教授”助“教”， 其今日教師應(yīng)具有的基本概念都具有了。3對(duì)于求和中有不止一項(xiàng)的情形，修正所依據(jù)的將不僅僅是R(t)，但思路是類似的。二零零四年五月二十三日寫于紐約要練說，先練膽

14、。 說話膽小是幼兒語(yǔ)言發(fā)展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說 話時(shí)顯得膽怯： 有的結(jié)巴重復(fù)， 面紅耳赤；有的聲音極低， 自講自聽； 有的低頭不語(yǔ)，扯衣服，扭身子?？傊?，說話時(shí)外部表現(xiàn)不自然。我 抓住練膽這個(gè)關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語(yǔ) 言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話時(shí)，我總是笑臉相迎，聲音親切，動(dòng)作 親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動(dòng)的、無(wú)拘無(wú)束地和我交談。二 是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說話的習(xí)慣。 或在課堂教學(xué)中， 改變過去老 師講學(xué)生聽的傳統(tǒng)的教學(xué)模式， 取消了先舉手后發(fā)言的約束， 多采取 自由討論和談話的形式， 給每個(gè)幼兒較多的當(dāng)眾說話的機(jī)會(huì)， 培養(yǎng)幼 兒愛說話敢說話的興趣， 對(duì)一些說話有困難的幼兒， 我總是認(rèn)真地耐 心地聽，熱情地幫助和鼓勵(lì)他把話說完、說好，增強(qiáng)其說話的勇氣和 把話說好的信心。 三是要提明確的說話要求， 在說話訓(xùn)練中不斷提高， 我要求每個(gè)幼兒在說話時(shí)要儀態(tài)大方，口齒清楚，聲音響亮，學(xué)會(huì)用 眼神。對(duì)說得好的幼兒， 即使是某一方面， 我都抓住教育， 提出表?yè)P(yáng)， 并要其他幼兒模仿。長(zhǎng)期堅(jiān)持，不斷訓(xùn)練，幼兒說話膽量也在不斷提 高。二零零四年五月二十三日發(fā)表于本站與當(dāng)今 “教師”一稱最接近的 “老師 ”概念，最早也