241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

1、數(shù)乘向量運算律數(shù)乘向量運算律1. ()()aa 2.()aaa3. ()abab兩個向量的夾角的范圍：兩個向量的夾角的范圍：(0180 ) 我們學過功的概念，即一個物我們學過功的概念，即一個物體在力體在力F F的作用下產生位移的作用下產生位移s s（如圖）（如圖）F F由此引入向量由此引入向量“數(shù)量積數(shù)量積”的概念。的概念。功是功是標量標量|cosWFSS S一一、向量數(shù)量積的定義：向量數(shù)量積的定義：aOAbB1B1|cosOBbba在 方向上的投影|cosa bab叫 與 數(shù)量積a b 即a b 記作（也叫內積）（也叫內積）(),ab a b 兩種錯寫|a求向量數(shù)量積的步驟：求向量數(shù)量積的步

2、驟：1.求兩個向量的模（長度）求兩個向量的模（長度）2.求兩個向量夾角求兩個向量夾角及及coscos3.向量的數(shù)量積（內積）向量的數(shù)量積（內積）ab00a 規(guī)定: 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負？它什么時候為正，什么時候為負？|cosa ba b OabBAOabBAabABO1B1A大于零大于零等于零等于零小于零小于零(0,0)ab 1.ababa b 例已知|=5,|=4,與的夾角 =120 求15 4 ()102a ba b 解:| cos =5 4 cos120CB60。58A2.,5,8,6ABCabCBC CA 已知中0 求1.

3、pqpqp q 已知| |=8,|=6, 與 的夾角 =60 求答：答：24241C答：答：-20-20課內練習：課內練習：(1)0aba b(2)| |;aba ba b當 與 同向時，| |;a ba ba b (4)當 與 反向時，2(3)|a aa aaa |或2a(5)cos|a ba b(6) | |a bab(0,0ab )|cosa ba b cos18 0cos 0cos 0cos9 0|cos| 1性質：性質：OAB ab1A1B 在在 上投影上投影ab 在在 上投影上投影ab的長度 aa的長度 aa練習練習2 2221.00000,0,00,05.0,0aba baba

4、baa bba ba baa bb caca ba cbcaaaa 若 = ,則對任一向量 ,有2.若,則對任一非零向量 ,有3.若則4.若則中至少有一個為若,則6.若則,當且僅當時成立.7.對任意向量 有1.| 8,3;aeaea e 已知為單位向量,當它們的夾角為時,求 在 方向上的投影及2.90ababa b 已知|=2,|=3,與 夾角為則1,3,ababa b3.若、 共線,則403或或34.3,4,6,mnm nmn 已知則 與 夾角為6060二、平面向量的數(shù)量積的運算律：二、平面向量的數(shù)量積的運算律：其中，其中，cba、是任意三個向量，是任意三個向量，R()()a bcab c(

5、1)a bb a(2)()()()aba bab(3)()abca cb c (3)()abca cb c aAbB1A1BcC1CO例例 3：求證：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.(ab)a(ab)ba22abb2.aabaabbb證明：證明：（1）(ab)2(ab)(ab)（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.例例 3：求證：求證：證明：證明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.解解: : 22632bbaababa022cos6 4 cos601236,16a ba bab 且 2336

6、126 1672abab 602 ) (3 ).abababab 例 已知與 的夾角為 =,求(5.| 3,| 4,abkakbakb例 已知當且僅當 為何值時，向量與互相垂直？ 0bkabkabkabka互相垂直與解解: :222bkabkabka又2222169kbka43k)(,2432, 1|1cbacabacbakbakbababa求證：是非零向量，且、設的值?；ハ啻怪?，求也與且、若K=6ABCO3、直徑所對的圓周角為直角。、直徑所對的圓周角為直角。ab(1).,.OCa OBb 選取基底:(2).,ACab BCab 用基底表示所需向量:(3)用內積證明結論:() ()0AC BCabab A AD DA A52B B5 351 1、向量的數(shù)量積的定義、向量的數(shù)量積的定義4 4 、必須掌握的五條重要性質必須掌握的五條重要性質小結小結2 2、向量的數(shù)量積的幾何意義、向量的數(shù)量積的幾何意義3 3、向量的數(shù)量積的運算律、向量的數(shù)量