第十四章 導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件

1、l第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念l第二節(jié) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則l第三節(jié) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則l第四節(jié) 初等函數(shù)的求導(dǎo)法l第五節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)法l第六節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)l第七節(jié) 函數(shù)的微分l第八節(jié) 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)四 用Mathematica求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.變速運(yùn)動的速度200.12.stvsgttv以自由落體為例,落體下落的路程 隨時間 的增加越來越大,其速度 每時每刻都在變化現(xiàn)在的問題是運(yùn)動規(guī)律 要確定某一時刻 落體的速度一、變化率問題舉例,.:距離 對于勻速運(yùn)動來說,速度=而自由落體是變速運(yùn)動上時間式不適用基本想法是 雖然整體來說速度是變的,但局部來說可以近似地看成不變,就是說,在很短

2、的時間間隔內(nèi),速度來不及有很大的變化,可以近似地看成勻速運(yùn)動,于是可用上述公式來確定該段時間內(nèi)的速度,叫做平均速度.200222000001()2112212tttsg ttgtgttg tt ttsvgt + g tt 顯然,從時刻 到時刻所經(jīng)過的路程則在時間間隔 , +內(nèi)的平均速度為為00000,.0,limtttvstvgtt 越小這個平均速度就越接近于時刻 的瞬時速度 自然令取極限于量得到000000()( )( ),limlimtts tts tsss ttvtt 這個方法對于一般變速運(yùn)動也是適用的.設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為:則任一時刻 的速度2.切線問題000000( ).( , ),Cy

3、f xM x yCMM TxM T 設(shè) 是坐標(biāo)平面內(nèi)的一條光滑曲線(所謂的光滑是指曲線上每一點(diǎn)都存在切線),其由方程給出是曲線上一點(diǎn)過點(diǎn)的切線是其與 軸正向夾角為問題是如何確定切線的斜率.00000000(,),tan,M MMM xx yyM MykMCMxxMM M 在點(diǎn)附近任取一點(diǎn)作割線其斜率當(dāng)沿曲線 接近點(diǎn)時割線就接近切線,從而割線的斜率就接近切線的斜率.換句話說,越小其接近程度就愈高,于是自然定義點(diǎn)的切線為割線的極限位置所以有000000000()( )limlimlim,tan ;14M TxxM MMMM Tf xxf xykkxxkM T 式中是切線的傾斜角(見圖 -1) 上面

4、兩個例子分別屬于不同領(lǐng)域,一為運(yùn)動問題，一為幾何問題,但都要求計(jì)算函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比, 在當(dāng)后者無限趨于零時的極限.此外,很多理論或?qū)嶋H問題,也要求計(jì)算這種類型的極限,這些量的具體意義，抓住它們在數(shù)量關(guān)系上的共性,便得出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念.14圖 -1 切線問題0 x0 xx x0MMTyOxy0000000000( )(0),()( )( ),limlim,( ),( )xxyf xxxxxxyyf xf xxf xyxf xxxyf xxyf xx 義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在點(diǎn) 處取得增量時相應(yīng)的函數(shù) 取得增量若極限存在則稱函數(shù)在點(diǎn) 處可導(dǎo)并稱這個極限值為函

5、數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)記作 定00000000( )|,(),()()()limxxxxxxxdydf xyfxdxdxf xxf xfxx 或即二、導(dǎo)數(shù)的定義000000000000()( )lim,( )()( ),(0)( ),lim,(0)( ),xxf xxf xyf xxf xxf xxf xfxxxf xfx 若極限存在則稱該極限值叫作函數(shù)在點(diǎn) 處的左導(dǎo)數(shù) 記作或若極限存在該極限值叫作函數(shù)在點(diǎn) 處的右導(dǎo)數(shù) 記作或兩者統(tǒng)稱單側(cè)導(dǎo)數(shù)于時,可導(dǎo)的充要條件是左右導(dǎo)數(shù)存在且相等.0000000000()( ),( ),;()( )( ) lim.xf xxf xyxxxxxxyf xf xxf

6、xf xxxx 比值反映的是自變量 從 改變到時函數(shù)的平均變化速度稱為函數(shù)的平均變化率而導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在點(diǎn) 處的變化速度,即函數(shù)在點(diǎn) 處的變化率導(dǎo)數(shù)的定義也可以取不同的形式,常見的有00000000()( )( )( )( ) lim( )limhf xhf xf xf xf xf xx xxxh和( ),( ),( )( ),yf xIf xIx If xxIyf x 函數(shù)在開區(qū)間 內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo) 就稱函數(shù)在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)這時對于任一都對應(yīng)著的一個確定的導(dǎo)數(shù)值,當(dāng) 遍取 內(nèi)一切值時,這樣就構(gòu)成一個新函數(shù),這個函數(shù)叫作原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 簡稱導(dǎo)數(shù).記作00000,( )( )( )( )(

7、)|.x xf xxf xf xxxf xf x 顯然函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值,即( ),( ),dydf xy f xdxdx或,按照導(dǎo)數(shù)的定義 有0()( )( ) limxf xxf xf xx ().f(x) c c求函數(shù)為常數(shù) 的導(dǎo)數(shù)例1 解( )f xc即 就是說常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零.這一結(jié)果實(shí)際意義是顯然的,常函數(shù)的變化率為零;幾何意義也是顯然的,因?yàn)闉橐粋€水平直線,它上面每一點(diǎn)切線都是這條直線本身,斜率是零. 0()( )( ) limxf xxf xfxx 00limlim0 0 xxc cx 三、求導(dǎo)舉例( )().nf xx nx a求函數(shù)為正整數(shù) 在處的導(dǎo)數(shù)

8、例2 解111,( ).(),(),nnnaxfxnxxnxyx(x )x 把以上結(jié)果中的 換成得即更一般地 對于冪函數(shù)為常數(shù)有( )( )( ) limxaf xf af ax a1211limlim().nnnnnnxaxaxaxaxanax an項(xiàng)132222111()2;();2,1,()1,1.xxxxxxxx 如等特 別 地若則即 自 變 量的導(dǎo) 數(shù) 為 是 一 非 常 重 要 的 結(jié) 論( )sin.fxx求 函 數(shù)的 導(dǎo) 數(shù)例 3 解000cossin22()( )sin() sin( ) limlimlimcos .2hhhhhxf xhf xx hxf xxhhhc o s

9、s ins in xxc o s xx 即 ()用 類 同 的 方 法 可 求 得 ()()lo g.afxx求 函 數(shù)的 導(dǎo) 數(shù)例 4 解0000log () log()( )( )limlimlog1111limlimlog (1)loglnaaxxxaxaaxxxxxf xxf xfxxxxxxexxxxxa 1lo gln,1lnaxxaaexx即 ()特 別 地 若有 ()( ).xfxa求 函 數(shù)的 導(dǎo) 數(shù)例 5 解000100()( )1( ) limlimlim.1,log (1),0,0.11( ) limlimlnlog (1)loglog (1)xxxxxxxxxxxxt

10、tetaaf xxf xaaaf xaxxxatxtxtatxf xaaaaatta 令當(dāng)時所以ln.,xxxxaaaaeee即 ()=這就是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式特別地 若時 有 ()= 000000( )( )( )( ,)( )tanyf xxfxyf xMx yfx 由前面切線問題的討論及導(dǎo)數(shù)的定義可知,函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示為曲線在點(diǎn)處切線的斜率即四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義圖14-2 導(dǎo)數(shù)幾何意義O( )yf xT0Mxy0 x1,2yx1求雙曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.2例6 解2121,4,2xyyx1因?yàn)樗约礊檫^點(diǎn)處切線的斜率.2124,4402yxxy 所求切線方程為即11

11、2,2815 042yxxy 所求法線方程為即32,(1)31y xyxx問曲線上哪一點(diǎn)處的切線與直線平行? (2)與 軸平行?例7 解1232(1)3,4,8(4,8)31;yxyxyyx因?yàn)榱畹盟赃^點(diǎn)處的切線與直線平行(2)0,0,0.,.yxyxx令得所以過(0,0)點(diǎn)的切線與 軸平行 這里 的切線就是 軸00( ),lim( ),( ),lim0.( ).xxyyf xxf xxxf xyf xxxy 設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 處可導(dǎo)即存在由具有極限的函數(shù)與無窮小量的關(guān)系可知式中所以0 ,0.,( )( ),.xyyf xxyf xx 當(dāng)時有這就是說函數(shù)在點(diǎn) 處是連續(xù)的.所以,如果函數(shù)在點(diǎn) 處可導(dǎo)

12、則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系00000000,0(,)14,00,( )(0)limlimlimlim 110( )(0)limlimlimlim1 10 xxxxxxxxxyxx xxxf xfxxxxxxf xfxxxx 函數(shù)在和處處連續(xù)(見圖-4),但 這個函數(shù)在處不可導(dǎo)事實(shí)上因?yàn)槔? ,0.xx故在 處 左右導(dǎo)數(shù)不相等,所以函數(shù)在處不可導(dǎo)該函數(shù)的圖形在原點(diǎn)處無切線14 4圖 例8示意圖Oxy|yx思考題?1.連續(xù)是可導(dǎo)的什么條件答案 00?2.請思考在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義f xxfx答案00fxf x3.等式 成立嗎?答案課堂練習(xí)題;1.用定義證明函數(shù)c c為常數(shù)

13、 的導(dǎo)數(shù)為零y=答案22.12,3求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.yx答案 第一根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出一些簡單的導(dǎo)數(shù)，但對于比較復(fù)雜的函數(shù)，直接安定義來求它們的導(dǎo)數(shù)往往是很困難的.在本節(jié)和下節(jié)中將介紹求導(dǎo)的幾個基本法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.( ),( ),uu x vv xxc設(shè)都是 的可導(dǎo)函數(shù)以 為常數(shù). 解(1)();uvuv定理 (2)()uvu vuv2(3)uu vuvvv(2)( ) ( ),y u x v x以為例設(shè) =則() ()( ) ( )yu xx v xxu x v x ()( )()( )()( )u xxu x v xxu xv xxv x=()( )yuvv x

14、xu xxxx所以00,lim()( )(),(),( ),().xxxxv xyuv uvuvuv uvv xccucu 令取極限并注意可導(dǎo)必連續(xù) 就得到 即特別地若時因?yàn)槌?shù)的導(dǎo)數(shù)為零.故有即常數(shù)可以寫到求導(dǎo)符號外面:(1),(2),u vwuvwuvwu vwuv wuvw說明 該法則中的可推廣到任意有限英的情形 如 ( +) ()323sinln3,.yxxxy已 知求例 1 解2331(2 )()(3sin )(ln3)23cos .3yxxxxx 2yxx求曲線在點(diǎn)(2,3)處的切線方程.例2 解22221( )1,(2,3)213(2),24 0.2xyxyxxyxxy 因?yàn)樗?/p>

15、為曲線在點(diǎn)處切線的斜率,所以所求切線方程為即sin 2 ,.yxy已 知求例 3 解222sin cos ,2 (sin )cossin (cos )2(cossin) 2cos2 .yxxyxxxxxxx 因?yàn)樗?xye求的 導(dǎo) 數(shù)例 4 解21,()xxxeyyeexe 因 為所 以ta n,.yxy已 知求例 5 解222222sincossin1,.coscoscos1tancos1cotsinxxxyyxxxxxxx因?yàn)樗约?()這正是正切函數(shù)的求導(dǎo)公式.同法可求 ()思考題1.牢記函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則;答案?12. xx答案課堂練習(xí)題31.3ln3;求的導(dǎo)數(shù)xyxy答

16、案 22.1093,.設(shè)求-1f xxxf 答案( ),( ),( ), .xuxuxxyf uudydy duyfxxdxdu dxyy u設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 處可導(dǎo)函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn) 處可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn) 處也可導(dǎo) 且有或?qū)懗?定理 上述定理又稱鏈鎖法則.即復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù) 對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).該法則可推廣到有限次復(fù)合形成的復(fù)合函數(shù)上去.如( ),( ),( ) ( ).xuvxyf u uv vxyfxyy u v 若都有是可導(dǎo)函數(shù),則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為28(12).yx求的 導(dǎo) 數(shù)例 1 解2872712, 8432 (12)xuxuxyuyy uuxxx 令則所

17、以ln tan.yx求的 導(dǎo) 數(shù)例 2 解2tan ,ln .111 sincoscosxuxuxyuyy uuxxx令則所以 22sin.1xyx求的導(dǎo)數(shù)例3 解22222 22 221212cos22cos.11(1)(1)xxxxxxyxxxx 12sin2.xy 求的導(dǎo)數(shù)例4 解1122sin22111ln22sin2ln2 2sincossin2.xxyxxxxx22ln().yxxa求的導(dǎo)數(shù)例5 解2222221211.2xyxxaxaxa例6 證明導(dǎo)數(shù)公式:11(1)(ln);(2)(),0.xxxxx為任意實(shí)數(shù)證1(1)0,lnln .(ln),0,lnln(),11(ln)(

18、 1),ln;xxxxxxxxxxxxx 當(dāng)時則當(dāng)時1所以于是有公式-lnln1(2).,1.xxnyxy eyexx 在第一節(jié)中就 = 為正整數(shù)情況證明過這個公式表面上不是一個復(fù)合函數(shù) 但它可以寫成于是( ),:f x已 知可 導(dǎo) 求例 7 (1)(ln) ;(2)().nfxfxa解1(1)(ln )(ln )(ln )(ln );fxfxxfxx1(2)()()()()() .nnnnnfx afx ax an x afx a1.lntan3請寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程;xy 答案22221.121?1 2.已知ln則求導(dǎo)的錯x誤在哪里xy =yxxx 答案3.,?兩個可以復(fù)合的函數(shù)都可導(dǎo)時

19、,它們的復(fù)合函數(shù)一定可導(dǎo)該命題是否正確 為什么答案思考題課堂練習(xí)題211.cos 21;xyexy求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)答案222.,.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (2) f xxdyy= fey= edx答案一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為了求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，先研究一般反函數(shù)的求導(dǎo)法.( ),( ) 0,1( )( ),( ).( )xyyxyyf xf xy如果為存在反函數(shù)的可微函數(shù)且則的反函數(shù)也可微且 定理 :( ),( )( ),11xyyf x yxyf xxy xydyydxdxxdy 注意 要正確理解定理的含義,左端是函數(shù)對的導(dǎo)數(shù),右端是的反函數(shù)對 求導(dǎo)的倒數(shù).為更明顯起見,定理結(jié)論或?qū)懗苫騛rcsin

20、 ,( 11).yxx 求反正弦函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)例1 解2222arcsinsin,2 21arcsin11arccos11arctan11arccot1yxxyyxxxxxxxx 因?yàn)槭堑姆春瘮?shù),即 ()同理可求得 () () ()例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：3211(1)arccos;arctan;arcsin4.12xxy xyy xxxx (2) (3)解2331111(1)3arccos211yxxxxx2213arccos;21xxxx2221(1) (1)1(2);(1)1111xxyxxxx 二、初等函數(shù)求導(dǎo)問題1.求導(dǎo)法則2(1)();(2)();(3);(4),(),1,uuv u

21、vu vuvuvuv uvvvyy uyuxxu xyxxy 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;(5)反函求導(dǎo)法則;22112(3)arcsinarcsin2222412xxxyxxx 2.基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式122(1)( )0,();11(3)()ln ,( );,(ln );ln(5)(sin )cos ;cossin ;11(7)(tan );cot;cossin(9)(arcxxxxaccxxaaa eelog xxxxaxxxxxxxx為常數(shù) (2)() (4)() (6)() (8)()222211sin );arccos;1111(11)(arctan );cot.11xxxxxarcxxx

22、(10)() (12)()思考題1.初等函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)都可導(dǎo)嗎?答案2.單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然單調(diào)嗎?請舉例說明.答案y=x3.理解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理,并試用其求反正切函數(shù)arctan 的導(dǎo)函數(shù).答案課堂練習(xí)題221.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)4- ; (2)arctan2xy=xy=答案 ln 1,.2.設(shè)求f xxyff xy答案一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)22( )( , ) 0,.1,0yxyxyf xxyF x yyxxyeexy 變量 已寫成自變量 的明顯表達(dá)式的那種函數(shù)叫作顯數(shù).如果 和 的依賴關(guān)系隱藏在某個方程那么叫作 的隱數(shù)如函函 有的隱函數(shù)可以顯化，有的則不能，不論隱函數(shù)是否能顯化，可以直

23、接由方程求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).lncos2.xyeyxxyy求由方程所確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)例1 解()ln2sin22sin2lnxyxyxyyxyeyxyyxxxyxyexyxex方程兩端 對 求導(dǎo)有 所以 ( ),( )u u x v v x 這里均為可導(dǎo)函數(shù).注意其既不是冪函數(shù),也不是指數(shù)函數(shù),稱為冪指函數(shù),不能錯誤地按冪函數(shù)或按指數(shù)函數(shù)來求導(dǎo).,lnln1,ln(ln)vyuyvuxyvuvuyuvvyuvuuu對 于 函 數(shù)先 兩 邊 取 自 然 對 數(shù) 1兩 邊 對求 導(dǎo) 所 以 二、冪指函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)vy u0u sin(ln )(1).xyxx求的導(dǎo)數(shù)例2 解sinlnsi

24、n lnln .111,cos lnlnsinlnsin(ln )(cos lnln)lnxyxxxyxxxyxxxyxxxxx方程兩端對 求導(dǎo)所以 在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中,僅有和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和最簡單,利用對數(shù)可以簡化乘積和商及乘方的導(dǎo)數(shù).如例323(1)(2).(3)(4)xxyxx求 函 數(shù)的 導(dǎo) 數(shù)例 3 解231lnln(1) 2ln(2) ln(3) ln(4),31121131234(1)(2)1121131234(3)(4)yxxxxxyyxxxxxxyxxxxxx 方程兩端對 求導(dǎo)1 所以 三、由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)法( ),( ).xxtyxtytyxy 參數(shù)方程確定了 是 的

25、函數(shù)一般情況下消去參變量 得到 和 的直接對應(yīng)關(guān)系式是有困難的.因此,總希望有一種方法,直接由參數(shù)方程式求出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)11,( ),( ),( ) 0,( )( ),( ) .( ) ( )txxttxt ytttxttxyxyxytyy txt 為此 設(shè)函數(shù)關(guān)于 可導(dǎo)且存在反函數(shù)則 為 的復(fù)合函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)求導(dǎo)法則33cos( ).sinxatdyyf xyatdx求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例4 解223sincostan ,.23cos( sin )txtyattnyx tnattx 為整數(shù)cos,.sin4xattybt求橢圓在處的切線方程例5 解coscot ,.

26、4sin222(),2022txtybtbbabytytxyxaatatxbbayxbx ayaba所以當(dāng)時所以所求切線方程 即思考題 111., 已知則分析求解中錯誤.xxxxxyxyxx xxx xx答案2.隱函數(shù)求導(dǎo)結(jié)果中往往含有 ,這是為什么?y答案3.參數(shù)方程求導(dǎo)時應(yīng)注意些什么?答案課堂練習(xí)題,1.求由方程所確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).x+yxeyy答案.4sin2.寫出曲線在處的切線方程cos2x=tty=t答案2222,( )( ),( ),( ),( )( ),( ),.yf xxydf xdyf xyf xxdxdxd f xd yyf xy fxdxdx 已經(jīng)知道 一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

27、仍是 的一個函數(shù),記作或如果導(dǎo)數(shù)關(guān)于 仍是可導(dǎo)的它的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 記作或3333,( )( )( ),( ),.yfxyf xd f xd yyfxdxdx 同理 二階導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)的階導(dǎo)數(shù) 記作或三( )( ),( ),( )( ),.nnnnnnyf xnyd f xd yfxdxdx 依次類推 就可以定義函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù),并且記作或 二階和二階以上導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱稱高階導(dǎo)數(shù)，自然原來所說的導(dǎo)數(shù)就是一階導(dǎo)數(shù).由導(dǎo)數(shù)的定義，很容易寫出二階及二階以上導(dǎo)數(shù)定義.如00()( )( )lim()( )( )limxxfxxfxfxxfxxfxfxx 高階導(dǎo)數(shù)也有許多實(shí)際背景.例如，加速度是速

28、度的變化率，因而加速度是速度對時間的導(dǎo)數(shù)，但速度本身是路程對時間的導(dǎo)數(shù)，所以加速度是路程對時間的二階導(dǎo)數(shù)，并把此說成二階導(dǎo)數(shù)的一個物理模型.1011,(0).nnnnny a xaxa x aa求 次多項(xiàng)式函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)例1 解120121(1)2,nnnnyna xna xaxa23012(1)(1)(2)2,nnnyn na xnna xa( )0(1)(2)! ,0.(!.)nnnyn ayynn說明 次多項(xiàng)式, 階以上導(dǎo)數(shù)均為零;(2);(3).xxxyeyeyan求的 階導(dǎo)數(shù)例2 (1)解( )(1),;nxxxxyeyeyeye ( )2(2),;nxxxxnyeyeyeye (

29、)2lnlnln(3),;nxxxxnaaayayayaya sin.yxn求 正 弦 函 數(shù)的 階 導(dǎo) 數(shù)例 3 解cossin,2cossin2,22cos2sin3,22sin2nyxx xyxxyxxyx n ln(1).yxn求函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)例4 解2341112!3!(4),1(1)(1)(1)(1)!( )( 1).(1)nnyyyyxxxxnnyx 思考題1.請說明求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì).答案nn2.證明 次多項(xiàng)式 階以上導(dǎo)數(shù)為零.答案課堂練習(xí)題 3,.fxyfx1.已知二階導(dǎo)數(shù)存在 求的二階導(dǎo)數(shù)答案 62.2,1?.f xxf 設(shè) 求答案一、微分的概念0,0.( )lim

30、xyxxyf xx 前幾節(jié)研究了導(dǎo)數(shù) 所謂的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的改變量與自變量的改變量的比值當(dāng)時的極限即 導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)相對于自變量變化快慢的程度(導(dǎo)數(shù)絕對值大,函數(shù)y相對于自變量x變化的速度快;小則慢,導(dǎo)數(shù)值為零,幾乎無改變),而不是改變量本身,然而在許多情形下,需要考察和估計(jì)函數(shù)的改變量. 計(jì)算函數(shù)的改變量一般沒有什么好竅門,只需兩個函數(shù)值相減即可.一般來講,一些復(fù)雜函數(shù)這樣運(yùn)算較麻煩,并且又不實(shí)際,因?yàn)槭澜缟辖^對精確的東西是沒有的.所以當(dāng)自變量的改變量 很小時,要對函數(shù)的改變量 進(jìn)行估計(jì).xy先看一個實(shí)例.2:,SxSxx 正方形金屬薄片的面積 是邊長 的函數(shù)受熱冷的影響邊長有一改變量面積相應(yīng)地

31、有一改變量222()2()Sxxxxxx (14 7),.S見圖陰影部分包含以下兩部分14 7圖 金屬薄片面積改變量xx2() x2(1)2,2 ()(2)().x xxxSxx是線性部分 且以為線性部分系數(shù)是關(guān)于的高階無窮小部分,(1),(2),.(1),(1).xSSx xxS 因此當(dāng)很小時為的主部換句話說,可以用2來近似代替,所產(chǎn)生的誤差關(guān)于的高階無窮小在實(shí)際問題中影響不在可忽略不計(jì)并且很便于計(jì)算是很有用的所以稱為的主要部分,( )( ).xxyf xyyf x 現(xiàn)在轉(zhuǎn)到一般情形當(dāng)自變量 有一改變量時函數(shù)的相應(yīng)改變量是否可以分成類似于實(shí)例中的兩部分呢?結(jié)論是,只要可導(dǎo)這一定是可能的理由是

32、( ),f xx函數(shù)改變量的主要部分給它另起一個名字,叫作函數(shù)的微分.0lim( )xyfxx 因?yàn)?( ),(0)yfxxxx 所以其中0,當(dāng).( )( ),0,0,fxxfxxa xxx 果然函數(shù)的改變量分成兩部分 第一部分的線性部分因?yàn)橹胁缓诙糠钟捎陔S時所以其關(guān)于為高階無窮小.( ),( ).:( ),(0 ,0)yf xf xxdydyf xxy dyxx 義 設(shè)函數(shù)可導(dǎo)稱為函數(shù)的微分,記作即 根據(jù)前面的討論,有 時 定(1),;yxdyyx 它是函數(shù)改變量的主要部分因此當(dāng)很小時用微分近似代替改變量誤差關(guān)于為高階無窮小(2),x 它是自變量的改變量的線性函數(shù)且以導(dǎo)數(shù)為系數(shù),是較容易

33、計(jì)算的.1(14 19)1,0,0.dyyxyyxydydyy 改寫有當(dāng)時令兩端取極限,便得與為等價(jià)無窮小其進(jìn)一步說明了近似代替理由所在.211,0.01yxxx 求函數(shù)在處時的增量與微分.例1 解22111(1.01)(1) (1.011) (11) 0.0201,22;0.02.0.0001.xxxyffyxdyyxydy 與誤差為32,yx yx yx由微分的定義 很容易寫出函數(shù)等的微分.322()3; ()2;1.d xxx d xxx dxxx 即,( )(14 20)( ),( ).xdxxxdyf x dxdyf xf xdxdydx 最后一式說明自變量 的微分就是自變量 的改變

34、量于是習(xí)慣把函數(shù)的微分寫成 (2-20)由式得可知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分除以自變量的微分于是習(xí)慣上稱導(dǎo)數(shù)為微商.二、微分的運(yùn)算 按照定義，一個函數(shù)的微分就等于它的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分，所以由導(dǎo)數(shù)便可立刻寫出微分公式，sin,cos ,cos;1ln,.yxyxdyxdxyxydydxxx 所 以1 =, 所 以 , u vx 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,對微分也是成立的.即設(shè)為 的可微函數(shù),則2(1)();(2)();(3),(0).d uvd ud vd u vvd uu d vuvd uu d vdvvv( )( );,( ),( )( ),( )( ).,( ),uyf udyf x duuu

35、xdyydxfxx dxdux dxdyf u duuyf u 應(yīng)該著重指出一點(diǎn),當(dāng) 為自變量時,函數(shù)的微分為當(dāng) 不是自變量而是別一個變量的函數(shù)時按照微分的定義及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有但故這表明不論 是自變量還是中間變量,函數(shù)的微分式都是一樣的這叫作一階微分形式的不變性.sin.xye求 函 數(shù)的 微 分例 2 解sinsinsinsinsin,sincos,sincosuuxxxxxudydee duedxedxdyedxedx把看成中間變量則 復(fù)合函數(shù)微分時 可以不明顯寫出中間變量,如上題 1 3cos.xyex求函數(shù)的微分例3 解1 31 31 31 31 31 3(cos )coscos(

36、 3)cos( sin )(3cossin ).xxxxxxdyd exdxeedxedxex dxexx dx = =-在括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù).例4 (1) ();()cos.dxdxdwtdt (2) 解2,;(2)sin,().xcwtccw1直 觀 觀 察 不 難 看 出 (1)應(yīng) 填21應(yīng) 填其 中 為 常 數(shù)tan.yexyxy求由方程所確定的函數(shù) 的微分例5 解2sec1,.2cosyyx ye dy ydx xdydxdydxexx方程兩端分得所以(ln ).xyxdy求函數(shù)的微分例6 解lnln(ln ).111lnln,(ln ) lnln.lnlnxyxxdyxdxdxd

37、yxxdxyxx兩端微分得所以1,;.yxxydyyydytdttyyxxdxdxxxttdt 順便指出利用微商可以方便驗(yàn)證反函數(shù)求導(dǎo)法則參數(shù)方程求導(dǎo)法則的正確性如三、近似計(jì)算000000000000( )( ) 0,( ),()( )( )()( )( ),( )( )( )(yf xxf xxy dyf xxf xxf xf xxf xxf xf xxxxxf xf xf xx 如果在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)且很小時有 或?qū)懗?所以便有近似公式 若令上式可以寫 0)x30sin利用微分計(jì)算30的近似值.例7 解30 30.6360把寫成弧度為( )sin ,( )cos ,06360f xx fxxx

38、x 設(shè)取sin30 30sinsincos636066360所以130.5076223600,0,( )( )(0)0,.xf xf xfxxx在近似公中 取有 注意到這里的 與 點(diǎn)很接近 即數(shù)值較小時1;(2)(1)1;(3)sin;(4)tan;(5)ln(1);xexxxx xx xxx 由上式可以推了工程上幾個常用的近似公式.(1)思考題1.,? 從本質(zhì)上可微即可導(dǎo) 從形式上兩者有何區(qū)別 在應(yīng)用方面呢答案2. 自變量的導(dǎo)數(shù)和自變量的微分一樣嗎?答案 xy=dy3.對于形如x的函數(shù)求的關(guān)鍵是什么?答案課堂練習(xí)題cossin1.利用微分性質(zhì)將適當(dāng)函數(shù)填入下列括號內(nèi)使等式成立.(1) (2)

39、 dtdtdxdx答案2.sin, , , 是常數(shù)求SAtAds 答案求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一.學(xué)習(xí)Mathemmatica命令Mathematica的求導(dǎo)數(shù)命令調(diào)用格式為( ) , , , nD f x xf xD f xx nfx 求 ( ) 求( )二.導(dǎo)數(shù)概念根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，利用Mathematica的求極限命令可以求出函數(shù)在任何一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).Limit(fx+h-fx)/h,h-0( ),(0).xf xef設(shè)用定義計(jì)算例5 解 定義函數(shù)001: 1( )()()00lim,xxInf xExp xoutefxxfxxfxxhx 在 某 一 點(diǎn)的 導(dǎo) 數(shù) 定 義 為 極 限 記輸 入 命

40、令 Limit(fh-f0)/h,h-0得 結(jié) 果 為 1.三.求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例6 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；212sin342(1)25;(2)cos2cos2 ;(3)4lnln .xyxxyxxyyx (4)解2In1:=DSqrtx2-2x+5,x-2+2xOut1=2 5-2x+x2In2:=DCosx2+2Cos2x,xOut2=-4Sin2x-2xSinx In3:=D4Sinx,xsinxOut3=4CosxLog4In4:=DLogLogx,x1Out4= xLogx(20)22( ),( ).xf xx efx設(shè)求例7 解2x2x2xIn5:=Dx2*E(2x),x,202xOut5=99614720e +20971502e +1048576e 1.由可導(dǎo)必連續(xù)可知,連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件.返回 00,.02.的幾何意義表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率fxyfxxy返回3.,.00不一定.因?yàn)槭窍惹髮?dǎo)后代值,而是先代值后求導(dǎo) 后者