基本積分公式和直接積分法

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容: :1.1.基本積分公式基本積分公式2.2.直接積分法直接積分法 Cdx0)1 Cxdxx111)2 Cxdxxln1)3 )1, 0(ln)4aaCaadxaxx Cedxexx)5 Cxxdxcossin)6 Cxxdxsincos)7Cxxdx tansec)82 Cxxdxcotcsc)92 Cxxdxxsectansec)10 Cxxdxxcsccotcsc)11 Cxxdxarcsin1)122 Cxxdxarctan1)132 dxxgdxxfdxxgxf)()()()( 兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于各函數(shù)不定積分兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于各函數(shù)不定積分的代數(shù)

2、和，即的代數(shù)和，即因為因為 )()()()()()(xgxfdxxgdxxfdxxgdxxf 故由不定積分的定義即知定理故由不定積分的定義即知定理1成立。類似地，可以證明成立。類似地，可以證明非零常數(shù)因子可以提到積分號前面，即非零常數(shù)因子可以提到積分號前面，即 )0()()(adxxfadxxaf定理定理1 1證證定理定理2 2 綜合定理綜合定理1和定理和定理2，可以得出不定積分的線性性質(zhì)：，可以得出不定積分的線性性質(zhì)：dxxfaxfaxfann)()()(2211 dxxfadxxfadxxfann)()()(2211不全為零）不全為零）（其中（其中naaa,21 即有限個函數(shù)線性組合的不定

3、積分等于各函數(shù)不定積分即有限個函數(shù)線性組合的不定積分等于各函數(shù)不定積分的線性組合的線性組合. 例如例如 dxxxdxdxdxxxdxx2222)21()1(Cxxx 3231 在分項積分后，每個不定積分的結(jié)果都含有任意常在分項積分后，每個不定積分的結(jié)果都含有任意常數(shù)。數(shù)。計算計算 dxxxx)1)(1( 解解 dxxxx)1)(1(dxxxxxx 1 dxxdxxdxxdx21211Cxxxx 232ln23 將被積函數(shù)簡單變形，而后利用不定積將被積函數(shù)簡單變形，而后利用不定積分的基本運算法則，化為能直接套用基本積分公式求不定積分的分的基本運算法則，化為能直接套用基本積分公式求不定積分的積分方

4、法。積分方法。注意：注意：直接積分法直接積分法例例1 1 由于任意常數(shù)的代數(shù)和仍為任意常數(shù)，故只需在最后一個由于任意常數(shù)的代數(shù)和仍為任意常數(shù)，故只需在最后一個積分符號消失的同時，加上一個積分常數(shù)即可。積分符號消失的同時，加上一個積分常數(shù)即可。計算計算 dxxx221解解 dxxx221dxxx 22111 dxxdx211Cxx arctan計算計算dxx 2tandxx 2tan解解 dxx)1(sec2 dxxdx2secCxx tan計算計算 dxx2cos2 dxx2cos2解解 dxx2cos1 dxdxcos21Cxx )sin(21例例2 2例例3 3例例4 4 1 1、基本積分

5、公式、基本積分公式2 2、直接積分法、直接積分法 由于求不定積分和求導數(shù)互為逆運算，因此基本積分由于求不定積分和求導數(shù)互為逆運算，因此基本積分公式是與基本微分公式對應的積分公式。公式是與基本微分公式對應的積分公式。 用直接積分法求不定積分時，需先對被積函數(shù)作代數(shù)恒等用直接積分法求不定積分時，需先對被積函數(shù)作代數(shù)恒等變形（如例變形（如例1 1，例，例2 2等）或三角恒等變形（如例等）或三角恒等變形（如例3 3，例，例4 4等），然等），然后再利用不定積分的基本運算法則，化為能直接用基本積分公后再利用不定積分的基本運算法則，化為能直接用基本積分公式求不定積分的形式，而后求出積分。這里靈活地對被積函數(shù)式求不定積分的形式，而后求出積分。這里靈活地對被積函數(shù)進