概率論與統(tǒng)計1-2 事件的關系和運算

1、一、一、隨機事件間的關系及運算隨機事件間的關系及運算第二節(jié) 事件的關系和運算二、小結與思考題二、小結與思考題第一章一、隨機事件間的關系及運算一、隨機事件間的關系及運算樣本點樣本點 = 基本事件基本事件樣本空間樣本空間 = 全體樣本點全體樣本點= 必然事件必然事件隨機事件是由具有某些特征的基本事件隨機事件是由具有某些特征的基本事件所組成，所以所組成，所以隨機事件隨機事件 = 樣本空間樣本空間 的一個子集的一個子集.如：如：個個外外形形設設袋袋中中有有袋袋中中摸摸球球10.:2E從從中中，字字相相同同的的球球，分分別別標標有有數(shù)數(shù).1021.所所標標的的數(shù)數(shù)字字任任意意摸摸一一球球，觀觀察察球球上

2、上記記 i“摸到標號為摸到標號為i的球的球” (i=1,2,10)則樣本點為：則樣本點為： = i 樣本空間：樣本空間： =1,2,10事件事件D=球的標號是奇數(shù)球的標號是奇數(shù)=1，3，5，7，9F=球的標號球的標號5=1，2，3，4，5 FD,D, F均是均是 的子集的子集.1.運算運算(有有3種）種） 運算運算 符號符號 概率論概率論集合論集合論Venn圖圖 BA和和差差BA 事件事件A發(fā)生發(fā)生而而B不發(fā)生不發(fā)生積積ABBA或或事件事件A與與B同時發(fā)生同時發(fā)生A與與B的并集的并集A與與B的差集的差集A與與B的交集的交集事件事件A與與B至少至少有一個發(fā)生有一個發(fā)生事件事件 A 與與 B 的并

3、的并(和事件和事件).|. ,BeAeeBABABABA 或或，顯顯然然記記作作的的與與事事件件稱稱為為事事件件個個事事件件至至少少發(fā)發(fā)生生一一個個”也也是是一一“二二事事件件和和事事件件實例實例 某種產品的合格與否是由該產品的長度與某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定直徑是否合格所決定,因此因此 “產品不合格產品不合格”是是“長度長度不合格不合格”與與“直徑不合格直徑不合格”的并的并.圖示事件圖示事件 A 與與 B 的并的并. BABA事件事件 A 與與 B 的差的差圖示圖示 A 與與 B 的差的差AB AB 實例實例 “長度合格但直徑不合格長度合格但直徑不合格”是是“長度

4、合格長度合格” 與與“直徑合格直徑合格”的差的差. 由事件由事件 A 出現(xiàn)而事件出現(xiàn)而事件 B 不出現(xiàn)所組成的不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件事件稱為事件 A 與與 B 的差的差. 記作記作 A- - B. AABBA ABB 事件事件 A 與與 B 的交的交 (積事件積事件).ABBA或或積事件也可記作積事件也可記作 .| ,BeAeeBABABABA 且且，顯顯然然記記作作的的與與事事件件事事件件稱稱為為也也是是一一個個事事件件同同時時發(fā)發(fā)生生二二事事件件積積事事件件, ,圖示事件圖示事件A與與B 的積的積事件事件.實例實例 某種產品的合格與否是由該產品的長度某種產品的合格與否是由該產品的長度

5、與直徑是否合格所決定與直徑是否合格所決定,因此因此“產品合格產品合格”是是“長度合格長度合格”與與“直徑合格直徑合格”的交或積事件的交或積事件. ABAB 推廣推廣.,:21121中中至至少少有有一一個個發(fā)發(fā)生生nininAAAAAAA .,:21121中中至至少少有有一一個個發(fā)發(fā)生生niinAAAAAAA .,:21121同同時時發(fā)發(fā)生生nininAAAAAAA .,:21121同同時時發(fā)發(fā)生生niinAAAAAAA 2.關系關系(有有4種）種）關系關系 符號符號 概率論概率論集合論集合論VennVenn圖圖包含包含BA A發(fā)生則發(fā)生則B必發(fā)生必發(fā)生A是是B的的子集子集等價等價BA BA A

6、B 且且A與與B相等相等互斥互斥(互不互不相容相容) AB事件事件A與與B不不能同時發(fā)生能同時發(fā)生A與與B不不相交相交對立對立(互逆互逆)AA A的對立事件的對立事件A A的余集的余集 AA AAA若事件若事件 A 出現(xiàn)出現(xiàn), 必然導致必然導致 B 出現(xiàn)出現(xiàn) , 則稱則稱事件事件 B 包含事件包含事件 A, 記作記作.BAAB 或或實例實例 “長度不合格長度不合格” 必然導致必然導致 “產品不合產品不合格格”所以所以“產品不合格產品不合格” 包含包含“長度不合格長度不合格”.圖示圖示 B 包含包含 A. 包含關系包含關系BA事件事件 A 與與 B 互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件

7、A 的出現(xiàn)必然導致事件的出現(xiàn)必然導致事件 B 不出現(xiàn)不出現(xiàn), B出現(xiàn)也必然導致出現(xiàn)也必然導致 A不出現(xiàn)不出現(xiàn),則稱事件則稱事件 A與與B互不相互不相容容, 即即. ABBA實例實例 拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣, “出現(xiàn)花面出現(xiàn)花面” 與與 “出現(xiàn)字面出現(xiàn)字面” 是互不相容的兩個事件是互不相容的兩個事件.“骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點點” “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)2點點”圖示圖示 A與與B互互斥斥 AB互斥互斥實例實例 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù) . 說明說明 當當A B= 時時,可將可將A B記為記為“直和直和”形式形式A+B. 任意事件任意事件A與不可能事件與不可能事件為互斥為

8、互斥. 設設 A 表示表示“事件事件 A 出現(xiàn)出現(xiàn)”, 則則“事件事件 A 不出現(xiàn)不出現(xiàn)”稱為事件稱為事件 A 的的對立事件或逆事件對立事件或逆事件. 記作記作.A實例實例 “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點點” “骰子不出現(xiàn)骰子不出現(xiàn)1點點”圖示圖示 A 與與 B 的對立的對立. BA 若若 A 與與 B 互逆互逆,則有則有. ABBA且A對立對立事件事件 A 的對立（互逆）事件的對立（互逆）事件注注. 1 互斥與互逆的關系互斥與互逆的關系互逆互逆 互斥互斥如：對于如：對于，2E5,2 BA AB互互斥斥與與BA但但 10, 2, 15 , 2 BA不互逆不互逆與與BA.1086429 , 7 , 5

9、, 3 , 1互逆互逆，與與 GD2 必然事件必然事件 與不可能事件與不可能事件互逆互逆.對立事件與互斥事件的區(qū)別對立事件與互斥事件的區(qū)別 ABABA A、B 對立對立A、B 互斥互斥 . ABBA且, AB互互 斥斥對對 立立3. 運算法運算法ABBA )1(:. 1 交換律交換律BAAB )2()()()1(:. 2CBACBA 結合律結合律)()()2(BCACAB )()()2(CBCACAB BCACCBA )()1(:. 3 分配律分配律)()(CABABCA )(CA)(CBACBAB)(ABC= =CAB )()(CBCA4. 對偶律對偶律(De Morgan定理定理)BABA

10、 )1(意義：意義： “A，B至少有一發(fā)生至少有一發(fā)生”的對立事件的對立事件是是“A，B均不發(fā)生均不發(fā)生”.BAAB )2(意義：意義：“A，B均發(fā)生均發(fā)生”的對立事件是的對立事件是“A，B至少有一個不發(fā)生至少有一個不發(fā)生”.推廣：推廣：niiniiAA11 niiniiAA11 5. .AABBBABA ，則，則若若特別地，特別地，AA,A A=，AA 3例例1 設設 A，B為隨機事件，證明：為隨機事件，證明：(1) A-B=A-AB(2)ABBABAABABA ABAABA )1(證證)(BABA )(BAA BAAABABABA ABAABA )2()(AABA )(BABA ABBAB

11、A ABABABBA )(BAABA 例例2 下列命題是否正確？下列命題是否正確？BAAB )1(A，B至少有至少有一個不發(fā)生一個不發(fā)生A，B均不均不發(fā)生發(fā)生BABA )()2(解解 不正確不正確.BBAABA )(一般地，一般地，AB-AAB特別地，特別地，BBABA ，則則若若從而從而BBAABA )(BCBACAB )()3(解解 正確正確.BCBABCBA )(CBBA )(CBBA CBABBA =CBACBA )(CAB 例例3 設設A A，B B，C C為三個事件，試用這三個事件為三個事件，試用這三個事件的運算關系表示下列事件：的運算關系表示下列事件：.)1(都都不不發(fā)發(fā)生生，發(fā)

12、發(fā)生生，而而CBA可表示為：可表示為：CBA或或CBA.)2(中中恰恰有有一一個個發(fā)發(fā)生生，CBA可表示為：可表示為：CBACBACBA .)3(中中恰恰有有兩兩個個發(fā)發(fā)生生，CBA可表示為：可表示為：BCACBACAB ABCACBCAB 或或.)4(中中不不多多于于一一個個發(fā)發(fā)生生，CBA可表示為：可表示為：CBACBACBACBA .ACBCAB或或例例4 在計算機系學生中任選一名學生，設事件在計算機系學生中任選一名學生，設事件A=“選出的學生是男生選出的學生是男生”；B=“選出的學生是三年級學生選出的學生是三年級學生”；C=“選出的學生是運動員選出的學生是運動員”.)1(的的含含義義敘

13、敘述述事事件件CAB成成立立？在在什什么么條條件件下下，CABC )2(成成立立？什什么么時時候候關關系系BC )3(解解CAB)1(的含義是的含義是“選出的學生是三年級選出的學生是三年級的男生，但他不是運動的男生，但他不是運動員員”.CABC )2(的充要條件是：的充要條件是：CABC ABCC ABABC 又又的充要條件是：的充要條件是：CABC ABC ABC 即即“計算系學生中的運動員都是計算系學生中的運動員都是三年級的男生三年級的男生”.成成立立？什什么么時時候候關關系系BC )3(解解 當運動員都是三年級的學生時，當運動員都是三年級的學生時，C是是B的子事件，即的子事件，即.成成立

14、立BC 設設A,B,C 表示三個隨機事件表示三個隨機事件, ,試將下列事件試將下列事件用用A,B,C 表示出來表示出來. .(1) A 出現(xiàn)出現(xiàn) , B, C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(5) 三個事件都不出現(xiàn)三個事件都不出現(xiàn);(2) A, B都出現(xiàn)都出現(xiàn), C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(3) 三個事件都出現(xiàn)三個事件都出現(xiàn);(4) 三個事件至少有一個出現(xiàn)三個事件至少有一個出現(xiàn);練習練習1(7) 不多于兩個事件出現(xiàn)不多于兩個事件出現(xiàn);(8) 三個事件至少有兩個出現(xiàn)三個事件至少有兩個出現(xiàn);(9) A, B 至少有一個出現(xiàn)至少有一個出現(xiàn), C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(10) A, B, C 中恰好有兩個出現(xiàn)中恰好有兩個出現(xiàn).解解

15、CBA)(1;)(CABorCAB2;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA(6) 不多于一個事件出現(xiàn)不多于一個事件出現(xiàn);CBAor);(CBAor;)8(BCACBACABABC ;)()9(CBA.)10(BCACBACAB ;ABC或或;)6(CBACBACBACBA ,)7(BCACBACABCBACBACBACBA (1)沒有一個是次品沒有一個是次品;(2)至少有一個是次品至少有一個是次品;(3)只有一個是次品只有一個是次品;(4)至少有三個不是次品至少有三個不是次品;(5)恰好有三個是次品恰好有三個是次品; (6)至多有一個是次品至多有一個是次品.解解;)1(4321AAAA:)

16、4 , 3 , 2 , 1(,下下列列各各事事件件表表示示試試用用個個零零件件是是正正品品產產的的第第表表示示他他生生零零件件設設一一個個工工人人生生產產了了四四個個iiAiiA 練習練習24321432143214321)2(AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA ,4321AAAA ;4321AAAA或或;)3(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321)4(AAAAAAAAAAAAAAAA ;4321AAAA 4321432143214321 )5(AAAAAAAAAAAAAAAA .)6(43214321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 二、小結二、小結 概率論與集合論之間的對應關系概率論與集合論之間的對應關系記號記號概率論概率論集合論集合論樣本空間樣本空間, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件隨機事件隨機事件A的對