藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義：考點(diǎn)7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、考點(diǎn)七指數(shù)與指數(shù)函數(shù)知識(shí)梳理1.根式 如果a= xn，那么x叫做a的n次實(shí)數(shù)方根(n>1且n C N*),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的 n次實(shí)數(shù)方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，記為： 露；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，記為: a叫做被開(kāi)方數(shù).±%.式子%叫做根式，其中n叫做根指數(shù),(1)兩個(gè)重要公式a (n為奇數(shù))， n/a=i|a|='a (a> 0),a (a<0)(n為偶數(shù))；(na)n=a(注意a必須使胴有意義).(2)0的任何次方根都是 0.(3)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.2.分?jǐn)?shù)指數(shù)哥(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的概念：m正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥

2、：a n = n/am(a>0, m, nC N ,且n>1).m負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥：a"n =m=一(a>0, m, nCN*,且n>1).a nam0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥沒(méi)有意義.(2)有理數(shù)指數(shù)哥的性質(zhì)：aras= ar+s(a>0, r, sC Q)；但尸 ars(a>0, r, sC Q)；(ab)r = arbr(a>0, b>0 , rCQ).3 .無(wú)理數(shù)指數(shù)募一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)哥ar(a>0, r是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)同 樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)哥.4 .指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)xy

3、= aa>10<a<1圖象7科 1)vHd i，定義域R值域(0, +00)性質(zhì)過(guò)點(diǎn)（0,1）,即x=0時(shí)y=1當(dāng) x>0 時(shí)，y>1;當(dāng) x<0 時(shí)，0<y<1當(dāng) x>0 時(shí)，0<y<1 ;當(dāng) x<0 時(shí)，y>1是R上的增函數(shù)是R上的減函數(shù)典例剖析題型一指數(shù)哥的化簡(jiǎn)與求值例1 "二力的值是.答案 3解析 ，變式訓(xùn)練下列各式正確的是.（填序號(hào)） a°= 1-4產(chǎn)=-4:禧=m 3飛展=3答案解析 根據(jù)根式的性質(zhì)可知 正確.澗=1阿，a=1條件為（aw。）故、錯(cuò).例2化簡(jiǎn)或求值1 10.064 3_

4、1介十16。作十。2111（a3 b 1 ） 2 a 2 b3（2）6a b5解析 （1）原式=丁，J -+ i.。5-.0.4-1 - 1 + 8 + i=5 1= - + 7+ =106 2.1111aN2 a，3-1-1-11（2）原式=-=a 3 2 6 b 2 3 6 =-aa6b6解題要點(diǎn)指數(shù)募運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)哥化成正指數(shù)哥的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù).(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥， 盡可能用塞的形式表示， 運(yùn)用指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答.題型二指

5、數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)例3函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示，其中 a, b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是 .(填 序號(hào)) a>1, b<0 a>1, b>0 0<a<1, b>0 0<a<1, b<0答案解析 由f(x) = ax b的圖象可以觀察出函數(shù)f(x)= ax b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.函數(shù)f(x) = ax-b的圖象是在f(x) = ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以 b<0.變式訓(xùn)練 指數(shù)函數(shù)y=。" *十1恒過(guò)的定點(diǎn)為.2答案(U 2)解析由函數(shù)y=ax恒過(guò)(0, 1)點(diǎn)，_ 2可得當(dāng)

6、3x 2=0,即時(shí)，y=2恒成立，故函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)(3, 2).2故答案為：(' 2).題型三指數(shù)值的大小比較當(dāng)=產(chǎn)，y2 - 8° 43為=價(jià)仃例4答案設(shè)"工3，則yi、V2、V3的大小關(guān)系是yi>y3>y2因?yàn)楹瘮?shù)y=2x在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以yi>y3>y2.,則x的取值范圍是解析原不等式可化為,而指數(shù)函數(shù)y=05 Ri所以x<- 3.解題要點(diǎn) 比較大小時(shí)，首先要觀察有無(wú)同底或是同指數(shù)的，若指數(shù)相同，底數(shù)不同,利用募函數(shù)的單調(diào)性；若底數(shù)相同,指數(shù)不同，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;若底數(shù)不同,指數(shù)也不同，應(yīng)尋找中間值 (常用0,1)

7、進(jìn)行比較.答案12.12332解析函數(shù)xi是減函數(shù)，由2>3,知123又-2-T =31"1反21.31的性質(zhì)，知21. 1 工 1 1,故1 >1- I231 2 所以1311 2< 311 "< I 2當(dāng)堂練習(xí)1.的大小關(guān)系是2 .函數(shù)y= a"3+3恒過(guò)定點(diǎn)答案 (3, 4) 解析 當(dāng)x=3時(shí)，f(3) = a3 3+3=4,所以f(x)必過(guò)定點(diǎn)(3, 4).3 .已知f(x) = 3x b(2<x<4, b為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1),則f(x)的值域答案1,9 解析 由f(x)過(guò)定點(diǎn)(2,1)可知b=2,因f(x)=

8、 3x 2在2,4上是增函數(shù)，f(x)min = f(2) = 1, f(x) max=f(4) = 9.4 .化簡(jiǎn)L的結(jié)果是答案.5 .若指數(shù)函數(shù)y=(a 2)x在(°°, +°°讓是減函數(shù)，那么解得答案 A解析.一指數(shù)函數(shù)y=(a 2)x在(一00, +8)上是減函數(shù),.0<a-2< 1,解得 2V a<3.課后作業(yè)填空題 1.設(shè)集合 A=x|X-1|<2 , B=yy = 2x, xC0, 2,則 AAB= 答案1, 3)解析 由 |x1|<2,解得一1<x<3,由 y=2X, xC 0,2,解得 1WyW

9、4, .An B=( 1,3)n 1,4 = 1,3).2,若a=6:尸，b= !3；口，c= !：尸，則a、b、c的大小關(guān)系是答案 c<b<a解析由y= I;)在R上單調(diào)遞減，知 g ) 4 < |:)3 , 444而方"弓尸' 所以。尸< 3尸 < 少.即 c<b<a.2,27)3 度3.464的值為.答案04.飛S -小+3的值是 .答案?；?(ab)解析當(dāng) ab>0 時(shí)，原式=a- b+ a- b= 2(a- b);當(dāng) ab<0 時(shí)，原式=ba+a b= 0.5.設(shè) a = 40.7, b= 0.30.5, c=

10、log23,則 a、b、c 的大小關(guān)系是 答案 b<c<a1斛析a=4 >4=2,0<b=0.3 <1,1<c= log23<2,所以 b<c<a .6.函數(shù) f(x) = 4i2x+ j 1的定義域?yàn)閂x+3答案 (3,0解析若使函數(shù)有意義,1-2x>0,解得一3<x< 0.x+ 3>07 .已知 f(x) = 2x+2 x,答案 7f(a) = 3,則 f(2a)等于2a+2=9,即 22a+2 2a=7, f(2a)= 7.a的取值范圍是解析 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=(a= 2)x在xC R上是減函數(shù),所以有0vaI2

11、V 1,解得 2< a< 3,即解析 由f(a)=3得2a+2-a=3,兩邊平方得22a+28 .如果指數(shù)函數(shù) y=(a 2)x在xC R上是減函數(shù)，則答案 (2, 3)a的取值范圍為(2, 3).9 .函數(shù)y=ax 1+1過(guò)定點(diǎn)答案 (1, 2)y=ax1+1=1+1=2 ,解析,函數(shù)f(x)=ax過(guò)定點(diǎn)(0, 1),當(dāng)x1=0時(shí)，x=1 ,故丫=2、1+1過(guò)定點(diǎn)(1, 2).故答案為：(1, 2).10.函數(shù)y =-1 -1的定義域是<9 J答案 (8, 0解析由題意得(9)x-1>0,即(9)x> 1, x<0.11 .計(jì)算：243X3/15x6/12 =答案 61解析原式=2X32 X3二 二 二(2) 3 X 126 = 2X 3 2 X 31X2 = 2X 3二、解答題12 .計(jì)算下列各式的值-1 (口 L5 ">< E + 80.25xv- +12(2):二.O至3 =2+4X27=110;.、解析 (1)原式=31二各一3尸+各2(2)原式，8?13 .函數(shù)f(x)=ax(a>0,且aw優(yōu)區(qū)間1,2上的最大值比最小值大求a的值.解析 當(dāng) a>1 時(shí)，f(x) = ax為增函數(shù)，在 xC 1,2上,f(x)最大=f(2)= a2, f(x)最小