數(shù)學(xué)假設(shè)檢驗的概念PPT課件

1、假設(shè)檢驗的基本概念假設(shè)檢驗的基本概念若對若對參數(shù)參數(shù)有所有所了解了解但有懷但有懷疑猜測疑猜測需要證需要證實之時實之時用假設(shè)用假設(shè)檢驗的檢驗的方法來方法來 處理處理若對參數(shù)若對參數(shù)一無所知一無所知用參數(shù)估計用參數(shù)估計的方法處理的方法處理第1頁/共43頁8.1 假設(shè)檢驗的基本思想與概念 假設(shè)檢驗問題 引例 某廠生產(chǎn)的合金強度服從 ，其中 的設(shè)計值 為不低于110(Pa)。為保證質(zhì)量，該 廠每天都要對生產(chǎn)情況做例行檢查，以判斷生 產(chǎn)是否正常進行,即該合金的平均強度不低于 110(Pa)。某天從生產(chǎn)中隨機抽取25塊合金， 測得強度值為x1, x2 , , x25，其均值為 (Pa)，問當(dāng)日生產(chǎn)是否正常

2、？ 108x ( ,16)N第2頁/共43頁(1) 是參數(shù)估計問題嗎？(2) 回答“是”還是“否” ，假設(shè)檢驗問題。(3) 命題“合金平均強度不低于110Pa”正確與 否僅涉及如下兩個參數(shù)集合： 0 :110H 1 :110H 這兩個非空參數(shù)集合都稱作統(tǒng)計假設(shè)，簡稱假設(shè)。 (4) 我們的任務(wù)是利用樣本去判斷假設(shè)（命題） “ ”是否成立。這里的“判斷”在統(tǒng)計學(xué)中 稱為檢驗或檢驗法則。 0H第3頁/共43頁假設(shè)檢驗的基本步驟 一、一、建立假設(shè) 在假設(shè)檢驗中，常把一個被檢驗的假設(shè)稱為原假設(shè)，用 表示，通常將不應(yīng)輕易加以否定的假設(shè)作為原假設(shè)。當(dāng) 被拒絕時而接收的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，用 表示，它們常常成對

3、出現(xiàn)。0H0H1H在上例中，我們可建立如下兩個假設(shè)： 0:110Hvs1:110H第4頁/共43頁二、選擇檢驗統(tǒng)計量，給出拒絕域形式由樣本對原假設(shè)進行判斷總是通過一個統(tǒng)計量完成的，該統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量。使原假設(shè)被拒絕的樣本觀測值所在區(qū)域稱為拒絕域，一般用W 表示，在上例中，樣本均值 愈大，意味著總體均值 也大，因此，合理的拒絕域形如x1( ,):nWxxxcxc第5頁/共43頁正如在數(shù)學(xué)上我們不能用一個例子去證明一個結(jié)論一樣，用一個樣本（例子）不能證明一個命題（假設(shè)）是成立的，但可以用一個例子（樣本）推翻一個命題。因此，從邏輯上看，注重拒絕域是適當(dāng)?shù)摹Ｊ聦嵣?，在“拒絕原假設(shè)”和“拒絕備擇假設(shè)

4、（從而接收原假設(shè)）”之間還有一個模糊域，如今我們把它并入接收域，所以接收域是復(fù)雜的，將之稱為保留域也許更恰當(dāng)，但習(xí)慣上已把它稱為接收域，沒有必要再進行改變，只是應(yīng)注意它的含義。第6頁/共43頁三、選擇顯著性水平由于檢驗法則是根據(jù)樣本做出的，所以檢驗可能犯以下兩類錯誤： 其一是 為真但樣本觀測值落在拒絕域中， 從而拒絕原假設(shè) ，這種錯誤稱為第一類錯 誤，其發(fā)生的概率稱為犯第一類錯誤的概率， 或稱拒真概率，通常記為 其二是 不真（即 為真）但樣本觀測值落 在接受域中，從而接受原假設(shè) ，這種錯誤稱 為第二類錯誤，其發(fā)生的概率稱為犯第二類錯 誤的概率,或稱采偽概率，通常記為 。0H0H.0H1H0H第

5、7頁/共43頁觀測數(shù)據(jù)情況總體情況犯第一類錯誤正確正確犯第二類錯誤為真0H 為真1H1( ,)nxxW1(,)cnxxW第8頁/共43頁 當(dāng) 減小時，必導(dǎo)致的增大； 當(dāng) 減小時，必導(dǎo)致 的增大；說明：在樣本量一定的條件下不可能找到一個使 和 都小的檢驗。 英國統(tǒng)計學(xué)家 Neyman 和 Pearson 提出水平為 的顯著性檢驗的概念。 顯著性檢驗：控制第一類錯誤，讓它不大于 ；而不考慮第二類錯誤概率。數(shù) 稱之為顯著性水平。第9頁/共43頁四、給出拒絕域確定顯著性水平后，可以定出檢驗的拒絕域W。 在上例，若取=0.05, 若令1104/5xu則拒絕域有一種表示:0.051.645Wuuu 第10

6、頁/共43頁五、作出判斷 在有了明確的拒絕域后，根據(jù)樣本觀測值我們可以做出判斷： 當(dāng) 時，則拒絕 即接收 ； 當(dāng) 時，則接收 1.645u 0H1H1.645u 在上例中，由于1081.645.xuu 代人 中，使得因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為該日生產(chǎn)不正常。0H第11頁/共43頁假設(shè)檢驗的內(nèi)容參數(shù)檢驗參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗總體均值總體均值, 均值差的檢驗均值差的檢驗總體方差總體方差, 方差比的檢驗方差比的檢驗分布擬合檢驗分布擬合檢驗符號檢驗符號檢驗秩和檢驗秩和檢驗第12頁/共43頁 通常借助于直觀分析和理論分析相結(jié)合的做法,其基本原理就是人們在實際問題中經(jīng)常采用的所謂實際推斷原理:“一個一個

7、小概率事件在一次試驗中幾乎小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的是不可能發(fā)生的”.假設(shè)檢驗所以可行假設(shè)檢驗所以可行, ,其理論背景為實際其理論背景為實際推斷原理推斷原理, ,即即“小概率原理小概率原理”假設(shè)檢驗的理論依據(jù)第13頁/共43頁實例實例 某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖, 包得的袋裝糖重是一個隨機變量, 它服從正態(tài)分布. .當(dāng)機器正常時, 其均值為0.50.5千克, 標(biāo)準(zhǔn)差為0.0150.015千克. .某日開工后為檢驗包裝機是否正常, 隨機地抽取它所包裝的糖9 9袋, 稱得凈重為( (千克):):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.497 0.

8、506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 0.520 0.515 0.512, 問機器是否正常? ? ,的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差裝糖重總體裝糖重總體分別表示這一天袋分別表示這一天袋和和用用X 分析分析:第14頁/共43頁由長期實踐可知, 標(biāo)準(zhǔn)差較穩(wěn)定, ,015. 0 設(shè)設(shè)),015. 0,( 2 NX則則 .未知未知其中其中 問題問題: 根據(jù)樣本值判斷 . 0.5 0.5 還是還是提出兩個對立假設(shè). : 5 . 0:0100 HH和和再利用已知樣本作出判斷是接受假設(shè) H0 ( 拒絕假設(shè) H1 ) , 還是拒絕假設(shè) H0 (接受假設(shè) H1

9、 ). 如果作出的判斷是接受 H0, 即認(rèn)為機器工作是正常的, 否則, 認(rèn)為是不正常的., 0 則則第15頁/共43頁由于要檢驗的假設(shè)設(shè)計總體均值, 故可借助于樣本均值來判斷. , 的無偏估計量的無偏估計量是是因為因為 X , | , 00不應(yīng)太大不應(yīng)太大則則為真為真所以若所以若 xH),1 , 0(/,00NnXH 為真時為真時當(dāng)當(dāng) , /|00的大小的大小的大小可歸結(jié)為衡量的大小可歸結(jié)為衡量衡量衡量nxx 于是可以選定一個適當(dāng)?shù)恼龜?shù)k,第16頁/共43頁 ,/ 00Hknxx拒絕假設(shè)拒絕假設(shè)時時滿足滿足當(dāng)觀察值當(dāng)觀察值 .,/ ,00Hknxx接受假設(shè)接受假設(shè)時時滿足滿足當(dāng)觀察值當(dāng)觀察值反

10、之反之 ),1 , 0(/00NnXZH 為真時為真時因為當(dāng)因為當(dāng)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點的定義得,2/ zk . ,/ ,/02/002/0HznxHznx接受接受時時拒絕拒絕時時當(dāng)當(dāng) 第17頁/共43頁 0.05, 在實例中若取定在實例中若取定,96. 1 025. 02/ zzk 則則 0.015, , 9 n又已知又已知 0.511, x由樣本算得由樣本算得 1.96,2.2/ 0 nx 即有即有于是拒絕假設(shè)H0, 認(rèn)為包裝機工作不正常.假設(shè)檢驗過程如下:第18頁/共43頁以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的. 0.05, 0.01, , 一般取一般

11、取總是取得很小總是取得很小由于通常由于通常. ,/ , , ,/ , ,2/002/000幾乎是不會發(fā)生的幾乎是不會發(fā)生的的觀察值的觀察值等式等式由一次試驗得到滿足不由一次試驗得到滿足不為真為真就可以認(rèn)為如果就可以認(rèn)為如果根據(jù)實際推斷原理根據(jù)實際推斷原理小概率事件小概率事件是一個是一個時時即即為真為真因而當(dāng)因而當(dāng)xznxHznXH 第19頁/共43頁. , ,/ 002/0HHznxx因而只能接受因而只能接受沒有理由拒絕假設(shè)沒有理由拒絕假設(shè)則則滿足不等式滿足不等式若出現(xiàn)觀察值若出現(xiàn)觀察值 . ,/ ,002/0HHxznx因而拒絕因而拒絕正確性正確性的的的假設(shè)的假設(shè)則我們有理由懷疑原來則我們有

12、理由懷疑原來的觀察值的觀察值得到了滿足不等式得到了滿足不等式在一次試驗中在一次試驗中 第20頁/共43頁二、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念.稱為顯著性水平稱為顯著性水平數(shù)數(shù) 1. 顯著性水平顯著性水平 .0之下作出的之下作出的著性水平著性水平在顯在顯有無顯著差異的判斷是有無顯著差異的判斷是與與上述關(guān)于上述關(guān)于 x第21頁/共43頁2. 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量. /0稱為檢驗統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計量統(tǒng)計量nXZ 3. 原假設(shè)與備擇假設(shè)原假設(shè)與備擇假設(shè)假設(shè)檢驗問題通常敘述為: ,下下在顯著性水平在顯著性水平 . ,01”檢驗檢驗針對針對下下或稱為“在顯著性水平或稱為“在顯著性水平HH . , 10稱為備擇假設(shè)

13、稱為備擇假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè) HH . : , : 0100 HH檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)第22頁/共43頁4. 拒絕域與臨界點拒絕域與臨界點 當(dāng)檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域C中的值時, 我們拒絕原假設(shè)H0, 則稱區(qū)域C為拒絕域拒絕域, 拒絕域的邊界點稱為臨界點臨界點.如在前面實例中, ,|2/ zz 拒絕域為拒絕域為. ,2/2/ zzzz 臨界點為臨界點為第23頁/共43頁5. 兩類錯誤及記號兩類錯誤及記號 假設(shè)檢驗的依據(jù)是: 小概率事件在一次試驗中很難發(fā)生, 但很難發(fā)生不等于不發(fā)生, 因而假設(shè)檢驗所作出的結(jié)論有可能是錯誤的. 這種錯誤有兩類:(1) 當(dāng)原假設(shè)H0為真, 觀察值卻落入拒

14、絕域, 而作出了拒絕H0的判斷, 稱做第一類錯誤第一類錯誤, 又叫棄棄真錯誤真錯誤, 這類錯誤是“以真為假”. 犯第一類錯誤的概率是顯著性水平. 第24頁/共43頁(2) 當(dāng)原假設(shè) H0 不真, 而觀察值卻落入接受域, 而作出了接受 H0 的判斷, 稱做第二類錯誤第二類錯誤, 又叫取偽錯誤取偽錯誤, 這類錯誤是“以假為真”. . 0001HPHHPH接受接受或或不真接受不真接受當(dāng)當(dāng) 當(dāng)樣本容量 n 一定時, 若減少犯第一類錯誤的概率, 則犯第二類錯誤的概率往往增大.犯第二類錯誤的概率記為 若要使犯兩類錯誤的概率都減小, 除非增加樣本容量.第25頁/共43頁6. 顯著性檢驗顯著性檢驗001001

15、01000 : : , : , , : , .HHHHH在和中 備擇假設(shè)表示可能大于也可能小于稱為雙邊備擇假設(shè) 形如的假設(shè)檢雙邊假稱為設(shè)檢驗驗7. 雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗 只對犯第一類錯誤的概率加以控制, 而不考慮犯第二類錯誤的概率的檢驗, 稱為顯著性檢驗顯著性檢驗.第26頁/共43頁8. 右邊檢驗與左邊檢驗右邊檢驗與左邊檢驗 . : , : 0100稱為右邊檢驗稱為右邊檢驗的假設(shè)檢驗的假設(shè)檢驗形如形如 HH . : , : 0100稱為左邊檢驗稱為左邊檢驗的假設(shè)檢驗的假設(shè)檢驗形如形如 HH右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為單邊檢驗單邊檢驗.第27頁

16、/共43頁9. 單邊檢驗的拒絕域單邊檢驗的拒絕域 , ,),(212 給定顯著性水平給定顯著性水平的樣本的樣本是來自總體是來自總體為已知為已知設(shè)總體設(shè)總體XXXXNXn./ ,/00 znxzznxz 左邊檢驗的拒絕域為左邊檢驗的拒絕域為右邊檢驗的拒絕域為右邊檢驗的拒絕域為則則證明證明 (1)右邊檢驗 , / 0nXZ 取檢驗統(tǒng)計量取檢驗統(tǒng)計量 ,:,: 0100 HH第28頁/共43頁 , 10要小要小中的中的都比都比中的全部中的全部因因 HH , , 1往往偏大往往偏大觀察值觀察值為真時為真時當(dāng)當(dāng)xH , , 為待定正常數(shù)為待定正常數(shù)因此拒絕域的形式為因此拒絕域的形式為kkx 00HHP為

17、真拒絕為真拒絕由由 kXPH 0 nknXP/000 nknXP/00 第29頁/共43頁上式不等號成立的原因:, 0 因為因為,/ 0nXnX 所以所以./000 nknXnknX 事件事件 , 00 HHP為真拒絕為真拒絕要控制要控制./00 nknXP只需令只需令第30頁/共43頁故右邊檢驗的拒絕域為故右邊檢驗的拒絕域為),1, 0(/ NnX 因為因為,/ 0 znk 所以所以,0 znk ./0 znxz 即即,0 znx 第31頁/共43頁證明證明 (2)左邊檢驗 ,:, : 0100 HH , ,/ 0待定待定拒絕域的形式為拒絕域的形式為kknxz 00HHP為真拒絕為真拒絕由由

18、,/00 knxP , zk 得得./0 znxz 故左邊檢驗的拒絕域為故左邊檢驗的拒絕域為第32頁/共43頁三、假設(shè)檢驗的一般步驟 ; ,. 110HH假設(shè)假設(shè)及備擇及備擇提出原假設(shè)提出原假設(shè)根據(jù)實際問題的要求根據(jù)實際問題的要求 ; . 2n以及樣本容量以及樣本容量給定顯著性水平給定顯著性水平 3. 確定檢驗統(tǒng)計量以及拒絕域形式; ;. 400求出拒絕域求出拒絕域為真拒絕為真拒絕按按 HHP . ,. 50H受還是拒絕受還是拒絕根據(jù)樣本觀察值確定接根據(jù)樣本觀察值確定接取樣取樣第33頁/共43頁四、典型例題.05. 0 ? s,/cm2 s./cm25.41 ,25,. s/cm2, s/cm

19、40),(2 取顯著水平取顯著水平燒率有顯著的提高燒率有顯著的提高以往生產(chǎn)的推進器的燃以往生產(chǎn)的推進器的燃推進器的燃燒率是否較推進器的燃燒率是否較問用新方法生產(chǎn)的問用新方法生產(chǎn)的法下總體均方差仍為法下總體均方差仍為設(shè)在新方設(shè)在新方得燃燒率的樣本均值為得燃燒率的樣本均值為測測只只隨機取隨機取進器進器用新方法生產(chǎn)了一批推用新方法生產(chǎn)了一批推現(xiàn)現(xiàn)從正態(tài)分布從正態(tài)分布推進器的燃燒率服推進器的燃燒率服某工廠生產(chǎn)的固體燃料某工廠生產(chǎn)的固體燃料xnN例例1第34頁/共43頁 , )( : 01燒率燒率即假設(shè)新方法提高了燃即假設(shè)新方法提高了燃 H這是右邊檢驗問題, .645. 1/05. 00 znxz 拒絕

20、域為拒絕域為 ,645. 13.125/0 nxz 因為因為 ,值落在拒絕域中值落在拒絕域中z . 0.05 0H下拒絕下拒絕故在顯著性水平故在顯著性水平 即認(rèn)為這批推進器的燃燒率較以往有顯著提高.解解根據(jù)題意需要檢驗假設(shè) , )( 40: 00燃燒率燃燒率即假設(shè)新方法沒有提高即假設(shè)新方法沒有提高 H第35頁/共43頁.251, |),( ,25)2(;|, 1)1(. 0.05, )0:(0: ,)100,(),(251251111111021 iinxxdxxxWndxxWnWdHHNXXX其中其中概率為概率為的檢驗犯第一類錯誤的的檢驗犯第一類錯誤的為拒絕域為拒絕域使得以使得以分別確定常數(shù)分別確定常數(shù)兩種情況下兩種情況下在下列在下列要檢驗要檢驗的一個樣本的一個樣本是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體設(shè)設(shè) 解解 ,1)1(0成立成立若若時時Hn , )1 , 0(10 1NX則則例例2第36頁/共43頁 dXPWXP 111 10101dXP 1010dd 1012d ,05. 0 ,975. 010 d ,96. 110 d; 6 .19 d第37頁/共43頁 ,25)2(0成立成立若若時時Hn , )1 , 0(1025 NX則則 dXPWXXP 1251, 22dXP 22dd 212d ,05. 0 ,975. 02 d ,96. 12 d.92. 3