雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)一、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).1.雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fi、F2的距離差的絕對(duì)值是常數(shù)(大于零，小于1F1F2I)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。兩定點(diǎn)Fi、F2是焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2I是焦距，用2c表示，常數(shù)用2a表示。(1)若IMF|-IMFI=2a時(shí)，曲線只表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支雙曲線.(2)若|MF|-|MF|=-2a時(shí)，曲線只表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的一支雙曲線.(3)若2a=2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不再是雙曲線，而是以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線.(4)若2a>2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.22.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2 a2y 2 a2匕=1(a&g

2、t;0,b>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線;b225=1(a>0,b>0)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.b2判定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，不像橢圓似的比較x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系數(shù)的符號(hào)，焦點(diǎn)在系數(shù)正的那條軸上.3.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程22xy/二彳1(a0,b0)a2b222yx/1(a0,b0)a2b2圖象a,b,c關(guān)系范圍頂點(diǎn)對(duì)稱性關(guān)于x,y軸成軸對(duì)稱、關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱漸近線離心率住日等軸雙曲線:x2-y2=a2(a刊)，它的漸近線方程為y=坎離心率e=J2.4.直線與雙曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與雙曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來確定。

3、(1)通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式，則有：0直線與雙曲線相交于兩個(gè)點(diǎn)；0直線與雙曲線相交于一個(gè)點(diǎn)；0直線與雙曲線無交點(diǎn).(2)若得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與雙曲線相交于一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)直線平行于雙曲線的一條漸近線.是直線l的斜率，(x-yj,(3)直線l被雙曲線截得的弦長(zhǎng)AB而k2)(x1x2)2或J(12)(y1y2)2,其中k(x2,y2)是直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，且(x1x2)2(x1x2)24x1x2,x1x2,xx2可由韋達(dá)定理整體給出.二、例題選講例1、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的實(shí)軸與虛

4、軸相等，一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為#,則雙曲線方程為（）A. x2-y2= 1 B. x2-y2 = 2C. x2y2=42D. x2-y2 = 2解析：由題意，設(shè)雙曲線方程為x2 y2一.一 .11(a>0),則 c= 72a,漸近線 y=x,，號(hào)=2.a2=2.，雙曲線方程為x2-y2 = 2.答案：B例2、根據(jù)以下條件,分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(PEPF2)2 2 PF PF (1 cos60)過點(diǎn)P(3,（2）F1、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線離心率為F1PF260,Spf1f21243.解：（1）依題意，雙曲線白實(shí)軸可能在x軸上，也可能在y軸上，分別討

5、論如下.如雙曲線的實(shí)軸在x軸上，設(shè)22二41為所求.a2b25由e，得2c25a24由點(diǎn)P（3,版）在雙曲線上,241.,b2T722乂ab由、得a21，b2若雙曲線的實(shí)軸在y軸上，設(shè)2x2ab21為所求.同理有2c-2a529.1)22)4aba2b2c2,解之，得b2172（不合，舍去）.雙曲線的實(shí)軸只能在x軸上,所求雙曲線方程為4y2（2）設(shè)雙曲線方程為2x2a2工b21,因F1F22c,2,由雙曲線的定義，得PF12(2c)2PF12aPF2由余弦，得2PFj|PF2cosF1PF2224c2c2PFiPF2.又SPF1F2PF1PF2sin601273PFiPF248.3c248,c

6、216,一2得a4,2_b12.所求雙曲線的方程為2y12三、鞏固測(cè)試題1.到兩定點(diǎn)F1A.橢圓3,0、F23,0的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)M的軌跡（2.方程A.2xr-13.雙曲線2_y_krnkk12x-2m12A.44.若0kB.線段C.雙曲線D.兩條射線1表示雙曲線，則k的取值范圍是B.2y2mC.D.雙曲線B.2x1的焦距是2.22yC.D.與m有關(guān)A.相同的虛軸225.過雙曲線y-1692-2akbkB.相同的實(shí)軸2y_b2C.相同的漸近線D.相同的焦點(diǎn)1左焦點(diǎn)F1的弦AB長(zhǎng)為6,則ABF2（E為右焦點(diǎn)）的周長(zhǎng)是A.286.雙曲線04B.22C.14D.1212-=1的焦點(diǎn)到漸近

7、線的距離為A.2.3B.2C.3解析：雙曲線%y2=1的焦點(diǎn)為（4,0）或（一4,0）.漸近線方程為y=J3x或y=/3x.由雙曲線的對(duì)稱性可知，任一焦點(diǎn)到任一漸近線的距離相等,|450|d=2J33+12x7.以橢圓一81的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的曲線的方程為（2xC.13D.13x28.過點(diǎn)P（4,4）且與雙曲線x6y291只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有A.1條B.2條C.3條D.4條解析:如圖所示，滿足條件的直線共有3條.9.經(jīng)過兩點(diǎn)A（7,6J2）,B（2，7,3）的雙曲線的方程為2xA.22/1B.匕257521C.D.25752x12525757510.已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)是（

8、-4,0）,（4,0）,則雙曲線方程為（2 x A. 42人=112B.122L=i4C.102匕=162 x D. 62 一 105211.已知P是雙曲線16y-1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且F1PF21209則PF1F2的面積為（）DA.16<3B.9MC.4后D.3v'312.雙曲線25x216y2400的實(shí)軸長(zhǎng)等于，虛軸長(zhǎng)等于，頂點(diǎn)坐標(biāo)為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,漸近線方程為,離心率等于2213.直線yx1與雙曲線二匕1相交于A,B兩點(diǎn)，則AB=12.4V623214.過點(diǎn)M（3,1）且被點(diǎn)M平分的雙曲線y21的弦所在直線方程為413.3x4y502215.雙曲線mxy

9、1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m222x2.雙曲線mxy1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，m<0,且雙曲線方程為y1,4m=1。416.已知雙曲線的離心率e=嘩,且與橢圓*+匕=1有共同的焦點(diǎn)，求該雙曲線的方程.2133解：在橢圓中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（旬10,0）,10_ .5a 2，.a2=8, b2=2.x2v2雙曲線方程為彳一=1.217.已知F1、F2是雙曲線y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足F1PF290,4求552的面積.xx22解：.P為雙曲線y21上的一個(gè)點(diǎn)且F1、F2為焦點(diǎn).4|PFiPF212a4,F1F22c2肥222F1PF290,在RtPF1F2中，PF1PF2F1F220

10、222一一.PF1PF2PF1PF22PF1|PF216,.202PF1|PF216,PF1PF22-1.SF1PF2-|PFlPF2118.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(J3,0)，右頂點(diǎn)為一、1D(2,0)，設(shè)點(diǎn)A1,.2(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程;18.(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c= J3 ,則半短軸b=1.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y24(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(X0,y 0),x- x0=2x 1V。 y=得122y0=2y 12由，點(diǎn)P在

11、橢圓上，得世1)2419(2y 1)2 1，.線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是2 4(y 4)219.已知橢圓C的焦點(diǎn)F1 ( 2J20)和 F2 ( 2J2 , 0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)6,設(shè)直線橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在22X_y2 1.聯(lián)立方程組89x軸上,其中c= 2 J2 ,a=3,從而b=1,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是：y 1,消去y得，10x2x 236x 27 0.設(shè) A(x1,y1),B( x2,y2),AB 線段的中點(diǎn)為 M(x0,y°)那么:Xix218x1 x2一,x0 =52所以y0=x0+2=.也就是說線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(-,).55520

12、.求兩條漸近線為x2y0且截直線xy30所得弦長(zhǎng)為曳3的雙曲線方程。3解:設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=.22x-4y=o聯(lián)立方程組得：7，消去y得，3x2-24x+(36+)=0xy30x1x28皿36設(shè)直線被雙曲線截得的弦為AB,且A(xi,yi),B(x2,y2),那么：xx2324212(36)那么：|AB|二,(1互Ux2)24丹.(11)(824363)8(12)8.32x2解得：=4,所以，所求雙曲線方程是：一y1421.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一個(gè)橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1,F2,且|F1F2|2、H3,橢圓的半長(zhǎng)軸與雙曲線的半實(shí)軸之差為4,離心率之比為3:7。(1)求這兩條曲線的方程；(2)若P為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cosF1PF2的值。21、解：(1)設(shè)橢圓的方程為2x2a1222y-1,雙曲線方程為二二1,半焦距為c屈,b2a2b2由已知得:aa24/3/7aa2a17a231,2,故兩條曲線