IIR切比雪夫低通數(shù)字濾波器

1、數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)報(bào)告課題名稱： 系 別： 學(xué) 號(hào)： 姓 名： 班 級(jí)： 指導(dǎo)教師： 目錄摘要2第1章任務(wù)書41.1題目41.2目的41.3內(nèi)容及要求41.4論文格式4第2章數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)62.1數(shù)字濾波器的概念62.2數(shù)字濾波器的分類62.3數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)要求82.4IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)92.4.1IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟92.4.2雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器10第3章切比雪夫低通數(shù)字濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)153.1設(shè)計(jì)步驟153.2MATLAB程序15總結(jié)16參考文獻(xiàn)17摘要 在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號(hào)中經(jīng)?；煊懈鞣N復(fù)雜成分，所以很多信號(hào)分析都是基于濾波器而進(jìn)行的，而數(shù)字

2、濾波器是通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，具有處理精度高、穩(wěn)定、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。實(shí)現(xiàn)IIR濾波器的階次較低，所用的存儲(chǔ)單元較少，效率高，精度高，而且能夠保留一些模擬濾波器的優(yōu)良特性，因此使用很廣。Matlab軟件以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算、可視化及程序設(shè)計(jì)有機(jī)融合到交互式工作環(huán)境中，并且為數(shù)字濾波的研究和使用提供了一個(gè)直觀、高效、便捷的利器。尤其是Matlab中的信號(hào)處理工具箱使各個(gè)領(lǐng)域的研究人員可以直觀方便地進(jìn)行科學(xué)研究和工程使用

3、。本文首先介紹了數(shù)字濾波器的概念，分類以及設(shè)計(jì)要求。接著利用MATLAB函數(shù)語言編程，用信號(hào)處理圖形界面FDATool來設(shè)計(jì)濾波器以及Sptool界面設(shè)計(jì)的方法，并用FDATool模擬IIR數(shù)字濾波器處理信號(hào)。重點(diǎn)設(shè)計(jì)Chebyshev I型和Chebyshev II型數(shù)字低通濾波器,并介紹最優(yōu)化設(shè)計(jì)。關(guān)鍵字:IIR;濾波器;FDATool;Sptool;SimulinkABSTRACTIn modern communication systems, Because often mixed with various signal complex components, So many sign

4、al analysis is based on filters, and the digital filter is realized through numerical computation, digital filters filter with high precision, stability and flexibility, don't exist, can realize the impedance matching simulating the special filter cannot achieve filter function. Digital filter a

5、ccording to its impulse response function and characteristics of the time can be divided into two kinds, namely the infinite impulse response (IIR) digital filter and finite impulse response (FIR digital filters). The order of realizing IIR filter is used, low and high efficiency less storage unit,

6、high precision, and can keep some simulation characteristics of filter, so it is widely used. Matlab software based on matrix computation, the calculation, visualization and program design of organic integration to interactive environment for digital filter, and the research and application of provi

7、des an intuitive, efficient and convenient tool. Especially in the Matlab signal processing to all areas of research toolbox personnel can easily for scientific research and engineering application. This paper introduces the concept of digital filter, classification and design requirements. Then usi

8、ng MATLAB language programming, with functions of signal processing FDATool graphical interface design of interface design and Sptool filter, and FDATool analog signal processing IIR digital filter. Key design Chebyshev type I and II digital Chebyshev lowpass filter, and introduces optimization desi

9、gn.Keywords:IIR;Filter;FDATool;Sptool;Simulink第1章 任務(wù)書1.1 題目設(shè)計(jì)原型為切比雪夫型的數(shù)字IIR低通濾波器。1.2 目的1) 學(xué)會(huì)MATLAB的使用，掌握MATLAB的程序設(shè)計(jì)方法。2) 掌握數(shù)字信號(hào)處理的基本概念、基本理論和基本方法。3) 掌握MATLAB設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法。4) 學(xué)會(huì)用MATLAB對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和處理。1.3 內(nèi)容及要求1) 設(shè)計(jì)原型為切比雪夫型的數(shù)字IIR低通濾波器（本文用雙線性變換法，原型為切比雪夫I型）。2) 低通數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率 p=0.2 ，通帶衰減s=0.6，阻帶截止頻率p=3dB，

10、阻帶衰減s=40dB。3) 求出所設(shè)計(jì)濾波器的Z變換。4) 用MATLAB畫出幅頻特性圖。1.4 論文格式1) 任務(wù)書及摘要。2) 目錄，中間打點(diǎn)號(hào)。3) 章節(jié)，如：第1章，每一章都要另起一頁，居中；二級(jí)目錄要打頭寫，如：1.1；每個(gè)圖都要有圖標(biāo)和名稱，如：圖1-1 +。4) 課程設(shè)計(jì)總結(jié)，主要包括課程設(shè)計(jì)意義、感受、遇到的問題及解決辦法。參考文獻(xiàn)，格式如：1 閻石.數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ).北京:高等教育出版社,1998.第2章 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2.1 數(shù)字濾波器的概念濾波器是指用來對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波的硬件和軟件。數(shù)字濾波器是對(duì)數(shù)字信號(hào)實(shí)現(xiàn)濾波的線性時(shí)不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波器可以理解為是一個(gè)計(jì)算程序或算

11、法，將代表輸入信號(hào)的數(shù)字時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為代表輸出信號(hào)的數(shù)字時(shí)間序列，并在轉(zhuǎn)化過程中，使信號(hào)按預(yù)定的形式變化。數(shù)字濾波實(shí)質(zhì)上是一種運(yùn)算過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的運(yùn)算處理。數(shù)字濾波器和模擬濾波器相比，因?yàn)樾盘?hào)的形式和實(shí)現(xiàn)濾波的方法不同，數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配等優(yōu)點(diǎn)。輸入數(shù)字信號(hào)（數(shù)字序列）通過特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個(gè)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過程，也可以理解為是一臺(tái)計(jì)算機(jī)。描述離散系統(tǒng)輸出和輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號(hào)濾波器提供運(yùn)算規(guī)則，使其按照這個(gè)規(guī)則完成對(duì)輸入數(shù)據(jù)的處理。時(shí)域離散系統(tǒng)的頻域特性： 其中、分別是

12、數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）, 是數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的， 適當(dāng)選擇，使得濾波后的滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。2.2 數(shù)字濾波器的分類按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，但總起來可以分成兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器的特點(diǎn)是其輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占有不同的頻帶，通過一個(gè)合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號(hào)，達(dá)到濾波的目的。但是，如果信號(hào)和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)典濾波器不能有效地濾除干擾，最大限

13、度地恢復(fù)信號(hào)，這時(shí)就需要現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器。現(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的一些統(tǒng)計(jì)特性，在某種最佳準(zhǔn)則下，最大限度地抑制干擾，同時(shí)最大限度地回復(fù)信號(hào)，從而達(dá)到最佳濾波的目的。經(jīng)典數(shù)字濾波器從濾波特性上分類，可以分為：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。圖 2.2.1各種理想濾波器的幅頻特性數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型來實(shí)現(xiàn)。其差分方程為：（式2-2-1）系統(tǒng)函數(shù)為： （式2-2

14、-2）設(shè)計(jì)IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，使其頻率響應(yīng)H(z)滿足所希望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。2.3 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)要求濾波器的指標(biāo)常常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù)一般為復(fù)函數(shù)，所以通常表示為：（式2-3-1）其中，稱為幅頻特性函數(shù)，(w)稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況，而相頻特性反映各頻率通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。一般IIR數(shù)字濾波器，通常只用幅頻響應(yīng)函數(shù)來描述設(shè)計(jì)指標(biāo)，相頻特性一般不作要求。IIR濾波器指標(biāo)參數(shù)如下圖所示。圖中，和分別為通帶邊界頻

15、率和阻帶邊界頻率；1和2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)所允許的最大衰減（dB）和阻帶內(nèi)允許的最小衰減（dB）分別為和表示：（式2-3-2）（式2-3-3）一般要求：當(dāng)時(shí)，；圖 Error! No text of specified style in document.Error! Main Document Only.低通濾波器的技術(shù)要求當(dāng)時(shí)，。2.4 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 丁玉美，高西全.數(shù)字信號(hào)處理M. 西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2011.IIR數(shù)字濾波器是一種離散時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為 假設(shè)MN，當(dāng)MN時(shí),系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個(gè)IIR的子系統(tǒng)和一個(gè)(M-

16、N)的FIR子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是求解濾波器的系數(shù)和，它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。2.4.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般有兩種方法：一個(gè)是借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行。其設(shè)計(jì)步驟是，先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再按照某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。這種方法比較容易一些，因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)非常成熟，不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時(shí)域內(nèi)進(jìn)行，由于需要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)做輔助設(shè)

17、計(jì)。為了保證轉(zhuǎn)換后的穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求:1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。2) 數(shù)字濾波器的頻率相應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。3) 利用模擬濾波器成熟的理論設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的過程是：4) 確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減。5) 將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。6) 按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)過渡模擬低通濾波器。7) 用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。IIR數(shù)字濾波

18、器的設(shè)計(jì)流程圖如下：圖 2.4.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟流程圖2.4.2 雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器如前所述，IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有間接法和直接法。間接法有兩種：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。這兩種方法已經(jīng)是很成熟的模擬濾波器設(shè)計(jì)方法，此處僅討論雙線性變換法。Ø 設(shè)計(jì)原理 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺腟平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到之間，再用轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換

19、到整個(gè)Z平面上去。這樣就使S平面和Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖 2.4.1所示。圖 2.4.1雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個(gè)虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn) （式2-6）式中,T仍是采樣間隔。當(dāng)1由經(jīng)過0變化到時(shí)，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個(gè)j軸。將式（2-6）寫成 （式2-7）將此關(guān)系分析延拓到整個(gè)S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，則得（式2-8）再將S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面（式2-9）從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為：（式2-10）（式2-11）式（2-10）和

20、式（2-11）是S平面和Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（2-6）和式（2-10）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。首先,把，可得（式2-12）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將代入式（2-12），得（式2-13）因此（式2-14）由此看出，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。Ø 雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn)雙線性變換法和脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了

21、頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面和Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)j軸單值地對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式（2-10）所示，重寫如下：（式2-15）上式表明，S平面上和Z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖 2.4.2。由圖 2.4.2看出，在零頻率附近，模擬角頻率和數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)進(jìn)一步增加時(shí)，增長得越來越慢，最后當(dāng)時(shí)，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖 2.4.2 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，

22、如式（2-12）及圖 2.4.2所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變，如圖 2.4.3所示。圖 2.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生

23、了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸變來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。第3章 切比雪夫低通數(shù)字濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)3.1 設(shè)計(jì)步驟 劉舒帆，費(fèi)諾，陸輝.數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)(MATLAB版)M.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008.176-183.這里采用MTALAB雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR切比雪夫低通濾波器，其步驟為：1) 輸入給定的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)2) 根據(jù)公式進(jìn)行修正，將數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)；3) 確定模擬濾波器的最小結(jié)束和截止頻率；4) 計(jì)算模擬低通切比雪夫原型濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)；5) 用雙線性變換

24、法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。3.2 MATLAB程序低通數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率 p=0.2 ，通帶衰減s=0.6，阻帶截止頻率p=3dB，阻帶衰減s=40dB。程序如下：wp=0.2*pi;ws=0.6*pi;rp=3;rs=40; %數(shù)字濾波器指標(biāo)Omgp=tan(wp/2)Omgs=tan(ws/2) %轉(zhuǎn)化為模擬濾波器指標(biāo)（K=1）Fs=0.5;%模擬原型濾波器計(jì)算N,wo=cheb1ord(Omgp,Omgs,rp,rs,'s')%計(jì)算階數(shù)N和截止頻率wob,a=cheby1(N,rp,wo,'s') %求原型濾波器系數(shù)b，aHa,Omg

25、=freqs(b,a); %求模擬系統(tǒng)頻率特性dbHa=20*log(abs(Ha)+eps)/max(abs(Ha);%求分貝值，加eps以避開0點(diǎn)%計(jì)算數(shù)字濾波器bd,ad=bilinear(b,a,0.5); %用雙線性變換法求數(shù)字濾波器系數(shù)bd,adH,w=freqz(bd,ad); %求數(shù)字系統(tǒng)頻率特性dbH=20*log10(abs(H)/max(abs(H); %化為分貝值%畫圖subplot(3,2,1),plot(Omg*Omgp/2/pi,dbHa),gridtitle('a 模擬幅度響應(yīng)（dB)');ylabel('幅度/dB');xlabel('f/Hz');subplot(3,2,2),plot(w/pi,abs(H)title('b 幅度響應(yīng)');axis(0,1,0,1);subplot(3,2,3),plot(w/pi,dbH),gridtitle('c 幅度響應(yīng)(dB）');axis(0,1,-300,100);subplot(3,2,4),plot(w/pi,dbH),gridtitle('d 幅度響應(yīng)(dB）');axis(0,0.7,-60,5);subplot(3,2,5),plot(