競(jìng)賽常見(jiàn)的三種力及共點(diǎn)力的平衡答案

1、常見(jiàn)的三種力、物體的平衡fo一、力學(xué)中常見(jiàn)的三種力（一）相關(guān)概念1 .重力、重心重心的定義：x = m1gxi +m2gx2 +A A ,當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)移到重心上，則兩邊的重力矩平衡。mg m2g A A重心與質(zhì)心不一定重合。如很長(zhǎng)的、豎直放置的桿，重心和質(zhì)心不重合。2 .彈力、彈簧的彈力（F=kx）（1）兩彈簧串聯(lián)， 1 = -+-（2）并聯(lián)時(shí)k=ki + k2k ki k23 .摩擦力（1）摩擦力的方向：（2）摩擦角:f和N的合力叫全反力，全反力的方向跟彈力的方向的最大夾角（f達(dá)到最大）叫摩擦角，摩擦角 ?=tan -1f/ N=tan -1工 摩擦角與摩擦力無(wú)關(guān)，對(duì)一定的接觸面，足一定的。由

2、于靜摩擦力f0屬于范圍0vfwfm,故接觸面作用于物體的全反力 F '同接觸面法線的夾角 a =tg 11-0- |< 4 °,這就是判斷物 IN J體不發(fā)生滑動(dòng)的條件。換句話說(shuō)，只要全反力F'的作用線落在（0, 4。）范圍時(shí)，無(wú)窮大的力也不能推動(dòng)木塊，這種現(xiàn)象稱(chēng)為自鎖。（二）鞏固練習(xí)1 . （90國(guó)際奧賽題）（哥倫比亞）一個(gè)彈簧墊，如圖所示，由成對(duì)的彈簧組成。所有的彈簧具有相同的勁度系數(shù)10N/m, 一個(gè)重為100N的重物置于墊上致使該墊的表面位置下降了10cm,此彈簧墊共有多少根彈簧？（假設(shè)當(dāng)重物放上后所有的彈簧均壓縮相同的長(zhǎng)度）。4002 .如圖所示，兩個(gè)

3、勁度系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，彈簧下端用光滑細(xì)繩連接，并有一光滑的輕滑輪放在細(xì)繩上.把滑輪和兩個(gè)輕彈簧等效成一個(gè)彈簧，求等效彈簧的勁度系數(shù)。3 .水平地面上有一質(zhì)量為m勺物體，受斜向上的拉力f作用而勻速移動(dòng)，物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為則為使拉力F最小，F(xiàn)與水平地面間的夾角多大？尸的最小值為多少？（答案：tan-1 ?； 瓢解：先把f和N合成一個(gè)力T,因f和N成正比,所以當(dāng)F發(fā)生變化時(shí)T的大小也要發(fā)生f變化，但方向不變,且*=tan -1 N =tan -1 ?.這樣,就把四個(gè)力平衡問(wèn)題變成了三個(gè)力平衡問(wèn)題,如左圖所示根據(jù)平行四邊形定則，當(dāng)F和T垂直時(shí)F最小，如右圖所示.得F與水平

4、地面 間的夾角?=?=tan-1 ?, sin A , - , F的最/J、值 Fmin=mgsin = mg .1 .2.2另解：設(shè)F與水平面成 涌時(shí)F最小,有 Fcos ? Rmg Fsin ）=0,得 F =mgcos:sin ;令手cot ?，代入上式得Jmgsin ；二.'-mgF =sin（4立）i n.ii2、共點(diǎn)力作用下物體的平衡（一）相關(guān)概念1.三力匯交原理：互不平行的三個(gè)力處于平衡，這三個(gè)力的作用線必交于一點(diǎn)。例1.如圖所示，質(zhì)量為M勺桿ABHI止在光滑的半球形容器中，設(shè)桿與水平方向的夾角為 ？則容器面對(duì)桿A 點(diǎn)的作用力F為多大？解：曲作用線通過(guò)圓心 B點(diǎn)對(duì)桿的作用

5、力N與相垂直角度關(guān)系如圖所示根據(jù)正弦定理一粵一=得F = Mg tan asin（90 -.：.）sin :（二）鞏固練習(xí)1 .如圖所示，有四塊相同的滑塊疊放起來(lái)置于水平桌面上，通過(guò)細(xì)繩和定滑輪相互聯(lián)接起來(lái).如果所有的接觸面間的摩擦系數(shù)均為小每一滑塊的質(zhì)量均為 m,不計(jì)滑輪的摩擦.那么要拉動(dòng)最上面一塊滑塊至少需要多大的水平拉力 ？如果有n塊這樣的滑塊疊放起來(lái)，那么要拉動(dòng)最上面的滑塊，至少需多大的拉力？ 16ng , n 2（1 mg32 .在一個(gè)與平面成 a角的粗糙斜面上放著一個(gè)物體，它系于一個(gè)不伸長(zhǎng)的細(xì)繩上，繩的另端通過(guò)斜面 上的一個(gè)小孔豎直穿過(guò)平面，如圖所示，然后慢慢地拉動(dòng)繩子，開(kāi)始時(shí)，繩

6、子處于水平位置，在這個(gè) 物體到達(dá)小孔的時(shí)候，物體在斜面上通過(guò)的軌跡正好是一個(gè)半圓，求動(dòng)摩擦因數(shù)W。tan a3 .三根不可伸長(zhǎng)的相同的輕繩，一端系在半徑為r。的環(huán)1上，彼此間距相等，繩穿過(guò)半徑為r。的第2個(gè)圓環(huán)，另一端同木¥地系在半徑為2r。的環(huán)3上，如圖所示，環(huán)1固定在水平面上，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).試求第2個(gè)環(huán)中心與第3個(gè)環(huán)中心之間的距離.（三個(gè)環(huán)都是用相同的金屬絲制作的，摩擦不計(jì)）解：過(guò)中心作一截面圖，如圖所示，由于對(duì)稱(chēng)，每根繩上張力相同，設(shè)為F.設(shè)環(huán)2的質(zhì)量為m則環(huán)3的質(zhì)量為2m對(duì)環(huán)2和3整體有:3 F = mg + 2 mg對(duì)環(huán)3有:3Fsin 0 = 2 mg由以上兩式得

7、:sin日=2即j = 21.-題 24 .有三個(gè)光滑的圓柱體，重量相等，且半徑均為r,同置于一塊光滑圓形曲面上如圖所示。試求下面兩個(gè)圓柱體不致被壓而分開(kāi)時(shí)，曲面半徑R需滿足的條件。R <(1 +2 J7)r5 .如圖所示，原長(zhǎng)Lo為100公分的輕質(zhì)彈簧放置在一光滑的直槽內(nèi)，彈簧的一端固定在槽的 O端，另一端連接一小球，這一裝置可以從水平位置開(kāi)始繞O點(diǎn)緩緩地轉(zhuǎn)到鉛直位置，設(shè)彈簧的形變總是在其彈性限度內(nèi)，試在下述(a)、(b)兩種情況下，分別求出這種裝置從原來(lái)的水平位置開(kāi)始緩緩地繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)到鉛直位置時(shí)小球離開(kāi)原水平面的高度h。(a)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)小球距原水平面的高度變化出現(xiàn)40cm的極大

8、值。(b)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)小球離原水平面的高度不斷增大。答案(a)37.5cm (b)100cm > ho > 50cm6 .一個(gè)小物體與豎直墻面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)科=，當(dāng)作用力F與豎直方向成“ =53°度時(shí)，F(xiàn)至少為10N才能維持物體的靜止(1)在a不變的情況下，需要多大的力F才能使物體沿墻面向上做勻速運(yùn)動(dòng)。20N(2)在動(dòng)摩擦因數(shù) 科確定的情況下，要使物體向上做勻速運(yùn)動(dòng)，口角有有什么限制。7 . 一條輕繩跨過(guò)同一高度的兩輕滑輪，兩端分別拴上質(zhì)量為4Kg和2Kg的物體，兩滑輪間的一段繩子上掛第三個(gè)物體，如圖所示.試問(wèn)：為使這三個(gè)物體能保持平衡，第三個(gè)物體的質(zhì)量取值范圍多

9、大。解(1)因所掛的質(zhì)量m越小，所以。點(diǎn)靠近A嵐，O連向水平，O的水平面有夾角。即當(dāng)m <2 33 kg時(shí),三個(gè)物體平衡將破壞.(2)m越大，O麗O蹄B趨向于豎直，所以當(dāng)m>6Kg時(shí)三個(gè)物體平衡將破壞.解:此題只需求兩個(gè)極值.m最大值：設(shè)線足夠長(zhǎng)，則m接近m+m2,此時(shí)兩細(xì)線間的夾角 ？接近0.如圖解2-4-1 因此 m < mi + m2 < 6kg .m的最小值：當(dāng)m最小時(shí)，因?yàn)閙2Am1 ,此時(shí)m在靠近右側(cè)的滑輪處，連接m和m的兩線的夾角近90 °此時(shí)滿足：m2gA J(mg)2 +(mig)2由此解得：亡角？2-4-1綜合以上：2 /3 kg : m

10、: 6 kg8.如圖所示，靜止的圓錐體鉛直放置,頂角為a,有一質(zhì)量為 m并分布均勻的細(xì)煉條圓環(huán)水平地套在圓錐體上。忽略煉條與錐面之間的摩擦力，試求煉條中的張力Tomg aT = cot 一2冗 2又受力平衡：(mg) 2 十(2g)2 =(4g)2 ,彳4m =2j3 kg。9.如圖所示，每側(cè)梯長(zhǎng)為L(zhǎng)的折梯置于鉛垂平面內(nèi)，已知A、B兩處與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為？a=，取,C自用光滑的錢(qián)鏈連接，不計(jì)梯重，求人最多能爬多高。解：若B端開(kāi)始Vt動(dòng)，AC二力桿，地面對(duì) A端的作用力方向與豎直方向夾角為30？,而A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的摩擦角 >=tan -1 >=<30 :。AC干不能衡。若A端

11、開(kāi)始Vt動(dòng)，A助二力桿，地面對(duì)B端的作用力方向與豎直方向夾角為30：,而B(niǎo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的摩擦角 聲tan-1 b=>30 :。AB干能衡。所以人必須從A點(diǎn)沿梯上爬，此時(shí)B端受到地面的彳用力沿著 BCT向。對(duì)整體，根據(jù)三力共點(diǎn)，人的重力作用線必通過(guò)Fa和Fb的交點(diǎn)。設(shè)人的水平距離為s,有幾何關(guān)系（兩邊高相等）：scot %=（L-s）cot30得5=，最大高度H= J3 s=o叱=亙=。試求該同學(xué)向上拉動(dòng)3m=50kg的物體。一重10.（2013年華約自主招生）明理同學(xué)平時(shí)注意鍛煉身體，力量較大，最多能提起物放置在傾角9=15。的粗糙斜坡上，重物與斜坡間的摩擦因數(shù)為 的重物質(zhì)量M的最大值？析；設(shè)

12、該同學(xué)拉動(dòng)重物的力F的方向與斜面成角度6 ,根據(jù)力的平衡，在垂直于斜面的方向上有Fn+F sin 6 - Mgcos 9 =0式中Fn是斜面對(duì)重物的支持力，其大小等于重物對(duì)斜面的正壓力。沿斜面的方向上有Fcos 6 -小 Mg sin 0=Ma 根據(jù)題意，重物剛能被拉動(dòng)，加速度a近似為零，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律聯(lián)立式得Fcos（）-（1F n- Mg sin 0 =0 區(qū)F cos i ： I sin : _M =一 -g J cos sin f令R =tanC聯(lián)立式得F cos（。一）g sin（二'）'）要使質(zhì)量最大，分子須取最大值，即cos（C邛）=1, Q=此時(shí)能拉動(dòng)的重物的質(zhì)

13、量的最大值為. F 1M max =;g sing ）由題給數(shù)據(jù)，知,3tanC=, C =30 3于是該同學(xué)能拉動(dòng)的重物質(zhì)量不超過(guò)Mnax,有M :二 Mmax1=后m 定 70.7kg sin（30 15 ）（備用）1 .將質(zhì)量為M勺小車(chē)沿彳角為？,動(dòng)摩擦因數(shù)為節(jié)勺斜面勻速拉上，求拉力的方向與斜面夾角功多大時(shí)（答案：tan-1 :;Mg sin a + PMg cos a）拉力最小？最小的拉力為多大？解：小車(chē)受四個(gè)力作用處于平衡 ，先把摩擦力f和支持力N合成 一個(gè)力R因f和N正比,所以RF口 N勺夾角（=tan-1 ?這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn) 化成小車(chē)在三個(gè)力作用的平衡問(wèn)題.小車(chē)受到的重力 M，勺大小Mg sin : Mg cos.i；,1+.二2和方向都保持不變，當(dāng)拉力林DRii直時(shí)，F(xiàn)最小，?=?=tan-1 ?-1取小值為：Fmin=Mgsin（ + ?= Mgsin（計(jì)tan 7）=2 .半徑為R的鋼性光滑球固定在桌面上，有一個(gè)質(zhì)量為m的均勻彈性繩圈，自然長(zhǎng)度為29T.現(xiàn)將,這時(shí)繩圈的半徑增為 b（ b=V2 a）,繩圈從球面的正上方輕放到球面上，并使它保持水平，靜止套在球面上求繩圈