數(shù)學建模試題答案及講解解析PPT課件

1、 一實際問題一實際問題 隨著經濟的發(fā)展，隨著經濟的發(fā)展， 金融正越來越多地進入普通人的金融正越來越多地進入普通人的生活：貸款、保險、養(yǎng)老金和信用卡等；個人住房抵押貸生活：貸款、保險、養(yǎng)老金和信用卡等；個人住房抵押貸款是其中重要的一項?？钍瞧渲兄匾囊豁?。19981998年年1212月，中國人民銀行公布了月，中國人民銀行公布了新的存、貸款利率水平，其中貸款利率新的存、貸款利率水平，其中貸款利率( (當貸款期處于表當貸款期處于表中所列相鄰年限之間時，利率為對應相鄰兩數(shù)中較大者中所列相鄰年限之間時，利率為對應相鄰兩數(shù)中較大者) )如表如表1 1所列，其后，西安商業(yè)銀行對個人住房商業(yè)性貸款所列，其后，

2、西安商業(yè)銀行對個人住房商業(yè)性貸款利率作出相應調整，以下的表利率作出相應調整，以下的表2 2和表和表3 3分別列出了報章公布分別列出了報章公布個人住房商業(yè)抵押貸款年利率和銀行提供的個人住房商業(yè)個人住房商業(yè)抵押貸款年利率和銀行提供的個人住房商業(yè)抵押貸款抵押貸款( (萬元萬元) )還款額的部分數(shù)據(jù)還款額的部分數(shù)據(jù)( (僅列出了五年僅列出了五年) )。第十講 個人個人住房抵押貸款模型住房抵押貸款模型第1頁/共32頁表表1 1：中國人民銀行公布新的貸款利率：中國人民銀行公布新的貸款利率表表2 2：西安商業(yè)銀行公布新的貸款利率：西安商業(yè)銀行公布新的貸款利率 表表3 3：個人住房商業(yè)抵押貸款還款額的部分數(shù)據(jù)

3、：個人住房商業(yè)抵押貸款還款額的部分數(shù)據(jù)( (五年五年) ) 第2頁/共32頁 二、模型假設二、模型假設 1.1.在較長的時期內中央銀行存貸款利率保持不變。在較長的時期內中央銀行存貸款利率保持不變。 2.2.在較長時期內職工收入相對穩(wěn)定，具有足夠的償還在較長時期內職工收入相對穩(wěn)定，具有足夠的償還能力。能力。 3.3.僅考慮因貸款而應支付的利息，不考慮其它所需費僅考慮因貸款而應支付的利息，不考慮其它所需費用（如貸款的手續(xù)費、公正費等）。用（如貸款的手續(xù)費、公正費等）。第3頁/共32頁 三、模型的分析及建立三、模型的分析及建立 以商業(yè)性貸款以商業(yè)性貸款1000010000元為例來考察，一年期貸款的年

4、元為例來考察，一年期貸款的年利率為利率為6.126.12，到期一次還本付息總計，到期一次還本付息總計1061210612元，元， 這很容這很容易理解易理解. . 然而二年期貸款的年利率為然而二年期貸款的年利率為6.2556.255， 月還款數(shù)月還款數(shù)444.356444.356元為本息總額元為本息總額10664.5410664.54元的二十四分之一，這后元的二十四分之一，這后兩個數(shù)字究竟怎樣產生的呢？是根據(jù)本息總額算出月還款兩個數(shù)字究竟怎樣產生的呢？是根據(jù)本息總額算出月還款數(shù)還是恰好相反（從數(shù)還是恰好相反（從6.2556.255似乎不那么明顯能得到似乎不那么明顯能得到10664.5410664

5、.54）？讓我們稍微仔細一些來進行分析）？讓我們稍微仔細一些來進行分析. .由于貸款由于貸款是逐月等額歸還的，就有必要考察每個月欠款余額的情況是逐月等額歸還的，就有必要考察每個月欠款余額的情況. .第4頁/共32頁 設貸款后第設貸款后第k個月時欠款余數(shù)為個月時欠款余數(shù)為Ak元元, ,月還款為月還款為m元，元，則由則由Ak變化到變化到Ak+1+1，除了還款數(shù)外，還有什么因素參與？，除了還款數(shù)外，還有什么因素參與？無疑就是利息無疑就是利息. . 但時間僅過了一個月，當然應該用月利率，但時間僅過了一個月，當然應該用月利率，設其為設其為r, , 從而得到從而得到 Ak+1-Ak=rAk-m或者或者 A

6、k+1=（1+r）Ak - m (1) (1)連同開始的貸款數(shù)連同開始的貸款數(shù) A0 0=10000 (2) =10000 (2) 這就是問題的數(shù)學模型這就是問題的數(shù)學模型. . 第5頁/共32頁 我們知道月利率我們知道月利率r 與年利率與年利率R關系關系 （1+1+r ) )1212= =R+1根據(jù)微分近似計算公式可得根據(jù)微分近似計算公式可得12(1)112rr所以所以 即月利率近似為年利率即月利率近似為年利率R平均平均, ,故取年利率為故取年利率為R=0.06255=0.06255，其月利率為其月利率為 （3 3） 12Rr 0.062550.005212512r 第6頁/共32頁 若若m

7、是已知的，則由式是已知的，則由式(1)(1)可以依次求出可以依次求出Ak中的每一中的每一項，我們稱項，我們稱(1)(1)為差分方程為差分方程. .1(1)kkAr Am 四問題的解法與討論四問題的解法與討論. . 月還款額月還款額 二年期的貸款在第二年期的貸款在第2424個月時還清個月時還清, ,即即 A2424=0 (4)=0 (4)為求為求m的值的值, , 令令 Bk=Ak- -Ak-1 , , k=1,2, =1,2, (5) (5)由式由式(5)(5)和和(6), (6), 可知可知第7頁/共32頁12kBBB111(1)(1)kBrr 10(1)1()krAAr00(1)1(1)kr

8、r AmAr從而得到差分方程從而得到差分方程(1)(1)的解的解010211()()()kkkAAAAAAAA 1(1)kkAr Am 第8頁/共32頁將將A24 、A0 、r 的值和的值和k=24=24代入，可解得代入，可解得m=444.3560(=444.3560(元元),),這與表這與表3 3中的數(shù)額完全一致中的數(shù)額完全一致, ,這樣我們就了解了還款額的確這樣我們就了解了還款額的確定方法定方法. .表表3 3：個人住房商業(yè)抵押貸款還款額的部分數(shù)據(jù)：個人住房商業(yè)抵押貸款還款額的部分數(shù)據(jù)( (五年五年) ) 0(1)(1)1kkkmAArrr（7 7）第9頁/共32頁 我們知道還款數(shù)額表的制

9、定依賴于年利率的變化，而我們知道還款數(shù)額表的制定依賴于年利率的變化，而后者又是怎樣制定的呢？盡管我們無法獲知銀行方面的各后者又是怎樣制定的呢？盡管我們無法獲知銀行方面的各種考慮，但還是可以通過比較分析得出一些有用的結論種考慮，但還是可以通過比較分析得出一些有用的結論. . 表表1 1：中國人民銀行公布新的貸款利率：中國人民銀行公布新的貸款利率表表2 2：西安商業(yè)銀行公布新的貸款利率：西安商業(yè)銀行公布新的貸款利率 第10頁/共32頁 首先注意表首先注意表2 2商業(yè)性貸款利率中有兩個數(shù)據(jù)與中央銀商業(yè)性貸款利率中有兩個數(shù)據(jù)與中央銀行公布的表行公布的表1 1中數(shù)據(jù)相同，不過相應的貸款年限則放寬了中數(shù)據(jù)

10、相同，不過相應的貸款年限則放寬了一檔：一檔：6.126.12是一年期而在表是一年期而在表1 1中是上一檔半年期中是上一檔半年期,6.66,6.66是五年期而在表是五年期而在表1 1中是上一檔三年期中是上一檔三年期. . 其次再考察表其次再考察表2 2商業(yè)性貸款二、三、四年的利率，我商業(yè)性貸款二、三、四年的利率，我們把這三個數(shù)字是如何得到的問題留給讀者們把這三個數(shù)字是如何得到的問題留給讀者, ,答案將是簡答案將是簡單的單的. . 依據(jù)這兩個結論，請讀者自己制定出住房商業(yè)性貸款依據(jù)這兩個結論，請讀者自己制定出住房商業(yè)性貸款直至二十年的利率表和還款額表直至二十年的利率表和還款額表. . 第11頁/共

11、32頁 . . 還款周期還款周期 我們知到個人住房貸款是采取逐月歸還的方法我們知到個人住房貸款是采取逐月歸還的方法, ,雖然雖然依據(jù)的最初利率是年利率依據(jù)的最初利率是年利率. .那么如果采取逐年歸還的方法那么如果采取逐年歸還的方法, ,情況將如何呢情況將如何呢? ? 仍以二年期貸款為例仍以二年期貸款為例, ,顯然顯然, ,只要對公式只要對公式(7)(7)中的月利中的月利率率r=0.0052125=0.0052125代之以年利率代之以年利率R=0.06255, =0.06255, 那么由那么由k=2, A2=0, A0=10000, 則可求出年還款額應為則可求出年還款額應為0(1)(1)1kkk

12、mAArrr3867.4735m第12頁/共32頁這樣本息總額將為這樣本息總額將為 ( (元元) )210947.73m 這遠遠超出逐月還款的本息總額這遠遠超出逐月還款的本息總額10664.54 (10664.54 (元元).). 注意到人們的收入一般均以月薪方式獲得，因此逐月注意到人們的收入一般均以月薪方式獲得，因此逐月歸還法對于貸款者是合適的歸還法對于貸款者是合適的. . 那么縮短還款周期對于貸款本息總額的影響如何？這那么縮短還款周期對于貸款本息總額的影響如何？這是值得研究的一個問題是值得研究的一個問題. . 讀者可以做進一步的討論讀者可以做進一步的討論. .第13頁/共32頁1(1)kk

13、Ar Am 我們回到差分方程我們回到差分方程(1),(1),若令若令Ak+1=Ak=A , ,可解出可解出 (8)(8)稱之為差分方程稱之為差分方程(1)(1)的平衡點或不動點的平衡點或不動點. .mAr . . 平衡點平衡點 顯然，當初始值顯然，當初始值 時時, ,將恒有將恒有. .0mAr (0,1,2,)kmAkr第14頁/共32頁 我們回到差分方程我們回到差分方程(1),(1),若令若令Ak+1=Ak=A , ,可解出可解出 (8)(8)稱之為差分方程稱之為差分方程(1)(1)的平衡點或不動點的平衡點或不動點. .mAr . . 平衡點平衡點 顯然，當初始值顯然，當初始值 時時, ,將

14、恒有將恒有. .0mAr (0,1,2,)kmAkr在住房貸款的例子中，這意味著如果貸款月利率在住房貸款的例子中，這意味著如果貸款月利率r 和月還和月還款額款額m是固定的是固定的, ,則當初始貸款額為則當初始貸款額為 時時, ,每月還款額恰每月還款額恰mr第15頁/共32頁 對一般的差分方程對一般的差分方程 Ak+1=f (Ak), (9) (9)當初始值稍大于或小于差分方程的平衡點當初始值稍大于或小于差分方程的平衡點, ,若若 AkA0 ( (k) ) (10) (10)0(1)(1)1kkkmAArrr好好抵上利息，因此所欠款始終保持不變抵上利息，因此所欠款始終保持不變. .而當初始貸款額

15、而當初始貸款額稍大于或小于稍大于或小于 時，從方程解的表達式時，從方程解的表達式(7)(7)容易看出：欠容易看出：欠款額款額Ak隨著隨著k的增大越來越遠離的增大越來越遠離 , , 這種情況下的平衡點這種情況下的平衡點稱為不穩(wěn)定的稱為不穩(wěn)定的. .mrmr第16頁/共32頁則稱則稱A為穩(wěn)定的，否則，稱為穩(wěn)定的，否則，稱A為不穩(wěn)定的為不穩(wěn)定的. . 判別平衡點判別平衡點A是否穩(wěn)定的一個方法是考察導數(shù)是否穩(wěn)定的一個方法是考察導數(shù) : : 當當 , , A是穩(wěn)定的；當是穩(wěn)定的；當 , , A是不是不穩(wěn)定的穩(wěn)定的. .|()| 1fA |()| 1fA 平 衡 點 和 它平 衡 點 和 它的穩(wěn)定性是在差

16、分的穩(wěn)定性是在差分方程及其應用中十方程及其應用中十分重要的概念。分重要的概念。 第17頁/共32頁 五其他問題五其他問題 在金融乃至經濟等其他領域中，許多問題的數(shù)學模型在金融乃至經濟等其他領域中，許多問題的數(shù)學模型都可以用差分方程來表達都可以用差分方程來表達. .這里再介紹兩個典型的例子這里再介紹兩個典型的例子. . . . 養(yǎng)老保險養(yǎng)老保險 養(yǎng)老保險是與人們生活密切相關的一種保險類型養(yǎng)老保險是與人們生活密切相關的一種保險類型. .通通常保險公司會提供多種方式的養(yǎng)老金計劃讓投保人選擇，常保險公司會提供多種方式的養(yǎng)老金計劃讓投保人選擇，在計劃中詳細列出保險費和養(yǎng)老金的數(shù)額在計劃中詳細列出保險費和

17、養(yǎng)老金的數(shù)額. .例如某保險公例如某保險公司的一份材料指出：在每月交費司的一份材料指出：在每月交費200200元至元至6060歲開始領取養(yǎng)歲開始領取養(yǎng)老金的約定下老金的約定下, ,男子若男子若2525歲起投保歲起投保, ,屆時月養(yǎng)老金屆時月養(yǎng)老金22822282元；元；若若3535歲起投保，月養(yǎng)老金歲起投保，月養(yǎng)老金10561056元；若元；若4545歲起投保，月養(yǎng)老歲起投保，月養(yǎng)老金金420420元元. .我們來考察這三種情況所交保險費獲得的利率我們來考察這三種情況所交保險費獲得的利率. .第18頁/共32頁 設投保人在投保后第設投保人在投保后第k個月所交保險費及利息的累計個月所交保險費及利

18、息的累計總額為總額為Fk，p, q分別表示分別表示6060歲前所交月保險費和歲前所交月保險費和6060歲起所歲起所領月養(yǎng)老金的數(shù)目領月養(yǎng)老金的數(shù)目( (單位單位: :元元) )，r是所交保險金獲得的利率，是所交保險金獲得的利率， N, M分別是自投保起至停交保險費和至停領養(yǎng)老金分別是自投保起至停交保險費和至停領養(yǎng)老金的時間的時間( (單位單位: :月月). ). 那么很容易得到數(shù)學模型那么很容易得到數(shù)學模型 11(1)0,1,(11)(1)1,2,(12)kkkkFFrpkNFFrqkNNM 顯然顯然M依賴于投保人的壽命依賴于投保人的壽命, ,我們取我們取M為該保險公司養(yǎng)老為該保險公司養(yǎng)老金計

19、劃所在地男性壽命的統(tǒng)計平均值金計劃所在地男性壽命的統(tǒng)計平均值7575歲歲. .以以2525歲起投保歲起投保為例。為例。第19頁/共32頁200,2282;420,600.pqNM 于是于是如同推出差分方程如同推出差分方程(1)(1)的解那樣的解那樣, ,不難得到不難得到 0(1)(1)1 0,1,. (13)(1)(1)1 1,2,. (14)kkkk Nk NkNpFFrrkNrqFFrrkNNMr 在式在式(13)(13)中取中取k=N而在式而在式(14)(14)中取中取k=M并注意到并注意到F0=0=0，F(xiàn)M=0 ,=0 ,這樣只要消去這樣只要消去FN, ,就可以導出關于就可以導出關于r

20、的一個方程的一個方程: :0(1)1 (1)(1)1NMNMNpqrrrrr第20頁/共32頁(1)(1)(1)0MMNqqrrpp 整理得整理得200,2282;420,600.pqNM 記記x= =r+1 ,+1 ,且將已知數(shù)據(jù)代入且將已知數(shù)據(jù)代入, ,則只需求解方程則只需求解方程60018012.4111.410 xx（1616）利用利用Newton法借助計算機編程或用數(shù)學軟件能很方便求法借助計算機編程或用數(shù)學軟件能很方便求出方程的實根出方程的實根, ,不過注意我們要求的根顯然略大于不過注意我們要求的根顯然略大于1,1,高次高次方程方程(16)(16)可能有另一些根在其附近可能有另一些根

21、在其附近, ,因此求解的初始值應因此求解的初始值應作選擇并對所得的根是否合理進行分析作選擇并對所得的根是否合理進行分析. .可以得出可以得出 1.004850.00485xr 第21頁/共32頁對于對于3535歲起和歲起和4545歲起投保的情況，易得保險金所獲得的月歲起投保的情況，易得保險金所獲得的月利率分別為利率分別為0.004610.00461和和0.00463. 0.00463. 由于銀行利率和投保人群壽命等隨機因素，保險費的由于銀行利率和投保人群壽命等隨機因素，保險費的計算是比較復雜的。但通過分析，我們對其總體的利率還計算是比較復雜的。但通過分析，我們對其總體的利率還是可以得到大致的估

22、計是可以得到大致的估計. . . . 金融公司的支付基金的流動金融公司的支付基金的流動 某金融機構為保證現(xiàn)金充分支付某金融機構為保證現(xiàn)金充分支付, ,設立一筆總額設立一筆總額$540540萬的基金萬的基金, ,分開放置在位于分開放置在位于A城和城和B城的兩個公司城的兩個公司, ,基金在基金在平時可以使用平時可以使用, ,但每周末結算時必須確?？傤~仍為但每周末結算時必須確?？傤~仍為$540540萬萬. .經過相當一段時期業(yè)務情況經過相當一段時期業(yè)務情況, ,發(fā)現(xiàn)每過一周發(fā)現(xiàn)每過一周, ,各公司的支付各公司的支付基金在流通過程中多數(shù)還是留在自己公司內基金在流通過程中多數(shù)還是留在自己公司內, ,而而

23、A城公司城公司第22頁/共32頁有有1010支付基金流動到支付基金流動到B城公司，城公司，B城公司則有城公司則有1212支付支付基金流動到基金流動到A城公司城公司. .此時此時, ,A城公司基金額為城公司基金額為$260260萬萬, ,B城城公司基金額公司基金額$280$280萬萬. .按此規(guī)律按此規(guī)律, ,兩公司支付基金數(shù)額變化趨兩公司支付基金數(shù)額變化趨勢如何勢如何? ?如果金融專家認為每個公司的支付基金不能少于如果金融專家認為每個公司的支付基金不能少于$220$220萬萬, ,那么是否在什么時間需要將基金作專門調動來避那么是否在什么時間需要將基金作專門調動來避免這種情形免這種情形? ? 設

24、此后第設此后第k k周末結算時周末結算時, ,A城公司和城公司和B城公司的支付基城公司的支付基金數(shù)分別為金數(shù)分別為ak和和bk( (單位單位: :萬美元萬美元),),那么有那么有 110.90.121,2,(17)0.10.88kkkkkkaabkbab 第23頁/共32頁這是一個差分方程組這是一個差分方程組, ,連同初始條件連同初始條件 給出了這個問題的數(shù)學模型給出了這個問題的數(shù)學模型. .通過依次迭代通過依次迭代, ,可以求出各周可以求出各周末時末時ak和和b bk k的數(shù)值的數(shù)值, ,下表列出了下表列出了1 1至至1212周末兩公司的基金數(shù)周末兩公司的基金數(shù)( (單位：萬美元單位：萬美元

25、) )00260,280ab267.6272.4288.477251.523273.528266.472289.812250.188278.152261.848290.854249.146281.758258.242291.666248.334284.572255.428292.299247.701286.766253.234292.793247.207第24頁/共32頁可以看出可以看出A城公司支付基金數(shù)在逐步增加城公司支付基金數(shù)在逐步增加, ,但增幅逐步變但增幅逐步變小小; ;B 城公司的基金數(shù)變化則正好相反城公司的基金數(shù)變化則正好相反. .然而然而ak是否有上界、是否有上界、bk是否有下界

26、是否有下界? ? bk是否會小于是否會小于220220？我們還是不能斷言？我們還是不能斷言. .進進行更多的迭代或許得出更明顯的提示行更多的迭代或許得出更明顯的提示, ,不過這里將不再進不過這里將不再進行了行了. . 解決這問題不止一種方法解決這問題不止一種方法, ,若利用線性代數(shù)的知識將若利用線性代數(shù)的知識將差分方程組差分方程組(17)(17)寫為矩陣的形式寫為矩陣的形式 110.90.12(19)0.10.88kkkkaabb 110.90.120.10.88kkkkkkaabbab 第25頁/共32頁其中其中(a0, b0)T=(260,280)=(260,280)是初始值是初始值. .

27、從式從式(20)(20)出發(fā)出發(fā), ,無論進無論進行迭代計算或者分析求得原問題行迭代計算或者分析求得原問題(17)(17)、(18)(18)的解都較為容的解都較為容易易, ,請讀者完成自己這項工作請讀者完成自己這項工作, ,在解決的過程中回顧前面介在解決的過程中回顧前面介紹的平衡點及其穩(wěn)定性是十分有益的紹的平衡點及其穩(wěn)定性是十分有益的. .那么我們就可以得到那么我們就可以得到 000.90.12(20)0.10.88kkkaabb 第26頁/共32頁 1. 1. 確定表確定表2 2中二、三、四年期貸款的利率是如何產生中二、三、四年期貸款的利率是如何產生的的( (可以用圖象來幫助分析可以用圖象來

28、幫助分析) )，然后推導出相應的一至五年，然后推導出相應的一至五年萬元貸款的還款額表與表萬元貸款的還款額表與表3 3比較驗證比較驗證. . 2. 2. 試制定一張完整的個人住房商業(yè)貸款試制定一張完整的個人住房商業(yè)貸款( (萬元萬元) )利率和利率和還款表還款表, ,貸款期從一年至二十年，表中應包含以下各項：貸款期從一年至二十年，表中應包含以下各項：貸款期貸款期( (年、月年、月) )，年利率，月利率，月還款額和本息總額，年利率，月利率，月還款額和本息總額. . 注意個人住房十年期貸款的年利率為注意個人住房十年期貸款的年利率為7.207.20，十年以上貸，十年以上貸款年利率不變，仍為款年利率不變

29、，仍為7.207.20. . 作業(yè)七作業(yè)七第27頁/共32頁 3. 3. 小李夫婦曾經準備申請商業(yè)貸款小李夫婦曾經準備申請商業(yè)貸款1010萬元用于購置萬元用于購置住房，每月還款住房，每月還款880.66880.66元，元，2525年還清年還清. .此時，房產商介紹此時，房產商介紹的一家金融機構提出：貸款的一家金融機構提出：貸款1010萬元，每半月還款萬元，每半月還款440.33440.33元元, , 2222年還清年還清, , 不過由于中介費、手續(xù)費等原因，貸款時要預不過由于中介費、手續(xù)費等原因，貸款時要預付付40004000元元. .小李考慮，雖然預付費用不少，可是減少三年小李考慮，雖然預付費用不少，可是減少三年還款期意味著減少還款近還款期意味著減少還款近1 1萬萬6 6千元，而每月多跑一趟，那千元，而每月多跑一趟，那不算什么，這機構的條件似乎還是蠻優(yōu)惠的不算什么，這機構的條件似乎還是蠻優(yōu)惠的. .試分析情況試分析情況是否這樣？是否這樣？ 4. 4. 從還款周期的比較看出，逐月還款比逐年還款付從還款周期的比較看出，逐月還款比逐年還款付出較少的本息總額