悠悠球的理論力學(xué)分析

1、悠悠球的簡單力學(xué)分析及討論假設(shè)悠悠球的質(zhì)量為 m對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為|L。細繩長為，不計形變及質(zhì)量。軸承摩 擦系數(shù)為卩，內(nèi)外半徑分別為L細繩全部纏繞在軸承上時半徑為R,忽略軸承的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量。假設(shè)悠悠球進行一個簡單運動：以一定初速度被甩出，方向豎直向下，到達 底端經(jīng)過一段時間的睡眠后收回。下面分五個過程進行定量計算。（圖均為過質(zhì)心的截面圖）過程分析1. 設(shè)出手的過程人做功 W該功量全部轉(zhuǎn)化為悠悠球的動能，使其繞瞬心0點定軸轉(zhuǎn)動,角速度.由動能定理:即話=州=2仏+冰°氣得：| 2W后面的計算并不用到這個角速度，這里只是定量分析一下能量轉(zhuǎn)換的關(guān)系。2. 此后悠悠球在重力的作用下加速下落

2、，運動方式類似純滾動。隨著細繩逐漸被抽出，纏繞的細繩越來越接近球的中心，其角速度迅速增大。忽略空氣阻力及一切能量耗散，設(shè)在細繩完全抽出的瞬時角速度為。由動能定理:得:其質(zhì)心速度3. 此時細繩會突然急劇張緊，在極短時間內(nèi)產(chǎn)生一個豎直方向的沖量，使得悠悠球質(zhì)心速度變?yōu)榱悖絼觿幽芎纳槠渌问降哪芰?，這就是物理中所學(xué)過的“范性過程”規(guī)定向下為正，其沖量為:IF = O-mvel= -mvcl2 （訓(xùn)+mgl）c + mr2同時，由于軸承不完全光滑，該過程軸承對悠悠球的沖量矩為（類比小球與粗糙平面的斜碰撞，平面對其的切向沖量為法向沖量的三）：2 (W+mgl)設(shè)范性過程結(jié)束時悠悠球角速度為L；.；巾

3、動量矩定理:2得:L 二-|imrrD12 (W+mgl)L +加-叫)z |inirr0(V(i-V2 (W+mgl)h + mr24. 此后由于悠悠球離合器中的鋼珠受很大的離心力的作用，壓縮彈簧使離合器打開，悠悠球繞質(zhì)心作定軸轉(zhuǎn)動，并且角速度在摩擦力矩的作用下逐漸變小。由動量矩定理 有微分關(guān)系式:dLd(o(e= -|imgrD積分，初始條件2pnir, |2(W+mgl) |imgrotJe + mr:可見1廠隨時間線性減小。當(dāng)其減小到離合器的臨界角速度時，鋼珠的離心力和彈簧作用的壓力相互平衡。只要繼續(xù)減小，離合器就會卡住軸承從而使悠悠球沿細繩向上運動，達到“收球”的目的。設(shè)經(jīng)過時間T達

4、到離合器臨界角速度.，代入上 式有得oo+ mrr 2(W+ mgl) Fh + m理2""Jc +mr2T即為悠悠球的空轉(zhuǎn)時間，稱為睡眠時間。5.這是悠悠球整個運動的最后一個過程，可以認(rèn)為是第一個過程的逆過程。設(shè)悠悠球收回前一瞬間角速度為不計能量損耗，由動能定理:至此，悠悠球的運動全過程分析結(jié)束。下面以推導(dǎo)出的（*）式簡要討論影響睡眠時間的因素。結(jié)果討論T_ L (噸02L氣-2叫1Jc + mR32(W+mgl)1飛齢懿鮒）的影響d從表達式易知減小而增大。故為了盡可能延長睡眠時間，應(yīng)使1盡可能小。但為了最后能將其收回，應(yīng)有L綜上得|-時，t最大。；-a Jr2. W （

5、初始做功）的影響將式子略微變形，寫作T= i 的+減皿?_ ；timgrD_g J'一nmgrD顯然括號里為正，故T隨W的增大而增大。但W不可過大，否則容易造成繩斷等安全 隱患。3. _ （軸承內(nèi)徑）及 瓦軸承摩縣數(shù)） 的影響顯然，T隨逼自！的縮小而增大。這直觀上很好理解：I 越小，范性過程以及空轉(zhuǎn)過程中軸承對悠悠球的摩擦沖量矩就越小，從而角速度衰越慢，睡眠時間越長。4. 其余變量由于和T的函數(shù)關(guān)系較為復(fù)雜，求導(dǎo)繁雜，限于篇幅不再一一分析。實例計算下面以一種悠悠球的實際參數(shù)帶入公式進行數(shù)值運算，對比睡眠時間的理論計算值與 實際值。產(chǎn)品名稱：火力戰(zhàn)士 s產(chǎn)品編號： 671513規(guī)格： 5

6、67*457*458備注：軸承系統(tǒng)：尼龍軸承規(guī)格：4x6x4 回收系統(tǒng)：十字離合器外環(huán)材質(zhì)：有色透明 PC重量：68g球體:材質(zhì)：PC上線有效寬度：13.5mm球繩:專用純棉球繩最大空轉(zhuǎn)時間:1分35秒最大直徑:62mmD為悠悠由參數(shù)表知m=68g , ； - .1二二-匚匚:二。查表知滑動軸承的為0.01-0.02，取 .!二；繩長|取1m ;作為簡化，將悠悠球視作勻質(zhì)圓盤，得球直徑；W較難確定，暫時估算為使悠悠球獲得5m/s的質(zhì)心速度及相應(yīng)角速度所做的功,即二一：，根據(jù)經(jīng)驗R約為3r ；幵則取使T最大此時悠悠球收回手中時動能正好為0。將以上參數(shù)帶入（* ）式，得:T=9L73s這與參數(shù)表中的 95s較為接近，說明利用該公式可以粗略計算悠悠球的最大睡眠時間。此外在計算中發(fā)現(xiàn)兩點:1.在3過程中時時相麹水2 1即范性過程中由軸承摩擦力矩造成的悠悠球角速度損失很小，幾乎可以忽略不計，這是因為力臂一短和摩擦系數(shù)U較??；2. V相當(dāng)大，即為了悠悠球能回到手中，離合器在其角速度還比較大時就卡住