湖南省2021屆高三聯(lián)考聯(lián)合體12月份聯(lián)考數(shù)學試題(含答案解析)

1、高三數(shù)學試卷2020.12考生注意：1 .本試卷分第I卷（選推題）和笫|卷（非選擇超）兩部分.共150分.考武時間120分仲.2 .請將各題答案填寫在答題卡上.3 .本試卷主要考試內(nèi)容：解答題按新高考范圍，小題只考集合函數(shù)導(dǎo)數(shù).三角函數(shù).向 量.不等式敦列，立體幾何.一、選擇題:本大題共8小題，每小題3分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符 合題目要求的.1 .已知集合人=（川工一 1VO.B=工|/一2“-820）,則人（18）=A. 工| 2OV1R （川一4V.Y 1C. 2） D. 42 .按K為2的iE四面體的表面枳是A.JIB. 273C.3&D. 1 6【高

2、三數(shù)學試卷第2頁(共4頁)3 .已知函數(shù)/（“）=；二若/（G=2則 a = A. 2B, 1C.2 或一 1D.1 或一 14 .明初早期,鄭和七下西洋過程中,將中國古代天體測質(zhì)方W版*面所取得的成就創(chuàng)造性地應(yīng)用于航海形成了一套先進奈片',航海技術(shù)一“過洋奉星術(shù)”,前單地晚就是通過觀測不S同季節(jié)、時辰的日月星辰在天空運行的位置和測ht星辰六力在海面以上的高度來判斷方位.其采用的主要工具是牽星板，由12塊正方形木板組成最小的一塊邊長約. 限到京星板的不陶7 彳平府 2厘米（稱一指）木板的長度從小到大依次成等差數(shù)列.最大的邊長約24厘米（稱十二指）.觀測時.格木板立起一手次在木板.手部伸

3、直,眼瞄到木板的距離大約為72厘米,便冷星板 與海平而垂3讓板的下緣與海平面16合,上邊緣對著所觀測的星辰,依高低不同替換、調(diào)第木板當被測星辰落在木板上邊緣時所用的是凡指板觀測的星辰離海平面的高度就是幾指. 然后就可以推打出船在海中的地理緯度,如圖所示,若在一次觀測中所用的牽星板為六指 板，則tan 2a =l).bz>ac5 .已知。6八下列不等式不一定成立的是C. ab+r >ac+bcIX6 .在平行四邊形A3CD中.點E.F分別為線段8C.A/3的中點.直線AE與直線DF交于點幾7 .已知等差數(shù)列缶“)和付力的附項和分別為和丁“堂=筆渭則他得言為此數(shù)的正 枝數(shù)的個數(shù)是“A.

4、 3B.4C.5D.6&已知函數(shù)/(1)是定義在R上的奇函數(shù).式導(dǎo)函數(shù)為/(.，)“財任期實數(shù).r都行/(z) +，(力> 1,則不等式e7(.r)- I的解集為A. (-00.0)K (0,4-oo)C.(-8.1)IX (h+oo)二、選擇題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題 目要求.全部選對的得5分,部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且值域為R的有A./Cr)=B/Q)=h十;C. /(.r) =j"4-sin xI). fx')=x r'10,設(shè)數(shù)列a”的前項和為忖M=1 ,且2

5、s” = %”+， ,則A.m = -1B. (%)是等差數(shù)列C.a.=3"TD.S" =(i11 .設(shè)函數(shù)/行)=3:.則下列結(jié)論正確的行A./(.r)的圖象關(guān)于原點對稱B./Gz+D的圖象關(guān)于五線憶=-1對稱C, /”)>0D/(I)/12 .如圖，在正方體A8CD-在BCD1中，點E在梭上旦2DE= EDI ,F是線段B國上一動點網(wǎng)下列結(jié)論正確的有A. EF1.ACB,存在一點F,使得八E/GFC.三棱惟n-AEF的體積與點F的位址無關(guān)D.立級A兒與平面AEF所成角的正弦值的只小他為端國第n卷三、填空題:本大跑共4小題,每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的

6、橫戰(zhàn)上.13 .已例向母。=(，,3),b=(l, 2),且(a+b)J_b,則r=.14 .布三棱柱八3(：-4 中平面18/力人四邊形八/"%人 是正方形.11 AH = BC.E 在梭AAi上旦AE=3A1E.則異面直紋AG與BE所成角的余弦值為.15 .已知心>0>0,旦,+壬=1 .則話+2+力的最小值是.a b16 .已知函數(shù)/。)=|4，-3|+2.若函數(shù)/工)=/(外丁一2m/1) +/一1宥4個零點，則"I 的取位范圍也 .四.解答題:本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 .（10分）在遞增的等比數(shù)列力中，的=

7、9 ,%+=30.1求數(shù)列i的通項公式；（2）若.=loga” 求數(shù)列（）的前n項和S.18 . （12 分）在c（cos A4-si 11 Al/jcsin I-l/cos Cj2b,t>n B+tan Ceos /3=>/2sin A 這三個條 件中任選一個補充在下而問!題中并作答.問題，在中.角A.B,C的對邊分別為a已知cosABC的而枳是56,旦W.求力（的周長.注;如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.電（12分）隨省社會經(jīng)濟的發(fā)展.人們生活水平的不斷提高越來越多的人選擇投資“黃金”作為理財手 段.下面隨機抽取了 100名把黃金作為理財產(chǎn)品的投資人，根據(jù)他們的年齡

8、情況分為20, 30）130.40）,40.50八150.60）,6070五組得到如圖所示的頻率分布直方圖.好本/組和0.0300.0250.0200.0183040506070 年齡（1估計把黃金作為理財產(chǎn)品的投資人年齡的中位數(shù);（結(jié)果保用整數(shù)）（2）為了進一步了解該100名投資人投資黃金的具體額度情況.按照分層抽樣的方法從年齡 在10,30）和160.70）的投資人中隨機抽取了 5人，再從這5人中隨機抽取3人進行調(diào) 6X表示這3人中年齡在40.50）的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學期里.20. （12 分）菱形ABCD的對角線AC與BD交于點E,川）=8. AC = 6,將ACD沿AC折到APA

9、C的位置,使得PD=4,如圖所示.證明:P凡LAC（2）求平而PAB與平而PCD所成鏡二面角的余弦值.21. （12 分）已知橢網(wǎng)。二+/=1（”>0）的左、右焦點分別為66點（1.亨）在砌。上旦PBB的面積為（1）求橢圓C的標準方程，（2）若橢圓C上存在八.3兩點關(guān)于力:線1=少+1對稱求，的取值范圍.22. （12 分）已知函數(shù)人）=小一M-21的圖象在點（0,1）處的切線方程為y= 1.（1）證明：/（外+31.（2）若工。是/殳）的極值點,且.ro <0,若） = / （七）旦4 <x. <0,證明/n（不+七+2）>ln 2+2j*o.【高三故學試卷 第

10、s頁（其I頁）】高三數(shù)學試卷參考答案1 .A 因為，3=8咨-2 或;1?4,所以 0=8-2<1<4.因為 A=E|o<l,所以 ACK %口)=川- 2 O<1,2 .D棱長為2的正四面體的表面積是4xJ»X2X/f=I=463.C4. A當心（）時,/（）=外一2=2.解得=2；當<0時./（）=/+1 = 2解得=一1,綜上必=2或=一1.由題知六指為12厘米,則tan-12_ 19 _ 2tana _2X6。一元一至'則taQ花一丁丁1235-【高三數(shù)學試卷參考答案第1頁（共5頁）】5. D ac-b2 (AT6r) =a(c/)+6(

11、Z>c) = (<?/)(cb 因為 a>6>c,所以 q小>0.cAVO,所以(a 一）（l）V0,則a,+VM+儀,一定成立，排除A；因為兒且/ + >o,所以*一定成立,排除 B;因為萌十。2 一（四十慶）=伏。一.）十。（一）=（4一。）3一80,所以附十/水.十加一定成立，排除©；當 =3»=告,。=1時,>a；當a = 3,=+,c=l時行時,則而不一定成立.AP_ 2 |PE|-T-十八=1，解得笈=苒0 瓜1一人）=:,7. C因為“吟乜所以l舒.同理可得”=親手嘮=舒=畸三舒=6+*當-1,248,16時，皆為整數(shù)

12、，即滿足條件的k的個數(shù)為5.8. B 設(shè) g（i） = e*/（1）- 1,則 gx）=e*f （.T）+e”/“（«r）-e 因為 /Q、）+/（k>1 所以 /（G+e4/'（彳） ,即e"（"+e了'Q）-e>0故gQ ）在R上單調(diào)遞增.因為/（力是定義在R上的奇函數(shù),所以/（0）= 。，所以小。）=一1,不等式 建人父）>一1,即 g（）>g（o>,ji!ijx>o.9. AC由題意可得/（外=和/a）=y+sin之都是奇函數(shù)，且值域為乩/（3=+J是奇函數(shù)，但值域為 （8.-212,+8）./（1）=/

13、5是奇函數(shù).但值域為（-8,0）50,+8）.10. ACD 當=1時,2$=2以=3+也 因為卬=1,所以加=一1則25=3即一L當 心2時,25,一】二341TT 所以 2%=2S2sLi = 3a”-2i 2）=3& - 3&-i ,即 a. = 3%t ,即上=3則數(shù)列一是首 4一1 1 項為1,公比為3的等比數(shù)列，故4=3"t，與=%.11. BD因為fl）=律言，所以/（一外=小需5=島公=/（口，所以八外為偶函數(shù)，則/（外 的圖象關(guān)于丁軸對稱.故A錯誤.因為/（工）的圖象關(guān)于），軸對稱,所以/S+D的圖象關(guān)于直線片=一1對 稱，故B正確.當1=亨時,si

14、n、t= -1V0,所以i+sin1>0,則/（力V0故C錯誤.設(shè) 雙力=2-sin 0）,則，Cr） = les,從而8（才）在。+8）上單調(diào)遞增.因為g（0） = 0,所以以/）>0,即£>sin4所以i+sin ”2sin x.當 X)時,/+sin 70所以因為/Q)是偶函數(shù)，所以/() N I Sill工 乙乙故D正確.12. ABC如圖，連接BD.易證AC_L平面BDEF.則AC±EF,故A正確.在A4, 上取一點H堆得AiH=2AH,連接EG，EH,HB.易證四邊形場GEH為平 行四邊形,則C】EBHCE=6 H.若BF=26F,易證四邊形A

15、HB尸為平 行四邊形，則AF匹H, A尸=5 "，從而AF/GE,八F = GE故四邊形 川心下為平行四邊形.于是人£。由,故R正確.設(shè)AB=a,三棱錐DiAEF 的體積與三棱錐FADE的體積相等則aef=V*”=3X:X等X aXa=W，即三棱鍵Dl -AEF的體積與正方體的棱長有關(guān)與點F的位置無 關(guān),故C正確.以G為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系?！恳?之,設(shè)八8=3則A(3,3,3),4(3,30),£(3,0,2),9(0,3”),從而而|=(0,0, 3),荏=(0,3, 1),普=(一3,0-3).設(shè)平面AEF的法向量 = Gt，wn),則1,n

16、A&=3jz=0,n A?=3j*+(z-3)z=0,3)，從而cos猛，=離；：) = -/:一, ,即宜線/VV與平面AEF所成角的正弦值為lA/li | |n|7(t-3)- + 10方品鎘因為°q43,所以1。(L3)2 + 1。4所以喑7嗡錦4喑,故D 錯誤.1.1 1由題意可得。+6=(加+1/).因為(a+b)JJ，所以加+12=0,解得m=l.14 .奈 如圖，取AC的四等分點F(點F靠近4),連接EEBF.易證AGEF,則/BE尸為異面直線AC與BE所成的角設(shè)A】8】=4,則BE=5.EF=/i .BF= 律.故 cosNBEF=祭. 2X5X731515

17、.16 因為上十多=1.所以2+=白兒所以H+2+6=2a+2a+6=4a+2/尸 a b(十+令(4。+26)=§+與+8>16,當且僅當a=2/=4時，等號成立.16 . (3,4) g(x) = E/(x)i 2"|/(“)+產(chǎn)1 = 0,即/()一(j+i)"(z)("i)=o,解得 /(x)=/j1 或/Cr)=m+L由“彳)的圖象(圖略何得解得3,<4.即帆的取值范闈是(3.4).仔=M=9.17 .解：由題意可得)如+=aq+ai(f=303 2分解得 ai=l,g=3. 4 分故小=。1/7=3“7. 5 分(2)由(1)可得

18、 4211=32八7 則 A = k>gM2斤=24-1, 7 分故2 = 1+3+5+21=(1+2=1)=2. 10 分18 .解:若選.因為 Ncos A+sin 八)=。,所以 sin C(cos 八+sin A) = sin 8. 1分又 A+B+C=tt所以 sinb=sin(A+C). 2分【高三數(shù)學試卷參考答案第2頁(共5頁)】所以 sin Ceos A+sin Csin A=sin Acos C+cos Asin C.即 sin Csin A=sin 4cos C. 3J)因為 sin AGO,所以 sin C=cos C,即 tan C=h 4分因為0VC4,所以。=

19、? 5分因為cos"，所以sin B=卷96分所以 sinA=sin(B+C)=>|"X孝+卷乂專=靖， 7 分所以 a z bz <=sin A : sin B : sin C=7 - 472 5 5.不妨設(shè) a=7t,小=4727,c=5f 9 8 分則ABC的面積為看X7tX4歷X亨=56,解得z=2 10分從而 a = 14,6=8-,c=10. 11 分故ABC的周長為a+6+c=14+8&+10=24+8& 12 分若選. 因為 csin B+6cos C=V?4所以 sin Csin B+sin Bcos C=-/2sin B9 1

20、 分因為 0<8<貫,所以 sin BW0,所以 sin C+cos C=j2 2 分所以。sin（C+/）=方，即 sin（C+彳）= 1. 3分因為0VCV,所以子VC+手V乎，所以C= 5分4444以下步驟同.若選，因為 sin B+tan Ceos B=y2sin A,所以 sin Bcos C+sin Ceos B=y2sin Acos C, 1分所以 sin(B+C)=y2sin Acos C. 2 分因為 A+B+C=R9所以 B+C=；rA所以 sin(B+C) =sin A=72sin Acos C 3 分因為0<A<w所以sin AWO所以cos C

21、=. 4分因為OCCVn,所以C=字5分以下步驟同.19 .解：（1）因為（0. 007+0.018）X10=0. 25Vo. 5X0.007+0. 0018+0. 030）X10=0, 55>0. 5. 1 分所以年齡的中位數(shù)在40,50）內(nèi).2分設(shè)中位數(shù)為小則號”X0.3+0. 25=0.5,解得咨48. 4分（2）由題意可知,100名投資人中,年齡在40,50）的有30名,年齡在60,70）的有20名,則利用分層抽樣抽 取的5人中年齡在40,50）的有3名，在60,70）的有2名，6分則X的可能取值為1,2,3,?。=1）=晉=赤?（乂=2）=粵=«1,P（X=3）=矍=

22、* 9 分X的分布列為X12333|10|5I1010分 故 E（X） = 1X + 2X+3x/=51 12 分20. （1）證明：因為ABCD是菱形,所以AC_LBD. 1分則阻_AC.PE，AC 2 分因為BEU平面PBE.FEU平面?1犯9且BEnPE=E，所以AC，平面PBE. 3分因為PBU平面PbE,所以PB_LAC. 4分解:取DE的中點O,連接OP,取CD的中點F,連接OE因為8D=8,所以DE=PE=4.7因為PD=4,所以PD=PE,所以PO1DE. 5分/由（1）可知AC_L平面PBE,所以平面PBD_L平面ARCD則PO_L平面AB-/,/CD. 6 分/ /故以o為

23、坐標原點,以6的方向分別為軸的正方向.建立X/.L如圖所示的空間直角坐標系（）-xyz.由題中數(shù)據(jù)可得?（一3一2.0）.3（0./A/一6,0）,（2（3,2,0）.。（0,2,0）,（0,0,2萬），則屈=虎=（3,4,0，麻杰；'= （0,6e2y3）,DP=（0,-2,273）. 8分 T設(shè)平面PAB的法向量為例=（由，出e ）,Im 則1m 逆=3/i 4i =0f令 i=4,得 m=(4,3,3乃).訴=6»】+2偌句=0,設(shè)平面PCD的法向玨為=（工2，2，血），則In，10分 DC = 32 4y9 = 0 5"萬P= -2 煲+2"22

24、= 0,設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為仇12分則 cos。= |= ,4X4+3X33皆點=駕篝/n |n1742+32 + (-373)2 X42+32 + (>/3)2J121.解：（1）由題意可羯叵=旦 1分2 亍/ =/一以解得 a = 2,b=l, 3 分故橢圓C的標準方程為手+：/ = 1. 4分設(shè)ACn，），夙央，火），線段AB的中點為MCr。，2）.因為直線衛(wèi)=U+1過定點（1.0），所以（為一1產(chǎn)十底=（-1>+乂. 5分因為A,B在橢圓上,所以+乂 = 1孚+與=1,所以5 1戶+ 1苧=5 1產(chǎn)+ 14，6分4444整理得至產(chǎn) =5一雙）5+勿- 2

25、）所以©+如=母，所以n=義. 7分40o因為點M在直線，=町什1上，所以劭=町用十1 ,則8分則一咚v4;V0或0<止咚，解得mV一?；虻? 11分3 omJ，”333故加的取值范圍為（一8,一）U（亨+8） 12分5322.證明：（1）因為/（力=y一/一2彳所以/（x）=-2x-2.則 /（0）=-2=0,解得 =2,故 /（%） = /一#一2r 2 分令 g（工）=/（I）+/=#2,則/（1）=2氏一2.由g'Cz）0得/1；由g'（/）0,得不1.gQ）在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（0,十8）上單謝遞增，故gtr）？g（o）=l，即八力+XL 4分（2）由（1）可